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1、1基基于于 KKKKT T 条件的偏心压杆的优化设计条件的偏心压杆的优化设计专业：机械设计制造及其自动化 学校：西安电子科技大学 班级：1304011 班 学号：13040110012 姓名：陈冠琪2基于基于 KKTKKT 条件的偏心压杆优化设计条件的偏心压杆优化设计摘要摘要本文对偏心压杆模型的分析，通过挠曲线方程推导出杆的最大挠度和横截 面上的最大正应力。建立梁柱轻量化设计的优化模型，从压杆的强度，刚度，稳 定性入手，得出目标函数和约束条件。并通过目标函数和约束条件通过梯度得出 KKT 条件，然后利用 matlab 优化工具箱中的 fmincon 函数求解最小的目标函数 值。因为 fminc
2、on 函数解的不是全局最优值，而是局部最优值，所以选取了多个初始值，最终得出最优解为0.1074 ,0.001Rm tm，最优值为26.4822mkg，拉格朗日结构域的下限为 2。引言引言从十八世纪中期欧拉提出了著名的轴压杆临界力公式，对于压杆稳定性问 题的研究已经有二百多年的历史。 但是其中却花了一百多年的时间去认识欧拉公 式仅仅适用于材料的弹性工作范围。 对于非弹性压杆临界力的研究有双模量理论 和切线模量理论。不管哪个理论都是从理想的直杆出发的，与实用压杆存在着各 种“偶然偏心”的缺陷不相符，因此，对于实用压杆来讲，应当按照偏心压杆考 虑更为实际。 对于压杆稳定，当受拉杆件的应力达到屈服极
3、限或强度极限时，将引起塑性 变形或断裂。长度较小的受压短柱也有类似的现象，例如低碳钢短柱被压扁，铸 铁短柱被压碎。这些都是由于强度不足引起的失效。 压力的极限值称为临界压力或临界力。压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为 曲线平衡，称为丧失稳定，简称失稳，也称为屈曲。压杆失稳后，压力的微小增 加将引起弯曲变形的显著增大，杆件已经丧失了承载能力。这是因失稳造成的失 效，可以导致整个机器或结构的损坏。但细长压杆失稳时，应力并不一定很高， 有时甚至低于比例极限。可见这种失效，并非强度不足，而是稳定性不够。 在求取有约束条件的优化问题时， 拉格朗日乘子法 （Lagrange Multiplier) 和 KK
4、T 条件是非常重要的两个求取方法，对于等式约束的优化问题，可以应用拉 格朗日乘子法去求取最优值；如果含有不等式约束，可以应用 KKT 条件去求取。 当然，这两个方法求得的结果只是必要条件，只有当是凸函数的情况下，才能保 证是充分必要条件。KKT 条件是拉格朗日乘子法的泛化。正文正文一、问题描述一、问题描述如图 1 所示偏心压杆，其顶端受载荷100PkN，杆长5Lm，压杆材料的弹性模量210EGpa，许用应力250aMpa，载荷的偏心距为0.02 ,eR m，3许用变形0.25m ，材料密度37850/kg m，截面积22, mARt，惯性矩34, mIR t， 外半径0.5 , mcRt， 求
5、在偏心压杆压应力不超过许用应力a和屈曲临界应力cr的条件下，压杆的截面平均半径R和管壁厚度t，使压杆的总质量 m 最小。图 1经过详细的分析，我把压杆的优化设计问题归结为求 , TxR t，是杆的结构质量( )minm x ，但应满足强度约束条件( )ax，压杆稳定约束条件( )crx和刚度约束条件 。题中偏心压杆模型为一端固定，一端自由，在组合变形的讨论中曾经提出， 直杆受偏心压力作用时，仅在杆的弯曲刚度很大的情况下，才可按叠加原理计算 杆横截面积上的最大正应力；若杆的弯曲刚度较小，叠加原理不再适用。这里我 用挠曲线微分方程求解一端固定，一端自由的偏心压杆模型。1（如图 2） （a）杆的任意
6、截面上的弯矩为：令2FkEI，则22( )( )()w xk w xke( )sincos()w xAkxBkxe（1）而( )cossinw xAkkxBkkx边界条件10,0xw图二 偏心压杆模型( )( )( )( )( )( )()M xFew xEIw xFew xFFw xw xeEIEI 400,0AkA20,0xw00(),()Be Be 故式（1）为：( )()cos()()(1 cos)w xekxeekx （2）3,xl w，代入式（2） ，则()(1 cos)ekl于是杆的最大挠度为：(1 cos)11sec() 1coscos()eklFeelklEIFlEI（3）（
7、b）杆的横截面上的最大弯矩maxM产生在固定端：max(0)()sec( )sec()coseFMF eF eeFeklFelklEI（4）（c）杆的横截面上的最大正应力：max max1()(sec()MFeFFlAWAwEI （5）上述材料力学模型求出了偏心压杆的最大挠度和最大正应力， 然后把题目中的参 数代入，得出计算公式：应力：2 21sec, PecLPkI AAkkEA变形量：sec1PeLEI二、优化模型二、优化模型的建立的建立1、目标函数22 101010( )()()()2m xRRlRRRR lRtl（6）2、约束条件 （1）强度、刚度、稳定条件5偏心压杆所受压应力为：2
8、21sec, PecLPkI AAkkEA（7） 材料的最大变形量为：sec1PeLEI（8）压杆失稳的临界应力为：cr crP A；其中224crEIPL，2ARt（9）因此，强度约束条件( )ax可以写成21secaPecLP AkkEA；（10）刚度约束条件 可以写成sec1PeLEI ；（11）稳定约束条件( )crx可以写成21seccrPecLP AkkEA；（12）（2）边界条件 因为偏心压缩的计算是针对大柔度小偏心距的情况， 根据欧拉公式的应用范 围，我可以利用此范围来计算出杆平均半径的范围，计算过程如下： 压杆的柔度：32 51010 22l iRIR tARt （13）应用
9、欧拉公式的压杆柔度的界限值p：96210 10101.8200 10p pE， 其中200pMpa(14)由p条件，求得0.1389Rm；厚度这里我取0.001t 。 3、优化问题的数学模型（杆的轻量化模型） 将已知条件代入上述目标函数和各约束条件并简化，得到偏心压杆的轻量化模6型:Find12 ,Txx xMin12( )78500f xx x43 812 1 12111243 92212 21 1211123143 124. .0.04(0.5)5 1015 10( )1sec()2.5 1004100.04(0.5)5 1015 10( )1sec() 1.05 1004101( )0.
10、02sec(51)0.250210 10( )stxxg xx xxxx xxxgxxx xxxx xgxxx xgxx 1520.13890,( )0.0010gxx (15)三、三、KKTKKT 条件的讨论条件的讨论22因为约束条件只有不等式约束，所以这里的 KKT 条件可表示为：*1()()00(1,. ) 00lji ijjjjf xg xgjlg (16)目标函数的梯度为：21( )78500;78500f xxx(17)各约束函数的梯度为： 应用 matlab 求解梯度 syms r tg1(r,t)=50000*(1+0.04*(r+0.5*t)*sec(sqrt(5e-3/41
11、0/pi/r/t)/r)/r)/pi/r/t-25e7;dg11=diff(g1(r,t),r)dg12=diff(g1(r,t),t)g2(r,t)=50000*(1+0.04*(r+0.5*t)*sec(sqrt(5e-3/410/pi/r/t)/r)/r)/pi/r/t-1.05e9*pi2*r2;dg21=diff(g2(r,t),r)dg22=diff(g2(r,t),t)g3(r,t)=0.02*r*sec(5*sqrt(1/(21e5)/pi/(r3)/t)-1)-0.25;dg31=diff(g3(r,t),r)dg32=diff(g3(r,t),t)7把计算出的结果中的r，t
12、换成x（1）和x(2)得出以下约束函数的梯度：11 1 12( )( )( ),g xg xg xxx-(50000*(x(1)/25+x(2)/50)/(x(1)2*cos(2291426734268879/(590295810 358705651712*x(1)*x(2)(1/2)/x(1)-2000/(x(1)*cos(2291426734268879/(590295810358705651712*x(1)*x(2)(1/2)/x(1)+(50000*sin(2291426734268879/(590295810358705651712*x(1)*x(2)(1/2)/x(1)*(x(1)
13、/25+x(2)/50)*(2291426734268879/(590295810358705651712*x(1)*x(2)(1/2)/x(1)2+2291426734268879/(1180591620717411303424*x(1)3*x(2)*(2291426734268879/(590295810358705651712*x(1)*x(2)(1/2)/(x(1)*cos(2291426734268879/(590295810358705651712*x(1)*x(2)(1/2)/x(1)2)/(pi*x(1)*x(2)-(50000*(x(1)/25+x(2)/50)/(x(1)*
14、cos(2291426734268879/(590295810358705651712*x(1)*x(2)(1/2)/x(1)50000)/(pi*x(1)2*x(2),(1000/(x(1)*cos(2291426734268879/(590295810358705651712*x(1)*x(2)(1/2)/x(1)-(7160708544590246875*sin(2291426734268879/(590295810358705651712*x(1)*x(2)(1/2)/x(1)*(x(1)/25+x(2)/50)/(73786976294838206464*x(1)3*x(2)2*cos(2291426734268879/(590295810358705651712*x(1)*x(2)(1/2)/x(1)2*(2291426734268879/(590295810358705651712*x(1)*x(2)(1/2)/(pi*x(1)*x(2)-(50000*(x(1)/25+x(2)/50)/(x(1)*cos(2291426734268879/(590295810358705651712*x(1)*x(2)(1/2)/x(1) +50000)/(pi*x(1)*x
