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1、第九课时回顾与思考学习目标 知识与能力目标 能通过回顾与思考，建立起本章的知识框架图；能利用计算器，发现同角 的正弦、余弦、正切之间的关系；体会到直角三角形边角关系这一数学模型在 现实生活中的广泛的应用价值 过程与方法目标 学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题，进一步感悟三角函数在现 实生活中的广泛应用，增强应用数学的意识 情感与价值观要求 在独立思考问题的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的 观点并尊重与理解他人的见解，在交流中获益；认识到数学是解决现实问题 的重要工具，提高学习数学的自信心 教学重点、难点 建立本章的知识结构框架图；应用三角函数解决现实生活中的问题，进一 步
2、理解三角函数的意义 教具准备 多媒体演示、计算器 教学过程 回顾、思考下列问题，建立本章的知识框架图 直角三角形的边角关系，是现实世界中应用广泛的关系之一通过本章的 学习，我们知道了锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用如在测量、 建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题， 般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系 利用锐角三角函数解决实际问题是本章的重要内容，很多实际问题穿插于 各节内容之中 问题 1 举例说明，三角函数在现实生活中的应用 例 1：甲、乙两楼相距30 m ，甲楼高 40 m，自甲楼 楼顶看乙楼楼顶 仰角为 30，乙楼有多高
3、?(结果精确 到 1 m) 解：根据题意可知：乙楼的高度为 30tn30=40+30 33=40+10 3=57(m)，即乙楼的高度约为57 m 例 2，为了测量一 条河流的宽度，一测量员在 河岸边相距 180 m的 P和 Q 两点分别测定对岸一棵树T 的位置，T在 P的正南方向，在 Q南偏西 50的方向，求河宽 (结果精确到 1 m) 解：根据题意， TPQ 90， PQT=90 -5040，PQ 180 m 则：PT就是所求的河宽 在 RtTPQ 中，PT=180 tan40=1800839 151 m， 即河宽为 151 m师 三角函数在现实生活中的应用很 广泛，下面我们来看一个例子 典
4、例 1：如图MN 表示某引水工程的一 段设计路线从 M到 N的走向为南偏东 30， 在 M的南偏东 60的方向上有一点A，以 A 为圆心，500 m为半径的圆形区域为居民区， 取 MN 上的另一点 B，测得 BA的方向为南偏 东 75，已知 MB 400 m，通过计算回答， 如果不改变方向， 输水路线是否会穿过居民 区? 师生共析 解：根据题意可知 CMB=30 ， CMA 60， EBA 75， MB=400 m ，输水路线是否会穿过居民区，关键看A到 MN的最短距离大于 400 m 还是等于 400 m，于是过 A作 AD MN 垂足为 D BE/MC EBD CMB 30 ABN=45
5、AMD CMA- CMB 60-30=30在 RtADB 中， ABD 45， tan45 BDAD，BD 45tanADAD ，在 RtAMD 中 AMD=30 ，tan30 = MDAD，MD 30tanAD=3 AD ，MD=MD-BD，即3 AD-AD 400， AD-200(3 +1)m400m 所以输水路线不会穿过居民区 问题 2 任意给定一个角，用计算器探索这个角的正弦、余弦、正切之间 的关系 例如 25， sin 、cos、tan 的值是多少 ?它们有何关系呢 ? 生sin25 04226，cos2509063， tan2504663而25cos25sin04663我们可以发现
6、cossintan 这个关系是否对任意锐角都成立呢?我们不妨从三角函数的定义出发来推 证一下师生共析 如图，在 RtABC 中C 90 sinA ABBCcosA ABACtanA ACBC，ACBCACABABBCABACABBCAAcossin=tanA,tanA=AAcossin. 这就是说，对于任意锐角A，A的正弦与余弦的商等于A的正切 下面请同学们继续用计算器探索sin ，cos之间的关系sin22501787,cos22508213，可以发现：sin225+cos22501787+082131我们可以猜想任意锐角都有关系：sin2+cos21，你能证明吗 ? 师生共析 如上图 si
7、nA= ABBC，cosA= ABACsin2A+ cos2A2222222ABACBCABACABBC，根据勾股定理，得BC2+AC2AB2，sin2A+cos2A1， 这就是说 , 对于任意锐角 A， A的正弦与余弦的平方和等于 1师 我们来看一个例题， 看是否可以应用上面的tanA、sinA、cosA 之间的 关系已知 cosA=53，求 sinAtanA生 解：根据 sin2A+cos2A1得sinA.54)53(1cos122AtanA=345354cossinAA. 生 我还有另外 一种解法 , 用三角函 数的定义来解 解：cosA. 53斜边的邻边A设A的邻边 3k斜边 5k则
8、A的对边.4)3()5(22kkksinA=. 5454kkA 斜边的邻边tanA=. 3434kkAA 的邻边的对边 问题 3 ：你能应用三角函数解决哪些问题? 锐角三角函数反映了直角三角形的边角关系凡是 属于直角三角形的问题或可以转化为直角三角形的问 题，都可以用三角函数来解决 我们知道在直角三角形中，除直角外，有两个锐 角两条直角边以及斜边共5 个元素，它们之间的关系很丰富如图： 在 RtABC 中， C 90， A、B、C所对的边分别为a、b、c(1)边的关系： a2+b2=c2( 勾股定理 ) ：(2)角的关系： A+B90；(3)sinA= ca，cosA= cb，tanA= ba
9、； sinB= cb，cosB= ca，tanB= ab利用三角形的全等和直角三角形全等，以及作图，我们知道：当一直角边 和斜边确定时，直角三角形唯一确定，即直角三角形的一直角边和斜边已知， 则直角三角形中其他元素都可以求出同学们不妨试一试 例如 RtABC 中， C90a4，c=8求 b，A及B 解： a4，c8，根据勾股定理可得b=3422ac. sinA= ca= 2184，A30 又 A+B90， B60 问题：是不是只要知道直角三角形除直角外的两个元素，其余元素就都可以 求出呢 ? 在 RtABC 中， C90，a、b、c 分别是 A，B、C的对边 (1) 已知 a3，b3，求 C，
10、A，B (2) 已知 b5，c10，求 a，A，B (3) 已知 A=45 ， c8，求 a，b，B解：(1) 根据勾股定理 c=23332222ba. 又tanAA=ba=33=1, A=45 又 A+B90， B45(2)根据勾股定理，得a=355102222bc, 又sinB21105cbB=30 又 A+B=90 A=60. (3) sinA= ca=csinA=8sin45 =42 , 又cosAcbb=ccosA8cos45=42 ，又 A+B90， B=45 实践证明，在直角三角形中， 已知除直角外的两个元素 ( 至少有一个是边 ) ， 利用直角三角形中特殊的边的关系、角的关系、
11、边角关系，就可求出其余所有 元素因此，在现实生活中，如测量、建筑、工程技术和物理学中，常遇到的 距离、高度、角度都可以转化到直角三角形中，这些实际问题的数量关系往往 就归结为直角三角形中边和角的关系问题 问题 4 ：如何测量一座楼的高度?你能想出几种办法 ? 第一种：用太阳光下的影子来测 量因为在同一时刻，物体的高度与 它的影子的比值是一个定值 测量出 物体的高度和它的影子的长度， 再测 出高楼在同一时刻的影子的长度利 用物体的高度： 物体影子的长度高 楼的高度， 高楼影子的长度 便可求 出高楼的高 第二种：在地面上放一面镜子， 利用三角形相似， 也可以测量出楼的 高度 第三种：用标杆的方法
12、第四种：利用直角三角形的边角关系求楼的高度 本章内容框架： 随堂练习1计算(1)45cos60sin45sin30cos(2)sin230+2sin60 +tan45-tan60 +cos230；(3).60tan60tan60tan2122 如图，大楼高30 m，远处有一塔BC ，某人在楼底 A 处测得 塔顶的仰角为 60，爬到楼顶 D测得塔顶的仰角为30， 求塔高 BC及楼与塔之间的距离AC(结果 19确到 00l m) 解：没 AC=x ，BC y，在 RtABC 中，tan60 =xy，在 RtBDE 中tan30 = xy30，由得 y3x，代入得33= xx303. x=15325
13、98(m)将 x153代入 y=3 x=3 15345(m)所以塔高 BC为 45 m，大楼与塔之间的距离为2598 m 归纳提炼 本节课针对回顾与思考中的四个问题作了研讨，并以此为基础，建立本章 的知识框植架结构图进一步体验三角函数在现实生活中的广泛应用 课后作业 复习题 A组 1，2，5，6，8 B组 23，4，5，6 活动与探究 如图 AC表示一幢楼，它的各楼层都可到达；BD表示 一个建筑物， 但不能到达 已知 AC与 BD地平高度相同， AC 周围没有开阔地带，仅有的测量工具为皮尺( 可测量长度 ) 和测角器 ( 可测量仰角、俯角和两视线间的夹角)(1)请你设计一个测量建筑物BD高度的方案，要求写出测量步骤和必要的 测量数据 ( 用字母表示 ) ，并画出测量示意图：(2)写出计算 BD高度的表达式过程 利用测量工具和直角三角形的边角关系来解决这里的答案不唯一， 下面只写出一种方法供参考结果 测量步骤 ( 如图)： 用测角器在 A处测得 D的俯角 ； 用测角器在 A处测得 B的仰角 用皮尺测得 AC=am (2)CD= tana, BE= tanatan , BD=a+ tantana.
