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1、1 复习题简答：第一章1、 设 A、B、C 表示三个随机事件，试将下列事件用A、 B、C表示出来：（1）B,C都发生，而A 不发生；（2）A,B,C中至少有一个发生；（3）A,B,C中恰有一个发生；（4）A,B,C中恰有两个发生；（5）A,B,C中不多于一个发生；（6）A,B,C中不多于两个发生。解:（1）BCA（2）CBA（3）CBACBACBA（4）CBABCACAB（5）CBACBACBACBA（6）ABC2、 把 1，2，3，4，5 诸数各写在一张纸片上任取其中三个排成自左而右的次序。问：（1）所得三位数是偶数的概率是多少？（2）所得三位数不小于200 的概率是多少？解： （1）2 4
2、 3 52AA52（2）2 4 3 5445AA3、 甲乙丙三人去住三间房子。求：（1）每间恰有一个的概率；（2）空一间的概率。解 :（1） 92333 3A（2）121 332 3233C C C4、 设 8 支枪中有3 支未经试射校正，5 支已经试射校正。一射击手用校正过的枪射击时，中靶概率为0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶概率为0.3. 今假定从8 支枪中任取一支进行射击，求：（1）中靶的概率；（2）若已知中靶，求所用这支枪是已校正过的概率。解:设 A：中靶。 B：射击所用枪支是已校正过的。80493.0838 .085)(AP49403.0838.0858.085)(ABP2 5、
3、 设有甲乙两盒，其中甲盒内有2 只白球 1 只黑球，乙盒内有1 只白球 5 只黑球。求从甲盒任取一球投入乙盒内，然后随机地从乙盒取出一球而得白球的概率。解:A：从乙盒取出一球得白球。B：从甲盒中取一白球放入乙盒。 22115()() (|)( ) P(A |B)373721P AP B P A BP B6、 设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的45%，35%， 20%。如果各车间的次品率依次为4%，2%，5%。现在待出厂产品中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率。解： A：任取一个产品是次品。B：产品由甲车间生产。3518%5%20%2%35%4%45%4%45)
4、(ABP7、 对某种药物的疗效进行研究，假定这药物对某种疾病治愈率为0.8，现 10 个患此病的病人都服用此药，求其中至少有6 人治愈的概率。解:X：治愈的人数，)8 .0,10( BX0.9672)8 .0()2.0()8.0()2.0()8.0()2.0()8.0()2.0()8.0(61010 10199 10288 10377 10466 10CCCCCXP第二章8、 某产品 5 件，其中有2 件次品。现从其中任取2 件，求取出的2 件产品中的次品数X的概率分布律及分布函数。解：次品数X可能的取值为0，1，2 分布律为：2 3 2 500.3CP XC0.6 12 51 21 3 CC
5、CXP0.122 52 2 CCXP分布函数为：0,00.3,01( )0.9,121,2xxF xxx3 9、 设连续型随机变量X 的分布函数为3,0( )0,0xABexF xx,试确常数A,B，并求1X1 3P，1P X及概率密度。解：由()1F及( )F x在 0 的连续性，得A=1,B= -1，所以31,0( )0,0xexF xx13111(1)( )e ;33PXFFe311(1);P XFe33,0( )( )0,0xexf xF xx10、已知连续型随机变量X有概率密度1,02( )0,kxxf x其它，求：（1）系数 k；（2）分布函数F(x)；（3）P1.52 。解：00
6、3.0)75.2(1)75.2( 25.1425.14XPXP4414.0)75.1(1)25.0(1)25 .12()25 .12(1212XPXP13、设随机变量X在（ -1，1）上服从均匀分布，求31YX的概率密度。解： 其他,011,21 )(xxf31YX的概率密度为 其他,042,61 )(yyfY14、设X的分布律为X -2 -1/2 0 2 4 p 1/8 1/4 1/8 1/6 1/3 求（ 1）2X, （2）1X， （3）2X的分布律。X+2 0 3/2 2 4 6 p 1/8 1/4 1/8 1/6 1/3 -X+1 3 3/2 1 -1 -3 p 1/8 1/4 1/8
7、 1/6 1/3 2X4 1/4 0 16 p 7/24 1/4 1/8 1/3 第三章15、一整数X随机地在1，2， 3，4 四个整数中取一个值，另一个整数Y随机地在1 到 X中取一个值，试求（X,Y ）的分布律。解：X Y 1 2 3 4 1 1/4 0 0 0 2 1/8 1/8 0 0 3 1/12 1/12 1/12 0 4 1/16 1/16 1/16 1/16 5 16、设 (X,Y) 的概率密度为222222(1),+1( ,) 0,+1Cxyxyf x y xy，试求：（1）系数 C； （2）(X,Y) 落在 D:222(1/ 2)xy确定的区域内的概率。解: 根据 -1),
8、(dxdyyxf解出3C21)1 (3),(21020drrrdDYXP17、设 (X,Y) 的概率分布律为X Y 1 1.2 1.4 0.8 1 1/5 1/5 0 0 1.5 1/5 1.3 1/5 1.2 1/5 求（ 1）(X,Y) 的边缘分布律； （2）PXY 。解: X 1 1.5 1.3 1.2 p 2/5 1/5 1/5 1/5 Y 1 1.2 1.4 0.8 p 2/5 1/5 1/5 1/5 （2）PXY=3/5 18、设二维连续型随机变量(X,Y) 的概率密度为34,0,0,(2)( , )0,.xyxyf x y其它求(X,Y)的边缘概率密度，并判断X,Y是否相互独立。
9、解: 0,00,)2(2)2(4 ),()(203xxxdyyxdyyxfxfX0,00,)2(2)2(4 ),()(203yyydxyxdxyxfyfYX,Y不相互独立6 19、若 X,Y独立且都服从同一概率密度,0,( ) 0,0.xxexf x x，求（1）(X,Y) 的联合概率密度；（2）P02 。解:(X,Y)的联合概率密度函数为 其他,00, 0,),()(yxxyeyxfyx1()120201,2(12)3xyPXYxyedxdyee或120X1,Y2P0X1Y2(1 2e )3PPe第四章20、一个有 n 把钥匙的人要开他的门，他随机而又独立地用钥匙试开。如果除去试开不成功 的
10、钥匙，求试开次数的数学期望。解:设 X为试开次数，则X的可能取值为1，2， n，且12111(),1,2,n121nnnkP Xkknnnknkn2112)1(11211)(nnnnnnnnXE21、对球的直径作近似测量，设其值均匀地分布在区间 , a b内，求球体积的均值。解:3 6DV)(2416)(223ababdxabxVEba22、设 X为随机变量，2(),()E XD X，试证：2(1)(1)E X X。证明：22222) 1()()()()1(XEXEXXEXXE23、设 (X,Y) 服从(x, y) |0x1,0yxD上的均匀分布，试求X,Y的相关系数XY，并说明 X与 Y是否
11、不相关。解: 其他,0),(, 2),(Dyxyxf41)(,31)(32)(XYEYEXE，361)()()(),cov(YEXEXYEYX61)(21)(22YEXE，181)(181)(YDXD，21)()(),cov(YDXDYX XY不是不相关。7 24、对于随机变量X,Y ,Z，已知()( )1,()1,()()()1,E XE YE ZD XD YD Z0,0.5,0,5XYXZYZ求（ 1）2()E XY； （2）()D XYZ。解:22()(XY)()E XYDEXY22()( )2()( )()E(Y)11( 2)6XYD XD YD X D YE X3),cov(2),c
12、ov(2),cov(2)()()()(ZYZXYXZDYDXDZYXD25、 在 n 重贝努里试验中， 若每次试验A 出现的概率为0.75， 试利用切比雪夫不等式求出n，使 A 出现的频率在0.74 至 0.76 之间的概率不小于0.9。解:事件 A 出现的次数)75.0 ,(nBX,75. 0)(nXE,1875.0)(nXDnnnnnXPnXP18751 )01.0(1875.0101.075.0)76.074.0(2,9 .018751n.18750n第五章26、已知一批产品 （批量很大） 的次品率0.1p，现从这批产品中随机地抽取1000 件进行检查，求次品数在90 至 110 之间的
13、概率。解:次品数)B(1000,0.1X，()10000.1100,()10000.1 0.990E XD X由中心极限定理X-10090近似服从(0,1)N0.7062(-1.05)-(1.05)90100-11090100-X90100-90P110XP908 27、设某电话交换台每秒种平均被呼叫2 次（电话交换台每秒被呼叫次数服从泊松分布），试求在 100 秒钟内被呼叫次数在180 至 220 次之间的概率。解:第 i 秒呼叫次数(2)Xi2)(,2)(iiXDXE， 100 秒内呼叫次数为X ， 则1001i iXX()1002200,()1002200E XD X，由中心极限定理X-
14、200200近似服从(0,1)N8414.0(-1.41)-(1.41) 200200-220200200-X200200-180P220XP1801001i i第六章28、设12,nXXX来自总体X的简单随机样本，已知2(),()E XD X，试求(),()E XD X。解: E(X)XE(n2 )XD(29、设125,XXX来自总体X为标准正态分布的简单随机样本，试确定常数c，使得12222 345()c XXT XXX服从t分布。解: )2,0(X21NX)1,0(2X21NX)3(22 52 42 3XXX所以，1212222222 345345(X)/23 (3) 2(XXX)/3X
15、XXXXXt6 / 2c9 30、设有 N 个产品，其中有M 个次品，进行放回抽样。定义iX如下，1,0,.iiXi第 次取得次品，第 次取得正品求样本12,nXXX的联合分布律。解: 总体 X的分布律为：1()() (1),0,1xxMMP XxxNN，则样本12,nXXX的联合分布律为niiniinnxnxxxxxxx nNMNMNMNMNMNMNMNMxxxf112211)1()()1 ()()1()()1()(),(111 21*31、设一批灯泡的寿命X 服从参数为的指数分布，求来自总体样本12,nXXX的联合概率密度。解:总体的概率密度：,0( )0,0xexf xx则样本12,nX
16、XX的联合概率密度为niixneeeexxxfnxxx n121),(21*32、在总体(7.6,4)N中抽取容量为n的样本， 如果要求样本均值落在(5.6,9.6)内的概率不小于 0.95，则n至少为多少？解: )4,6.7(nNX95.0 /26.76 .9/26 .7/26.76.56 .96 .5 nnXnPXP95.0)()(nn, 95.01)(2n0.975)(n, 1.96,3.84nn故，样本容量至少为4. 10 33、设1217,XXX是来自正态分布2( ,)N的一个样本，2,X S分别是样本均值和样本方差。求k使得0.95P XkS。解:X (16) /17t S, 95.01717kSXPkSXP171.7459k, 0.4234k第七章34、设总体分布律为22()(1)(1),2,3, 01kP Xkkk，求的极大似然估计。解: 似然函数：n
