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1、第四章控制系统的传递函数1. 传递函数的概念传递传递 函数是在拉氏变换变换 的基础础上建立起来的一种数 学模型，是经经典控制论论中对线对线 性系统进统进 行研究、分析与 综综合的重要数学工具。因此，系统的传递函数就是系统单位脉冲响应 的拉氏变换。定义：初始条件为零时，系统的输出量的拉氏变换与输入 量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。即 ，特别地，当xi(t)=(t)，亦即 Xi(s)=1时，G(s)=Xo(s)2. 传递函数的性质 传递函数是系统本身的固有特性，与输入量的大小及 性质无关； 传递函数以简明的数学形式表达了系统的动态模型组 成，只要动态性能相似，就可以用相似的传递函数； 传递
2、函数可以有量纲，也可以无量纲； 传递函数是s的有理分式； 一般地,传递函数的表达式为3. 典型环节传递函数 比例环节系统总是由各种元件组成，不管这些元件的属性如何，只要其动 态性能相似，就可以用相同的传递函数来表达。如果把系统的元 件按其运动方程的形式来分类，就得到各种不同的动态环节。这样，就可以把一个复杂的系统分解为由简单的环节组成，从而方 便地建立整个系统的数学模型。凡输出量xo(t)与输入量xi(t)成比例，不失真也不延时的环节，又称P 调节器。比例环节运动方程为 xo(t)=kxi(t)，所以比例环节传递函数为k为比例环节的增益或称为放大系数例1 解求一对齿轮传动的传递函数最基本的运算
3、放大器z1z2ni(t)no(t)G(s)=k例2 ei eoR1R2i1i2i3-+aeaKoi1=i2k 运算放大器的闭环增益 微分环节例3求图示微分电路的 G(s)解凡输出量xo(t)与输入量xi(t)的一阶导数成比例的环节，又称为D调节 器。运动方程为因此传递函数为：UiUoi微分环节不能单独存在。G(s)=TS 积分环节凡输出量xo(t)与输入量xi(t)的一次积分成比例的环节，又称为I调节 器。运动方程为因此传递函数为：n(t )xo(t)D例4右图为一齿轮齿条传动机构。n(t) 为输入转速， xo(t)为线位移。求 该传动机构的传递函数。解：根据传动关系有但如以vo(t)表示齿条
4、的移动速度，则G(s)=T/S1、电阻元件U(s)=RI(s) ZR=R2、电感元件u(t)=Ri(t)3.电容元件ZC(s) = 1/sCZL=Ls例5下图是一个由运算放大器组成的积分器 ，求G(s)。解：ui uoRuci -+CUi(s )Uo(s)Ri -+Zc取拉氏变换 惯性环节凡能用一阶线性微分方程来描述的环节，又称为一阶环节。运动方程为因此传递函数为：K惯性环节的增益；T惯性环节的时间常数例6求右图电路的G(s)。uiuoiRC解：如果Rcs 1，则G(s)=1/Rcs=1/Ts例7下图是运算放大器组成的惯性环节，求该环节的K和T。解：Ui(s )Uo(s)R1i -+Zui u
5、oR1R2-+CZ=R2Zc=R21/cs = R2 / (R2cs+1) 二阶环节和振荡环节凡能用二阶线性微分方程来描述的环节都称为二阶环节。运动方程为两边取拉氏变换得环节的 固有频率环节的 阻尼比其中，如果01，二阶环节称为振荡环节例7图示是由质量m、阻尼c、弹簧k组成的动力系统.Xi(t)Xo(t ) m ck求G(s)依动力平衡原理有f (t)Xo(t)上例中，如果输入量 为外力f (t),则系统的 固有频率和阻尼系数 为多少 延时环节 凡输出量滞后于输入量一个时间，但不失真地反映输入量 的环节。 运动方程为 xo (t) = xi (t-)t01xi(t)=1(t) t01t 01
6、注意延时环节和惯性环节的区别 比例环节xo(t)=kxi(t) 微分环节G(s)=TS 积分环节G(s)=T/S 惯性环节 二阶环节和振荡环节xo (t) = xi (t-) 延时环节小 节求右图油缸-阻尼-弹簧系 统的传递函数.其中，p为 输入，xo为输出。解pcKxoALi RCuiuo求下图的传递函数ZLI(s) ZUi(S)Uo(S )ZL=LsZ=R/1/cs1. 复合环节概念 单单一典型环节组环节组 合2. 复合环节传递函数复合环节环节 ，如PI调节调节 器、PD调节调节 器 PD调节器G(s)=Ts+KT时间常数，K比例系数根据传递函数判断是何种调节器，并求出相应的参数。例1 K
7、CRUO(s )Ui(s)Uf (s)E(s)下图是由放大电路组成的PD调节器，求G(s)解例2 Ui(s )Uo (s)RiZmIf (s) aui uoRiR1iifaR2C ubR1I(s)If (s)aR2CUb(s )Uo(s)例3解比例积分环节组成的调节器。 PI 调节器T时间常数，K比例系数下图是由放大电路组成的PI调节器，求G(s)一般来说，采用调节器的控制系统，既能获得较高的 静态精度，又具有较快的动态响应。ui(t)uo (t)RiR1aR2CUi(s )Uo (s)RiZmaZm=(R1+1/cs)R2请先行练习比例、积分、微分环节组成的调节器。 PI D调节器R1uOu
8、iR2C1C2ifiRiUi(s)Uo (s)RiZmaR1I(s)If (s)aR2C2Ub(s)Uo(s)C1例4下图是由放大电路组成的PID调节器，求G(s)R1I(s)If (s)aR2C2Ub(s)Uo(s)C1PID控制的重要性 比例-积分-微分控制规律是工业上最常用 的控制规律。人们一般根据比例-积分-微 分的英文缩写，将其简称为PID控制。即 使在更为先进的控制规律广泛应用的今 天，各种形式的PID控制仍然在所有控制 回路中占85%以上。 1. 传递函数框图的概念 系统统的动态结动态结 构图图，即用来表达环节环节 及其传递传递 函数的方块图块图 。下 图图表示一个框图单图单 元
9、。目的是为为了说说明一个环节环节 在系统统中的作用 。2. 绘制框图的要点 a. 方框内只允许许填写传递传递 函数G(s)； b. 框图图中的全部变变量 都是取了拉氏变换变换 后的变变量，要求大写 ； c.变变量一般置于箭头头的上方，箭头头的指向表示信号的流向； d. 框图图的联联接是按信号流向进进行的，有串联联、并联联和反馈联馈联 接三种。G(s)Xi(s)Xo(s )3. 框图的联接 串联设X1(s)=Xi(s)G1(s), Xo(s)=X1(s) G2(s)则用框图表示如下G1(s)Xi(s)Xo(s )G2(s)X1(s )对于串联的传递函数Xo(s)=X1(s) G2(s) = G1
10、(s) G2(s) Xi(s) G(s)= G1(s) G2(s) 如一个系统由n各环节串联而成，则系统的传递函数为 并联设X1(s)=Xi(s)G1(s), X2(s)=Xi(s)G2(s), Xo(s)=X1(s) X2(s)则用框图表示如下Xo(s) = X1(s) X2(s)= Xi(s)G1(s) Xi(s)G2(s)= G1(s) G2(s) Xi(s)对于并联的传递函数G(s)= G1(s) G2(s) G1(s) Xi(s)Xo(s)G2(s)X1(s )X2(s )如一个系统由n各环节并联而成，则系统的传递函数为 各环节传递函数的代数和。若把并联处都看成相加，则 反馈联接反馈
11、联接框图如下图所示E(s) = Xi(s) B(s) Xo(s)= G(s) E(s) B(s)= H(s) Xo(s)由图可知所以对于该闭环系统，传递函数为：“-”表示正反馈，“+”表示负反 馈 控制系统中主要采用负反馈，则G(s)Xi(s)Xo(s )H(s)E(s)+B(s)A单位负反馈G(s)Xi(s)Xo(s )H(s)E(s)+B(s)如果在点处将反馈回路切断，则得到以E(s)为输入，B(s)为输 出的传递函数Gk(s)，称之为闭环系统的开环传递函数。Gk(s) = H(s)G(s)Gb(s)Xi(s)Xo(s )A4. 框图的变换与化简 框图的变换a. 分支点移动规则G(s)X1
12、(s )X2(s ) X3(s )G(s)X1(s )X2(s )X3(s )G(s)G(s)X1(s )X2(s )X3(s )G(s)X1(s )X2(s )X3(s )b. 相加点移动规则G(s)X1(s )X2(s )X3(s )+G(s)X1(s )X2(s )X3(s )+G(s)G(s)X1(s )X2(s )X3(s )+G(s)X1(s )X2(s )X3(s )+作上述变换后，原来的输入和输出都不变，变换前后 的系统框图应等效。 框图的化简 规则为了计算和研究方便，常要把框图化简。框图化简，主要是依据基本的串联、并联和反馈联接进 行。但若有回路交叉，必须先进行移位，消除交叉
13、。a. 框图的化简与中间变量无关b. 当有多个输入量的线性系统时，可按叠加原理进行化 简c. 当进行相加点移位时，必须保证各分支点处原来的信 号值不变d. 当进行分支点移位时，必须保证各相加点处原来的反 馈信号值不变例1 G1G2G3H2H1Xi(s)Xo(s)+-+-化简框图，求Gb(s)G1G2G3H1Xi(s)Xo(s)+ -+-G1 G2G3H1Xi(s)Xo(s)+ -+ +-G3Xi(s)Xo(s)+-+-Xi(s)Xo(s)+-+-+-Xi(s)Xo(s)Xi(s)G1G2G3G4HXi(s)Xo(s)+-例 求Gb(s)G1G2G3G4G3HXi(s)Xo(s)+-例 用框图来表示车削加工过程动力系统knuxuomcfu = uo - x f = Kcu+Bcu mx“ + cx + kx = fU(s)=Uo(s)-X(s) F(s)=(Kc+Bcs)U(s) ms2X(s)+csX(s)+kX(s)=F(s)X(s)=F(s)/( ms2+cs+k)X(s)X(s)-+U(s)Uo(s) Kc+BcsF(s)1/(ms2+cs+k)
