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1、应力与应变分析 1.1应力与点的应力状态 1.2点的应力状态分析 1.3应力张量的分解与几何表示 1.4应力平衡微分方程 1.5应变与位移关系方程 1.6点的应变状态 1.7应变增量 1.8应变速度张量 1.9主应变图与变形程度表示 1.1 应力与点的应力状态 外力(load)与内力(internal force) 外力P：施加在变形体 上的外部载荷。 内力Q：变形体抗衡外 力机械作用的体现。 应力（stress） 应力S是内力的集度 内力和应力均为向量 应力的单位：1Pa=1N/m2 =1.0197kgf/mm2 1MPa=106 N/m2 应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点 的应力
2、不同。 应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即 同一点不同方位的截面上的应力是不同的。 0lim APSA 应力可以进行分解Sn n、n（nnormal,法向） 某截面（外法线方向为n）上的应力： 或者 （求和约定的缩写形式） 全应力全应力(stress) 正应力正应力(normal sress) 剪应力剪应力(shear stress) nnnnxyznxyzS22nij ijnij innnl l SlS 1.2 点的应力状态分析 1.2.11.2.1主应力及应力张量不变数 1.2.21.2.2主剪应力和最大剪应力 1.2.31.2.3八面体应力与等效应力 1.2.1 主应力及应力张量
3、不变数 设想并证明主应力平面（其上只有正应力，剪应力 均为零）的存在，可得应力特征方程： 0322 13III) 0(322 13III0)()(321 1.2.2 主剪应力和最大剪应力 主剪应力(principal shear stress)：极值剪应力（不为零） 平面上作用的剪应力。主应力空间的110面族。 最大剪应力(maximun shear stress)： 321通常规定：通常规定： 231 max则有最大剪应力则有最大剪应力： 02,2,2,max31231213 3132 2321 12312312max或者：或者： 其中：其中： 且有且有： 1.2.3 八面体应力与等效应力
4、即主应力空间的111等倾面上的应力。 这组截面的方向余弦为： 正应力 剪应力 总应力 八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形有 关。 445431ozyxlll2 132 322 21813218)()()(3131)(31I2 82 88P 1.3 应力张量的分解与几何表示 (i,j=x,y,z)(i,j=x,y,z) 其中其中 即平均应力即平均应力， 为柯氏符号为柯氏符号。 即即 mijijij)(31zyxm 100010001.mzyzyxzxyxzyzyxzxyx , mxxmyy mzz 1.4 应力平衡微分方程 直角坐标下的应力平衡微分方程* 即 （不计体力） 物理意义
5、：表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态 0iij ),(zyxji000xyxxzyxyyzzyzxzxyzxyzxyz的关系。对弹性变形和塑性变形均适用。 1.5 应变与位移关系方程 1.5.1 几何方程 1.5.2 变形连续方程 1.6 点的应变状态 指围绕该点截取的无限小单元体的各棱长及棱间 夹角的变化情况。 可表示为张量形式： 应变张量（strain tensor）也可进行与应力张 量类似的分析。 zyzxzyxyxij .( i, j = x, y, z ) 1.7 应变增量 全量应变与增量应变的概念 前面所讨论的应变是反映单元体在某一变 形过程终了时的变形大小，称作全量应变 增
6、量应变张量 )d()dU(21di jj iijUxx 1.8 应变速度张量 设某一瞬间起dt时间内，产生位移增量 dUi，则应有dUi=Vidt。其中Vi为相应位移 速度。代入增量应变张量，有： 令 即为应变速率张量 txV xVtVxtVxiiji i jj iijd21)d()d(21d ijji ijxVxV 21 1.9 主应变图与变形程度表示 主变形图是定性判断塑性变形类型的图示方法。 主变形图只可能有三种形式 变形程度表示 绝对变形量 指工件变形前后主轴方向上尺寸 的变化量 相对变形 指绝对变形量与原始尺寸的比值， 常称为形变率 真实变形量 即变形前后尺寸比值的自然对数 应力应变
7、分析的相似性与差异性 相似性：张量表示、张量分析、张量关系相似 mijijIIIzyxji,), ( 88max321321mijijJJJzyxji,), ( 88max321321 差异性： 概念：应力 研究面元ds上力的集度 应变 研究线元dl的变化情况 内部关系：应力应力平衡微分方程 应变应变连续（协调）方程 弹性变形：相容方程 塑性变形：体积不变条件 等效关系： 等效应力弹性变形和塑性变形表达式相同 等效应变弹性变形和塑性变形表达式不相同 对于弹性变形： （泊松比） 对于塑性变形： 2 132 322 21)()()()1 ( 22e2 132 322 21)()()(32e 真实应力和真实应变含义： )()(tAtptr表示某瞬时的应力值表示某瞬时的应力值 )ln(0llttr表示对某瞬时之前的应变的积分表示对某瞬时之前的应变的积分
