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1、 图论及其应用应用数学学院1本次课主要内容(一)、一些特殊平面图(二)、平面图的对偶图特殊平面图与平面图的对偶图1、极大平面图及其性质2、极大外平面图及其性质21、极大平面图及其性质(一)、一些特殊平面图对于一个简单平面图来说，在不邻接顶点对间加边， 当边数增加到一定数量时，就会变成非平面图。这样， 就启发我们研究平面图的极图问题。定义1 设G是简单可平面图，如果G是Ki (1i4),或 者在G的任意非邻接顶点间添加一条边后，得到的图均是 非可平面图，则称G是极大可平面图。极大可平面图的平面嵌入称为极大平面图。3注：只有在单图前提下才能定义极大平面图。引理 设G是极大平面图，则G必然连通；若G
2、的阶数大 于等于3，则G无割边。极大平面 图非极大平 面图极大平面 图(1) 先证明G连通。若不然，G至少两个连通分支。设G1与G2是G的任意两 个连通分支。4把G1画在G2的外部面上，并在G1,G2上分别取一点u与v. 连接u与v得到一个新平面图G*。但这与G是极大平面图相 矛盾。(2) 当G的阶数n3时，我们证明G中没有割边。若不然，设G中有割边e=uv，则G-uv不连通，恰有两个 连通分支G1与G2。设u在G1中，而v在G2中。由于n3, 所以，至少有一个 分支包含两个以上的顶顶点。设设G2至少含有两个顶顶点。又 设设G1中含有点u的面是 f , 将G2画在 f 内。由于G是单图，所以，
3、在G2的外部面上存在不等于点v 的点t。现在，在G中连接点u与t得新平面图G*,它比G多 一条边。这与G的极大性相矛盾。5下面证明极大平面图的一个重要性质。定理1 设G是至少有3个顶点的平面图，则G是极大平 面图，当且仅当G的每个面的次数是3且为单图。注：该定理可以简单记为是“极大平面图的三角形特 征”，即每个面的边界是三角形。证明：“必要性”由引理知，G是单图、G无割边且G的每个面的次数至 少是3。假设G中某个面f的次数大于等于4。记f的边界是 v1v2v3v4vk。如下图所示。6如果v1与v3不邻接，则连接v1v3，没有破坏G的平面性 ，这与G是极大平面图矛盾。所以v1v3必须邻接，但必须
4、 在 f 外连线；同理v2与v4也必须在f外连线。但边v1v3与边 v2v4在 f 外交叉，与G是平面图矛盾！所以，G的每个面次数一定是3.定理的充分性是显然的。v1v2v3v4v5vkf7推论：设G是n个点，m条边和个面的极大平面图， 且n3.则：(1) m=3n-6; (2) =2n-4.证明：因为G是极大平面图，所以，每个面的次数为 3.由次数公式：由欧拉公式：所以得：8所以得：又所以：注：顶点数相同的极大平面图并不唯一。例如：正20面体非正20面体9还在研究中的问题是：顶点数相同的极大平面图的个 数和结构问题。2、极大外平面图及其性质与极大平面图相对应的图是极小平面图。定义2 若一个可
5、平面图G存在一种平面嵌入，使得其所 有顶点均在某个面的边界上，称该图为外可平面图。外可 平面图的一种外平面嵌入，称为外平面图。外可平面图外平面图1外平面图210注：对外可平面图G来说，一定存在一种外平面嵌入 ，使得G的顶点均在外部面的边界上。这由球极投影法 可以说明。下面研究极大外平面图的性质。定义3 设G是一个简单外可平面图，若在G中任意不邻 接顶点间添上一条边后，G成为非外可平面图，则称G是极 大外可平面图。极大外可平面图的外平面嵌入，称为极大 外平面图。极大外平面图11引理 设G是一个连通简单外可平面图，则在G中有一 个度数至多是2的顶点。证明 我们对G的阶数n作数学归纳。当n3时，引理
6、结论显然成立；当n=4时，由于K4不 能是外可平面图，所以，四阶的外可平面图至少有一个 顶点度数不超过2。事实上，更强一点的结论是：当n=4 时，有两个不邻接顶点，其度数不超过2.设当G是一个阶数小于n的简单连通外可平面图时， 存在两个不邻接顶点，其度数不超过2。考虑G是一个阶数等于n的简单连通外可平面图。情形1，如果G有割点x12由归纳假设，G-x的两个不同分支中分别有一个异于 x的顶点z与z1,使得度数不超过2。这说明G中有两个不邻 接顶点, 使得度数都不超过2；x情形2 若G是2连通的。考虑G的任意一种外平面嵌入。则G的外部面边界一 定是圈。否则，容易推出G有割点。设C是G的外平面嵌入的
7、外部面边界。若除C外，图 中没有其它的边，则G=C, 显然G中有不邻接点，度数不 超过2；13若除C外，图中至少有边xy。如下图所示：xy则在C上的两条xy路上的点在G中的两个导出子图H1 与H2是外平面图。有归纳假设，在H1,H2中分别存在异于x ,y的点z与z1, 使得，它们的度数不超过2.xyzz114定理2 设G是一个有n (n3)个点，且所有点均在外部面 上的极大外平面图图，则则G有n-2个内部面。证明：对G的阶数作数学归纳。当n=3时，G是三角形，显然只有一个内部面；设当n=k时，结论成立。当n=k+1时，首先，注意到G必有一个2度顶点u在G的外 部面上。(这可以由上面引理得到)考
8、虑G1=G-v。由归纳假设，G1有k-2个内部面。这样G 有k-1个内部面。于是定理2得证。15定理3 设G是一个有n (n3)个点，且所有点均在外部面 上的外平面图图，则则G是极大外平面图图，当且仅仅当其外部面 的边边界是圈，内部面是三角形。注：这是极大外平面图的典型特征。证明：先证明必要性。(1) 证明G的边界是圈。设W=v1v2vnv1是G的外部面边界。若W不是圈，则存 在i与j,使得：1i,jn,且j-i1(modn),使vi=vj=v.此 时，G可以示意如下：Wvi-1 v1vnv2vi+1vj-1vj+1v16vi-1与vi+1不能邻接。否则W不能构成G的外部面边界。这 样，我们连
9、接vi-1与vi+1：vi-1 v1vnv2vi+1vj-1vj+1v得到一个新外平面图。这与G的极大性矛盾。(2) 证明G的内部面是三角形。首先，注意到，G的内部面必须是圈。因为，G的外部 面的边界是生成圈，所以G是2连通的，所以，G的每个面 的边界必是圈。17其次，设C是G中任意一个内部面的边界。如果C的长度 大于等于4，则C中一定存在不邻接顶点，连接这两点得到 一个新平面图，这与G的极大性矛盾。又由于G是单图，所 以C的长度只能为3.下面证明充分性。设G是一个外平面图，内部面是三角形，外部面是圈W.如果G不是极大外平面图，那么存在不邻接顶点u与v,使 得G+uv是外平面图。但是，G+uv
10、不能是外平面图。因为，若边uv经过W的 内部，则它要与G的其它边相交；若uv经过W的外部，导 致所有点不能在在G的同一个面上。所以，G是极大外平面图。18定理4 每个至少有7个顶点的外可平面图的补图不是外 可平面图，且7是这个数目的最小者。我们用枚举方法证明。证明：对于n=7的极大外可平面图来说，只有4个。如下 图所示。直接验证：它们的补图均不是外可平面的。而当n=6时，我们可以找到一个外可平面图G(见下图), 使得其补图是外可平面图。19(二)、平面图的对偶图1、对偶图的定义定义4 给定平面图G，G的对偶图G*如下构造：(1) 在G的每个面fi内取一个点vi*作为G*的一个顶点；(2) 对G
11、的一条边e, 若e是面 fi 与 fj 的公共边，则连接vi* 与vj*，且连线穿过边e;若e是面fi中的割边，则以vi为顶点20作环，且让它与e相交。例如，作出平面图G的对偶图G*G212、对偶图的性质(1)、G与G*的对应关系1) G*的顶点数等于G的面数；2) G*的边数等于G的边数；3) G*的面数等于G的顶点数；4) d (v*)=deg( f )对偶图面 边 割边 环 边割集 回路点 边 环 割边 回路 边割集对 应平面图G22(2)、定理5定理5 平面图G的对偶图必然连通证明：在G*中任意取两点vi*与vj*。我们证明该两点连 通即可！用一条曲线 l 把vi*和vj*连接起来，且
12、 l 不与G*的任意 顶点相交。显然，曲线 l 从vi*到vj*经过的面边序列，对应从vi*到 vj*的点边序列，该点边序列就是该两点在G*中的通路。注: (1) 由定理5知：(G*)*不一定等于G;23证明：“必要性”(2) G是平面图，则 当且仅当G是连通的。( 习题第26题)由于G是平面图，由定理5，G*是连通的。而由G*是平 面图，再由定理5，(G*)*是连通的。所以，由 得：G是连通的。“充分性”由对偶图的定义知，平面图G与其对偶图G*嵌入在同一平 面上，当G连通时，容易知道：G*的无界面 f *中仅含G的唯 一顶点v,而除v外，G中其它顶点u均与G*的有限面形成一一对 应，且对应顶
13、点间邻接关系保持不变，即：24(3) 同构的平面图可以有不同构的对偶图。例如，下面的两个图：G1G2但这是因为：G2中有次数是1的面，而G1没有次数是1的 面。所以，它们的对偶图不能同构。25例2 证明：(1) B是平面图G的极小边割集，当且仅当是G*的圈。(2) 欧拉平面图的对偶图是偶图。示意图26证明: (1)对B的边数作数学归纳。示意图当B的边数n=1时，B中边是割边显然，在G*中对应环。所以，结论成立。设对B的边数nk 时，结论成立。考虑n=k的情形。设c1 B, 于是B-c1是G-c1=G1的一个极小边割集。由归 纳假设：是G1*的一个圈。且圈C1*上的顶点对应于G1中的面f, f
14、的 边界上有极小边割集B-e1的边。27现在，把e1加入到G1中，恢复G。示意图G1由于G是平面图，其作用相当于圈C1*上的一个顶点对 应于G1中的一个平面区域 f, 被e1划分成两个顶点f1*与f2*,并 在其间连以e1所对应的边e1*。所以，B对应在G*中的C*仍然是一个圈。由归纳法， 结论得到证明。示意图28充分性：G*中的一个圈，对应于G中的边的集合B显然是G中的一 个边割集。 示意图若该割集不是极小边割集，则它是G中极小边割集之 和。而由必要性知道：每个极小边割集对应G*的一个 圈，于是推出B在G*中对应的边集合是圈之并。但这与 假设矛盾。(2) 因欧拉图的任意边割集均有偶数条边。于
15、是由 (1),G*中不含奇圈。所以G*是偶图。29例3 设T是连通平面图G的生成树，证明：T*=G*E*是G*中的生成树。(习题第27题)示意图30证明：情形1，如果G是树。在这种情况下，E* = .则T*是平凡图，而G*的生成树 也是平凡图，所以，结论成立；情形2，如果G不是树。因G的每个面必然含有边e不属于E(T),即G*的每个顶点 必然和E*中的某边关联，于是T*必然是G*的生成子图。下面证明：T*中没有圈。若T*中有圈。则由例2知：T的余树中含有G的极小边割集 。但我们又可以证明：如果T是连通图G的生成树，那么，T 的余树不含G的极小边割集。这样，T*不能含G*的圈。31又因在G中，每去掉T的余树中的一条边，G的面减少一 个，当T的余树中的边全去掉时，G变成一颗树T.于是，有：所以，T*是G*的生成树。32作业P143-146 习题5 ：3，4，5，6，8， 25, 26，27 。其中 25，26，27结合课件学习。33Thank You !34
