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1、常微分方程自学习题及答案一 填空题 : 1 一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线. 2 二阶线性齐次微分方程的两个解y1(x);y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是_. 3 方程02 yyy的基本解组是 _. 4 一个不可延展解的存在区间一定是_区间 . 5 方程21ydxdy的常数解是 _. 6 方程0)( )(xqxtpxt一个非零解为x1(t) ,经过变换 _ 7 若 4(t)是线性方程组XtAX)(的基解矩阵 , 则此方程组的任一解4(t)=_. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2 倍,则此曲线方程为_. 9 满足 _条件的解 ,称为微分方程的特解. 10 如果在
2、微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_. 11 一阶线性方程)()(xqyxpy有积分因子 (). 12 求解方程yxdxdy/的解是 ( ). 13 已知 (0)()3222dyxyxdxyxaxy为恰当方程 ,则a=_. 14 0)0(22yyxdxdy,1: xR,1y由存在唯一性定理其解的存在区间是( ). 15 方程0652 ydxdydxdy的通解是 ( ). 16 方程534 yxydxdy的阶数为 _. 17 若向量函数)()();();(321xxxxn在区间 D 上线性相关 ,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=_. 18 若 P(X) 是方程组)(xAdxd
3、y的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_. 二 单项选择 : 1 方程yxdxdy31满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ). (A) 上半平面(B)xoy平面(C)下半平面(D)除 y 轴外的全平面2 方程1ydxdy( ) 奇解 . (A) 有一个(B) 有两个(C) 无(D) 有无数个3 在下列函数中是微分方程0 yy的解的函数是( ). (A) 1y(B)xy(C) xysin(D)xey4 方程xeyyx 的一个特解*y形如 ( ). (A)baex(B)bxaxex(C)cbxaex(D)cbxaxex5 )(yf连续可微是保证方程)(yfdxdy解存在且唯一的( )条件（
4、 A）必要（B）充分(C) 充分必要(D) 必要非充分6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ). (A) 构成一个 2 维线性空间(B)构成一个3 维线性空间(C)不能构成一个线性空间(D)构成一个无限维线性空间7 方程32 3ydxdy过点 (0,0)有( ). (A) 无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解(D) 只有三个解8 初值问题10 x01 x , 11)0(x在区间 ,t上的解是 ( ). (A) ttut )(B) teut )(C) etut )(D) eeut)(9 方程0cos2xyxdxdy是( ). (A) 一阶非线性方程(B) 一阶线性方程（ C)超越方程(D)
5、二阶线性方程10 方程032dxdydxdy的通解是 ( ). (A)xeCC3 21(B) xeCxC3 21(C)xeCC3 21(D)xeC3 211 方程0442 ydxdydxdy的一个基本解组是( ). (A) xex2,(B)xe2, 1(C)xex22,(D)xxxee22,12 若 y1 和 y2 是方程0)()(2 yxqdxdyxpdxdy的两个解 ,则2211yeyey（e1,e2为任意常数）(A) 是该方程的通解(B) 是该方程的解(C) 不一定是该方程的通解(D) 是该方程的特解13 方程21ydxdy过点 (0,0)的解为xysin,此解存在 ( ). (A),(
6、B) 0,(C),0(D)2,214 方程xeyxy23是( ) . (A) 可分离变量方程(B) 齐次方程(C)全微分方程(D) 线性非齐次方程15 微分方程01yxdxdy的通解是 ( ). (A) xcy(B) cxy(C)cxy1(D)cxy16 在下列函数中是微分方程0 yy的解的函数是( ). (A)1y(B)xy(C)xysin(D)xey17 方程xeyyx 的一个数解 xy形如 ( ). (A) baex(B)bxaxex(C)cbxaex(D)cbxaxex18 初值问题10 x11)0(;01xx在区间t上的解是 ( ). (A)ttut)(B)teutt )(C)tte
7、tu)(D) ttteeu)(三 求下列方程的解: 1 求下列方程的通解或通积分: (1)nyydxdy1(2)xyxydxdy21(3)5xyydxdy(4)0)(222dyyxxydx(5)3) (2yxyy2 求方程的解01)4()5(xtx3 解方程 :xydxdycos2并求出满足初始条件:当 x=0 时,y=2 的特解4 求方程 : xytgxydxdy5 求方程 : 26xyxydxdy的通解6 求0)46()63(3222dyyyxdxxyx的通解 . 7 求解方程 : 022244 xdtxddtxd8 求方程 : 014455dtxdtdtxd的解9 求方程255 xyy的
8、通解10 求下列方程组的通解xdtdytydtdxsin111 求初值问题0)1(yyxy11: xR1y的解的存在区间并求出第二次近似解12 求方程的通解(1) 2yxydxdy(2) xyxydxdytan(3) 0)4()3(2dyxydxxy(三种方法 ) (4)04524 ydxdy dxdy13 计算方程xyy2sin34 的通解14 计算方程txdtdxdtxdcos44215 求下列常系数线性微分方程: xxeyyy2102 16 试求02x21 x 的基解矩阵17 试求矩阵12A41的特征值和对应的特征向量. 18 试求矩阵53A35的特征值和特征向量19 解方程组1321y
9、y2221yy四 名词解释1 微分方程2 常微分方程、偏微分方程3 变量分离方程4 伯努利方程5Lipschitz条件6 线性相关五 证明题1 在方程0)()( yxqyxpy中已知 p(x);q(x) 在);(上连续求证 :该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切 . 2 设 x1(t)、x2(t)分别是非齐次性线方程)()()(1111tfxtGdtxdtGdtxdnnnnn)()()(2111tfxtGdtxdtGdtxd nnnnn证明： x1(t)+x2(t)是方程)()()()(21111tftfxtGdtxdtGdtxd nnnnn的解。3 设 f (x) 在0；+上连
10、续且limf (x)=0 求证：方程)(xfydxdy的一切解y(x) ；均有limy (x)=0 4 在方程0)()( yxqyxpy中 p(x)、q(x) 在（,）上连续；求证：若p(x)恒不为零；则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式w（ x）是（,）上的严格单调函数。5 证明： x1(t)+x2(t)是方程)()()(2111tfxadtxdtcdexdt nnnnn 的解。6 证明：函数组xxxneee21,（其中当ji时ji）在任意区间（ a ,b）上线性无关。常微分方程习题答案一 填空题 : 1、 2 2、 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3、 ex ; xex 4、 开
11、5、1yxx6、ydtxx17、ct)(,c 为常数列向量8、 y=x2+c 9、 初始10、常微分方程11、 e p(x)dx 12、 x2+y2=c ; c 为任意正常数13、 / 14、21;2115、 261656665ppycpx16、 4 17、 0 18、cx)(；其中 c 是确定的n 维常数列向量二 单项选择1、 D 2、C 3、C 4、D 5、B 6、 C 7、A 8、 D 9、A 10、 C 11、D 12、B 13、D 14、D 15、B 16、C 17、D 18、D 三 求下列方程的解1 (1）解：当1,0 yy时，分离变量取不定积分，得Cdxnyydy1通积分为1ny
12、= Cex（2）解：令y= xu , 则, dxduxudxdy代入原方程，得21udxdux分离变量，取不定积分，得nCxdxudu1 12（0C）通积分为：nCxxy1arcsin（3）解：方程两端同乘以y-5,得xydxdyy45令 y -4= z ，则,4y-5- dxdzdxdy代入上式，得xzdxdz41通解为414xCezx原方程通解为4144xCeyx（4）解：因为 xNx yM2， 所以原方程是全微分方程。取（ x0,y0）=（0，0）原方程的通积分为xy Cdyyxydx0022即Cyyx3231（5）解：原方程是克莱洛方程，通解为：y = cx+2c3 2 解：设dtdx
13、y则方程化为01ytdtdx，积分后得y = ct 即ctdtdx于是 x=c1t5+c 2t3+c 3t2+c4t+c5 其中c1 , c2 , c3 , c4 , c5为任意常数= )()()()()()()()()(dtx(t)d21111111nntxtGdttxdtGdttxdtxtGdttxdtGnnnnnnnn= f1(t) + f2(t) 故 x1(t)+x2(t)为方程)()()()(111txGdttxdtGdttxd nnnnn=f1(t)+f2 (t) 的解。3 解： 将变量分离，得到xdxydycos2两边积分，即得cxysin1因而，通解为cxysin1这里 c 是
14、任意常数。以x=0 , y=1 代入通解中以决定任意常数c，得到c = -1 因而，所求特解为xysin114 解：以uxy及udxdyxdxdy代入，则原方程变为tguuudxdux即xtgudxdu将上式分离变量,即有xdxctgudu两边积分 ,得到cxnunsin这里 c是任意函数 ,整理后 ,得到xeucsin令cee,得到sinu = cx 5 解: 令 z = y-1得dxdyydxdz2代入原方程得到xzxdxdz6这是线性方程,求得它的通解为826xxcz代回原来的变量y , 得到8126xxc y这就是原方程的通解。此外，方程还有解y=0 。6 解： 这里 M =3x2+6
15、xy2 .N = 6x2y+4y3，这时xyxNxyyM12.12因此方程是恰当方程。现在求u ，使它同时满足如下两个方程2263xyxxu3246yyxyu由（ 1）对 x 积分，得到)(3223yyxxu为了确定)(y，将（ 3）对 y 求导数，并使它满足（2） ，即得32246)(6yyxdyydyxyu于是dyyd)(= 4y4积分后可得)(y=y4 将)(y代入（ 3） ，得到u = x3 + 3x2y2 + y4 因此，方程的通解为x3 + 3x2y2 + y4=c 这里 c 是任意常数7 解： 特征方程01224即特征根i 是重根， 因此方程有四个实值解cost、tcost 、s
16、int 、tsint 故通解为 x = (c1+c2t)cost + (c3+c4t)sin 其中 c1 ; c2 ; c3 ; c4为任意常数8 解：令ydtxd44则方程化为：01ytdtdy积分后得 y=ct 即ctdtxd44 于是x=c1t5 + c2t3 + c 3t2 + c 4t1 + c5 其中 c1 ; c2 c5 为任意常数，这就是原方程的通解。9 解 对应齐次方程的特征方程为052，特征根为5, 021齐次方程的通解为y=C1+C2e5x因为 a=0 是特征根。所以，设非齐次方程的特解为y1(x)=x （Ax2 + Bx + C ）代入原方程，比较系数确定出A=31，B= 51，C=252原方程的通解为
