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1、平面的法向量与 平面的向量表示已知平面，如果向量 的基线与平面 垂直，则向量 叫做平面的法向量或说 向量 与平面正交。由平面法向量的定义可知，平面的一个 法向量垂直于与平面共面的所有向量。由于同时垂直于同一平面的两条直线平 行，可以推知，一个平面的所有法向量互 相平行。由平面法向量的性质，很容易通过向量 运算证明直线与平面垂直的判定定理。 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和平面的两条相交直线垂 直，那么这条直线垂直于这个平面。已知: a、b是平面内 的两条相交直线，且 直线na，nb，求证：n. 由直线与平面垂直的判定定理，就可以推知，在平面AM1M2内的任一点M都满足条件式，又知满足条
2、件的所有点M都在平面AM1M2内。这就说明，我们可以用式表述通过空间内一点并且与一个向量垂直的平面。式通常称为一个平面的向量表示式。例1.设 分别是平面,的法向量,根据下列条件,判断,的位置关系.垂直平行相交例2、设平面的法向量为(1, 2, 2),平面的法向量为(2, 4, k), 若/，则k= ；若, 则 k= 。451、已知l/，且l的方向向量为(2, m, 1)，平面的法向量为(1, , 2), 则m= .82、已知l，且l的方向向量为(2, 1, m),平面的法向量为(1, , 2), 则m= .4练 习例3已知点A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)，其中abc0，如图，求平面ABC的一个法向量。 =(bc，ac，ab) 例4已知：AB，AC分别是平面的垂线 和斜线，BC是AC在内的射影，l 且 lBC，求证：lAC.三垂线定理 三垂线定理: 如果在平面内的一条直线与平面的一条 斜线在这个平面内的射影垂直，则它和这 条斜线垂直。类似地可以证明 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一 条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的 射影垂直。
