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1、全等三角形中的截长补短 板块一、截长补短【例 1】 已知ABC 中，60A，BD、 CE 分别平分ABC 和 . ACB ，BD、CE 交于点 O ，试判断BE、 CD 、 BC 的 数量关系，并加以证明【例 2】 如图，点M为正三角形ABD的边AB所 在直线上的任意一点( 点B除外 ) ，作60DMN，射线 MN 与DBA外角 的平分线交于点N ，DM与 MN 有怎样 的数量关系 ? 【例 3】 如图 2-9 所示已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点， 且BAE=2DAM求 证：AE=BC+CE分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种： (1) 通过添辅助线“构造”一条
2、线段使其为求证中的两条线段之和( BCCE ) ，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等 (2) 通过添辅助线先在求证中长线段(AE) 上截取与线段中的某一段( 如BC ) 相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段( CE ) 相等【例 4】已知：如图，ABCD是正方形， FAD=FAE. 求证： BE+DF=AE. 【例 5】五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：AD 平分CDECEDBAABDEFCNEBMADDOECBAFEDCBA【例 6】 如图所示，ABC 是边长为1的正三角 形，BDC 是顶角为 120 的等腰三角形，以D为顶点作一个6
3、0 的MDN ， 点M、 N 分 别 在AB、 AC 上 ， 求AMN 的周长板块二、全等与角度 【例 7】如图，在ABC 中，60BAC，AD是BAC 的平 分线，且ACABBD ，求ABC 的度数 . 由已知条件可以想到将折线ABD“拉直”成AE，利用角平分线AD可以构造全等三角形 . 同样地，将AC 拆分成两段，之后再利用三角形全等亦 可，此思路也是十分自然的. 需要说明的是， 无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称” 的思想 . 上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时 优先考虑的方法. 【例8】在正ABC 内取一点D，使DADB，在ABC 外取一点E，使 DBEDBC ，且BEBA，求BED. DECBADCBANMDCBA
