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1、东莞市 2015 届高三理科数学模拟试题(三) 编题:苏传忠审核:何作龙参考公式:S表示底面积,h表示底面的高,柱体体积ShV, ,锥体体积ShV 31一、选择题:共8 小题 ,每小题 5分 ,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求学1设全集6|xNxU,集合3, 1A,5 , 3, 1B,则)(BACU等于A.4, 1 B.5 , 1 C.5 , 2 D.4, 22复数5i (2i)(2i)z(i是虚数单位)的共轭复数为A.5i3B.5i3C.i D.i3若函数3,5 ,2 ,5xx fxfxx则2f的值为A.2 B. 3 C.4 D.54已知等差数列na中,前 10 项的和等于前5
2、 项的和 . 若06aam则m()A.10 B.9 C.8 D.25某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是A.2 B.92C.32D.36已知在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组1222xyxy给定目标函数25zxy的最大值为()A1 B0 C1 D57已知,m n为两条不同的直线,,为两个不同的平面,给出下列4 个命题:若,/ / ,/ /mnmn则若,/ / ,mnmn则若,/ /mm则若/ /,/ / ,/ /mnmn则其中真命题的序号为()A B C D8.若曲线C在顶点O的角的内部 ,A、B分别是曲线C上相异的任意两点,且AOB,我们把满足DCBA
3、条件的最小角叫做曲线C相对点O的 “确界角”。 已知O为坐标原点, 曲线C的方程为22121xy x(0)(0)xx,那么它相对点O的“确界角”等于()A.3B.512C.712D.23二、填空题:本大题共7 小题,每小题5 分,满分30 分其中1415 题是选做题,考生只能选做一题,二题全答的,只计算前一题得分8已知,(0,)x y,312()2xy,则14xy的最小值为;9二项式261()xx的展开式中含3x的项的系数是 _ (用数字作答)10如图,已知ABC中,4ABAC,90BAC,D是BC的中点, 若向量14AMABm AC,且AM的终点M在ACD的内部(不含边界) ,则AMBM的取
4、值范围是11过点(1,1)M作斜率为12的直线与椭圆C:22221(0)xyabab相交于A,B,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为12对任意实数a、 b , 若 ab 的运算原理如下图所示,1x是函数11yx的零点,1y是二次函数223yxx在0,3上的最大值,则11xy。14.(坐 标 系 和 参 数 方 程 选 做 题 )已 知 两 曲 线 参 数 方 程 分 别 为3 cos(0) sinxy和23()2xttRyt,它们的交点坐标为_15.( 几何证明选讲选做题) 如图所示, AB与 CD是 O的直径, AB CD ,P 是 AB延长线上一点,连PC交 O于点 E,连 DE交
5、AB于点 F,若 AB=2BP=4 ,则 PF= 三、解答题:本大题共6 小题,共80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16 (本题满分12 分)已知函数( )2 3sincoscos2 ,Rf xxxx x(1)求函数( )f x的单调递增区间;( 2)在ABC中,内角ABC、所对边的长分别是abc、 、,若()2,C,24f Ac,求ABC的面积ABCS的值17 (本小题满分12 分)某校 1 位老师和6 名学生暑假到甲、乙、丙三个城市旅行学习,每个城市随机安排2 名学生,教师可任意选择一个城市“ 学生 a 与老师去同一城市” 记为事件 A,“ 学生 a 和 b 去同一城市
6、” 为事件 B. (1)求事件BA、的概率)(AP和)(BP;(2)记在一次安排中,事件BA、发生的总次数为,求随机变量的数学期望.E18 (本小题满分14 分)四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,且12PAABADCD,/ABCD,90ADC. (1) 在侧棱PC上是否存在一点Q,使/BQ平面PAD?证明你的结论;(2) 求证:平面PBC平面PCD; (3) 求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值. A P B C D Q 19 (本小题满分14 分)已知数列na中1112,2n naaa, 数列nb中11n nba,其中Nn(1)求证 :数列nb是等差数列(2)设nS是数列13nb
7、的前 n 项和 , 求12111.nSSS(3)设nT是数列1( )3n nb的前 n 项和 , 求证 :34nT20 (本小题满分14 分)已知椭圆C过点3(1,)2A,两焦点为1(3, 0)F、2( 3,0)F,O是坐标原点,不经过原点的直线lykxm:与椭圆交于两不同点P、Q(1)求椭圆C的方程;(2)当1k时,求OPQ面积的最大值;(3)若直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列,求直线l的斜率k21 (本小题满分14 分)已知函数)(ln 1)(Raxxaxf(1)当2a时,比较)(xf与 1 的大小;(2)当 29a时,如果函数kxfxg)()(仅有一个零点,求实数k的取值范围;(
8、3)求证:对于一切正整数n,都有 121715131) 1ln(nn东莞市 2015 届高三理科数学模拟试题(三) 参考答案一 选择题:每小题5 分,共 40 分. 序号1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCBAD A B B 二. 填空题:本大题共6 小题,每小题5 分,共 30 分 .9.3 10.2011.6, 212.22; 13. 714.)36, 1 (15. 3三. 解答题: 来源:16. 解 : (1)( )2 3sincoscos2Rf xxxxx,( )2sin(2) 6f xx. .3 分由222, 262kxkkZ,解得,63kxkkZ. 函数( )f x的单调递增区
9、间是, 63kkkZ. .6 分(2)在ABC中,()2,2 4fACc,2sin(2)2, 6A解得,3AkkZ. .7 分又0A, 3A. .8 分依据正弦定理,有,6 sinsin34aca解得.512BAC. .10 分116233sin262242ABCSacB. .12 分17. .解: (1)31)(AP, 513)(2 22 42 62 22 4 CCCCCBP5 分(2)的可能取值为0,1,2.7 分baPP,()2(与老师去同一城市) 1513151.9 分baPP,() 1(同城,但a 与老师不同 )baP,(不同, a 与老师同 ) 5215651325431.10 分
10、baPP、()0(不同, a 与老师也不同 )158543211 分所以. 15815805211512E.12 分18. (1) 解: 当Q为侧棱PC中点时,有/BQ平面PAD. 证明如下:如图,取PD的中点E,连AE、EQ. Q为PC中点,则EQ为PCD的中位线,/EQCD且12EQCD. /ABCD且12ABCD,/EQAB且EQAB,四边形ABQE为平行四边形,则/BQAE. BQ平面PAD,AE平面PAD,/BQ平面PAD. ,4 分(2) 证: PA底面ABCD,PACD. ADCD,PAADA,CD平面PAD. AE平面PAD,CDAE. PAAD,E为PD中点,AEPD. CD
11、PDD,AE平面PCD. /BQAE,BQ平面PCD. BQ平面PBC,平面PBC平面PCD. ,9 分(3) 解法一: 设平面PAD平面PBCl. /BQ平面PAD,BQ平面PBC,/BQl. BQ平面PCD,l平面PCD,,lPD lPC. 故DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角. ,12 分CD平面PAD,CDPD. 设12PAABADCDa,则222PDPAADa,226PCCDPDa,故3cos3PDDPCPC. 平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为33. ,14 分解法二: 如图建立直角坐标系,设1,2PAABADCD,则(0,0,0)A,(0,1,0),(
12、 1,2,0),(0,0,1)BCP,则(0,1, 1)PB,( 1,1,0)BC. 设平面PBC的法向量为( , , )nx y z,则由00n PBn BC00yzxyzxy,取(1,1,1)n. ,11分由CD平面PAD,/ABCD,知AB平面PAD,平面PAD的法向量为(0,1,0)AB. ,12分设所求锐二面角的大小为,则13cos313AB nABn. 所求锐二面角的的余弦值为33. ,14 分19. 解:(1)1 111 1111n n nnnab aa a, 而1 1nnba, 11111n nn nnabbaa*Nn nb 是首项为1 1111ba, 公差为 1 的等差数列4
13、 分(2)由( 1)可知nbn, 111(1).(12)3336nnn nbnSn, 6 分于是16(1)nSn n=116(),1nn7 分故有12111nSSS111116(1)2231nn=616(1)11nnn9 分(3)证明 : 由( 1)可知1( )3n nb1()3nn, 则211112 ()() .333n nTn231111111 ( )2 ( )1( )33333nn nTnn则232111( )( )3333nT+111( )( )33nnn11111 ( )( )233nnn, nT131 113( )()44 3234nnn14 分20.解( 1)由题意得3c, 可设
14、椭圆方程为222213xybb则2213134bb,解得21b所以椭圆C的方程为2 214xy4 分(2)22,440.yxmxy消去y得:22584(1)0xmxm,2121284(1),55mmxxx x,则2216(5)005mm,6 分设d为点O到直线l的距离 , 则12112222OPQmSd PQxx22 22 12121225()4512552mmmxxx xmm,当且仅当25 2m时,等号成立所以OPQ面积的最大值为19 分(3)22,440.ykxmxy消去y得:222(1 4)84(1)0kxkmxm,则2222226416(14)(1)16(41)0k mkmkm,212122284(1),1414kmmxxx xkk故22 12121212()()()y ykxm kx