数理统计典型例题分析

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1、典型例题分析第 1 页 共 23 页典型例题分析例 1分别从方差为 20 和 35 的正态总抽取容量为8 和 10的两个样本， 求第 一个样本方差是第二个样本方差两倍的概率的范围。解以2 1S 和2 2S 分别表示两个（修正）样本方差。由2 222 12yxSSF知统计量2 22 1 2 22 175.13520SSSSF服从F分布，自由度为（ 7，9） 。1）事件2 22 12SS的概率05.3203523520222 22 1 2 22 12 22 1FPSSPSSPSSP因为F是连续型随机变量，而任何连续型随机变量取任一给定值的概率都等 于 0。2）现在我们求事件二样本方差两倍第一样本方

2、差不小于第A的概率：5 .322 22 1FPSSPp。由附表可见，自由度9,721ff的F分布水平上侧分位数),(21ffF有如下数值：)9 ,7(20. 45 . 329.3)9 ,7(025. 005. 0FF。由此可见，事件A的概率p介于 0.025 与 0.05 之间；05.0025.0p。例 2设nXXX，21是取自正态总体),(2N的一个样本，2s为样本方差，求满足不等式95.05.122SP的最小 n值。解由随机变量2分布知，随机变量/12Sn）（服从2分布，自由度1nv，于是，有95.0) 1(5. 1) 1(5. 1)1(2 ,05.022 22vvvPnPnSnP其中2

3、v表示自由度1nv的2分布随机变量，2 ,05. 0v是自由度为1nv的水典型例题分析第 2 页 共 23 页平05.0的2分布上侧分位数（见附表） 。我们欲求满足2 ,05.015.1vn）（的最小1vn值，由附表可见2 26,05. 0885.3839) 127(5 .1，2 2505. 0652.375.401265 .1，）（。于是，所求27n。例 3假 设随 机变 量X在区 间1,上有 均匀 分布， 其 中未 知 ：)(1nXX，是来自X的简单随机样本，X是样本的均值，nXXX,min1)1(是最小观察值。证明21? 1X和11? 12nX）（都是的无偏估计量。解由X在1,上均匀分布

4、，知2/ ) 12(EXEXi。1）由2121212221211?111niniinEXnE，可见1?是的无偏估计量。2）为证明2?是的无偏估计。我们先求统计量)1(X的概率分布。若，；若；若）（111,0xxxxXPxF其密度为。其他，若,01,1)(xxf由于nXX，1独立且与X同分布，知)1(X的分布函数为xXxXPxXPxXPxFn,111)1()1(1）（）（xXPxXPn11nxF)(11；典型例题分析第 3 页 共 23 页) 1()1 ()()(1)()(11 )1()1(xxnxfxFnxFxfnn于是，有111)1()1()1 ()(dxxxndxxxfEXn111 )1)

5、(1()1 ()1(dxxnxdxnnn11111nnnn。11?)1(2nEXE，从而2?是的无偏估计。在证2?的无偏估计时，先求估计量分布再求其数学期望。此外，下面将看到，1?是矩估计量，)1(X是最大似然估计量。3）有效性的验证，即验证两个无偏估计量哪一个更有效（方差较小），只需 计算它们的方差并加以比较， 验证估计量的最小方差超出了本课程的要求。读者只需了解一些常用的最小方差估计量。例如，对于正态分布总体),(2N，样本均值X和修正样本方差2S相应为和2的最小方差无偏估计量；事件频率np ?是它的概率p的最小方差无偏估计量。如果要求 有效率 ， 则用公式 )?()(0 DD计算，其中2

6、0 ),(ln1)()?(xfnEDD称为罗 . 克拉美不等式。例 4设总X服从正态分布），（2 0N，其中方差2 0为已知常数；关于未知数学期望有两个二者必居其一的假设：1100：，：HH，其中0和1都有已知常数，并且10。根据来自总体X的简单随机样本nXXX，21，确定假设0H 的水平否定域（即拒绝域） ，并计算第二类错误概率。 解取统计量典型例题分析第 4 页 共 23 页nXU00做检验的统计量。在假设00：H成立的条件下，），（ 10 NU。由于122uUpuUPuUPuUP。所以以下四种都是假设0H 的水平的否定域：221uUVuUV；1423uUVuUV；，其中 u 是标准正态分

7、布水平双侧分位数（见附表） 。在 假 设11:H成 立 的 条 件 下 ， 统 计 量) 1 ,( NU， 其 中001/)(n。因此，以)4 ,3 ,2 , 1(iVi为假设否定域的检验的第二类错误概率为：iVxiidxeVPHVP2)(11221。特别（设)(x是标准正态分布函数）1)()( 212122)(122uduedxeuuuuux ；)( 21 22)(222udxeux ；)( 21 22)(3 22udxeux ；)()(2 2121 112)(2)(4 1212udxedxe uxux 。为了便于比较，设91101. 0010n；，则13.0,28.1,65.1,39. 0

8、2. 01. 0uuu。查附表并经计算，容易得到9988.09999.00427. 00855. 04321，。计算结果表明，尽管四个检验的一类错误的概率都等于1.0，但它们的典型例题分析第 5 页 共 23 页第二类错误的概率却不相同。以2V 为否定域的检验的第二类错误的概率最小，为我们所选用。例 5对二项分布),(pnB作统计假设3.0:,6 .0:10pHpH。假设0H 的否定域取为21ccVnn，其中n表示 n次试验中成功的次数。对（1）; 3, 9, 1,1021nccn（2）6,17,7,2021nccn，求显著性水平和第二类错误的概率。解（1）显著性水平是第一类错误的概率，于是6

9、 .00pVPHVPn0479.04.06 .04.06.010910 101010 10 iiiiiiiiCC。111HVPHVPnn3.01pVPn8506.07 .03.07 .03 .0110910 101010 10 iiiiiiiiCC。（2）6 .00pVPHVPnn0370.04.06.04.06.02017207020 20 iiiiiiiiCC。3. 011pVPHVPnn2277.07 .03.07.03 .01201720 207020 10 iiiiiiiiCC。例 6谋装置的平均工作温度据制造厂家称不高于190。今从一个由 16 台 装置构成的随机样本册的工作温度的

10、平均值和标准差分别为195和 8。根据 这些数据能否说明平均工作温度比制造厂所说的要高？设05.0，并假定工作 温度服从正态分布。解设工作温度为X，根据题设),(2NX。考虑假设典型例题分析第 6 页 共 23 页190,190:10HH由于总体方差2未知，故用 t 检验。这里,151,16nvn对给定的05.0，查表得75.15 .1 ,1 . 0,20ttv。于是由表情形知假设0H 的否定域为75.1tV。由条件和0H 知8,195,1900SX，因此5.2 16/8190195t。由于75.15 .2t，所以否定域假设0H ，说明平均工作温度比制造厂说的要高。例7 某电话交换台在一小时

11、（60 分钟）内每分钟接到电话用户的呼唤次数有 如下纪录：呼唤次数k0 1 2 3 4 5 6 7 实际频数kv8 16 17 10 6 2 1 0 问统计资料是否可以说明，每分钟电话呼唤次数服从泊松分布？（）05.0 解设X表示每分钟电话呼唤次数，需要检验的假设XH ：0服从泊松分布。泊松分布中未知参数的最大似然估计为602601?kkkv。我们用)6 , 1 ,0( !2?kekpkkk估计概率)6 , 1 , 0(kkXPpk；用)4, 3, 2, 1 , 0(?kpnEkk估计kX的期望频数。为避免期望频数太小，将呼唤次数为5 和 6 的情况，合并为5X的情 况，为第 6 组：其实际频

12、数为2+1=3，期望频数为16. 3)(655ppnE。典型例题分析第 7 页 共 23 页计算结果列入下表： 分组k0 1 2 3 4 5 实际频数kv8 16 17 10 6 3 期望频数kE8.12 16.24 16.24 10.83 5.41 3.16 2)(kkEv0.0144 0.0577 0.5776 0.6889 0.3441 0.0256 kkk EEv2)(0.0018 0.0036 0.0356 0.0631 0.0640 0.0081 所以统计量1762. 0)(502 2kkkk EEv。统计量2的自由度16mv，其中1m是用到参数估计值的个数， 故4v。对于，05.

13、0，查表得488. 92 4,05. 0；假设0H 的否定域为488. 92V。由于2=0.17629.488, 所以不否定假设0H ， 即可以认为电话呼唤次数服从泊松分布。 例8 对 200个电池左寿命试验，得如下统计分布：使用寿命小时0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 电池个数133 45 15 4 2 1 试求所得统计分布与指数分布的拟合优度。解设X表示电池的寿命， 需要检验假设XH:0服从指数分布。 指数分布中未知参数需要用其最大似然估计X/1来估计。在这里5)15 .2725.2245.17155.12455 .71335 .2(2001X。所以5/1?

14、。在5/1:0服从指数分布，参数为“XH”成立前提下， 观察值落入各组的概率)6 , 2, 1(51?555 111ieedxeuXuPpii iiuu uuxiii。典型例题分析第 8 页 共 23 页计算结果列入下表：分组iiuu10-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-实际频率iv133 45 15 4 2 1 概率ip ?0.6321 0.2325 0.0855 0.0315 0.0116 0.0068 期望概率iE126.42 46.50 17.10 6.30 2.32 1.36 iii EEv2)(0.3425 0.0484 0.2579 0.8397 0.04

15、41 0.0953 所以统计量6279.1)(2 2iii EEv。统计量2的自由度4116v，查表得2 4,94. 0=1.064，195.22 4,7 .0。由于1.0641.62972.195, 的可得统计分布与指数分布的拟合优度不小于0.70 。例 9 设随机变量 X和 Y相互独立，),(),(2 222 11NYNX。1621,XXX是 X的一个样本，1021,YYY是Y的一个样本，测得数据1012101161216172,18,563,84ii ii ii iiyyxx（1）分别求21,的矩估计量；（2）分别求2 22 1，的极大似然估计值；（3）在显著水平05.0下检验假设2 2

16、2 10：H，2 22 11：H。解（1）用样本一阶原点矩估计总体一阶矩，即得1和2的矩估计值：8.1101?,25.5 161?10121611 ii iiyxx。（2）正态总体),(2NX的参数2的极大似然估计量为niiXXn122)(1?。因此2 22 1和的极大似然估计值为625.716161)(161?16112222 1 iniiixxxx96.316101)(101?10112222 2 iniiiyyyy典型例题分析第 9 页 共 23 页（3）是21,未知，双总体方差的假设检验。待检假设2 22 10：H；2 22 11：H，是在05.0下的单侧检验。因为4 .4)( 91,31.8)(15112 12 2 122 1niniiyySxxS。所以 F 同机量得值847.14. 415.82 22 1 SSF查 F 分布表，得01.391505