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1、1990 年全国初中数学联赛试题 1990 年全国初中数学联赛试题 第一试 第一试 一、选择题 本题共有 8 个小题，每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论，其中只有一个是正确的，请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。 131231131144+的值是（ ） （A）1 （B）1 （C）2 （D）2 2在ABC中,AD是高,且AD2 = BDCD，那么BAC的度数是（ ） （A）小于 90 （B）等于 90（C）大于 90（D）不确定 3方程是实数)有两个实根kkkxkx(02)13(722=+、，且 01， 12，那么 k 的取值范围是（ ） （A）3k4； （B）2k1；
2、（C）3k4 或2k1 （D）无解。 4恰有 35 个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同整数是（ ） （A）17 （B）18 （C）35 （D）36 5ABC 中，22=AB，2=AC，2=BC，设P为边上任一点，则（ ） BC（A）PBPA2PCPBPA 与2PC6若六边形的周长等于 20，各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构成三角形，那么，这样的六边形（ ） （A）不存在 （B）只有一个 （C）有有限个，但不只一个 （D）有无穷多个 7若的尾数是零，且balog2loglog1logabbbaa，那么下列四个结论：（1）21abb（2）0loglog=+abba（
3、3）10=kkkkfkkfkkf或 4.（A） ,最大的是， ,设2在CD,D点在ABCABC90BAC因此BAC的度数不确定 记)(=xf2)13(72124303)2(082) 1 (02)0(222+=+=xxx 6.（D） PCPBPA2若能找到 6 个整数,21aa,6a 使满足 +21aa206=+ a（1）； （2），1a2a21aa+3a32aa+；4a43aa+，； （3）5a54aa+4a54321aaaaa+ 则以为边长的六边形，即可符合要求 事实上，对任选三整数 1 6a,21aa6, a6，必有kjiaa+ij，可见此六边形的任三边不能构成一个三角形 6ka现取 ,
4、5, 3, 2, 1543218=aaaaa，4321,aaaa, ,aa满足全部条件. a则故这样的六边形至少存在一个.又由n边形(n4)的不稳定性,即知这样的六边形有无穷7. 65多个. (A) 由bbbbaaaa1loglog21loglog得. 所以,可得bababaloglog2log211= 018)8(2=+axaxCPBPAPmii+=2 ii(log, 02bbaaa即所以. ,所以=-1, 又因为4)logb0log2,因为balog为整数balog1,1=b即=aba从而,结论(4)正确. 8. 首先,若以,分别记(B) PQRCRQBPQAPR,则S,S,S均不大于21
5、112=1.又因为ACBPQR=+=)(180, 所以易证:2h1h(1h,2h分别为APRQRP ,公共边PR上的PR的对称图时Q，A都在以PR为弦的含的弓形弧上，且因PQ=QR，所以Q为这弧中点，故可得出hh2） 。 从而S高,因若作出PQR关于形PQR，这A11S2ABC1，这样=S+S+S+SNS22最后，当AB=AC-2，A=90时， 14= S=2 即可以达到最大值 2。 因所以所求数字等于 （1+4+9+6+5+6+9+4+1）的结果的个位数字。 即5。 程 的 两 个 整 数 根 ， 由BC，如图，则BD=DC。设BD=DC=y，DPi =x, . 4)(222=+=+=+AC
6、yADyxAPyxxyiiABC二填空题 二填空题 1. 62 2. 5 .622)(11221 212 =+=+xxxxx x123456789=1012345678+9， 1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）12345678+ 58+5=45 的个位数的数字，故所求数字为 3. 8 原 方 程 整 理 为 设x1,x2为 方 x1+x2=a+8，知a为整数，因此，x-a和x-8 都是整数。故由原方程知 4400 作AD 则 (2+= AP22240010021=+ +mmm. 第二试 第二试 一.证一.证图, 连BD, CE. 因. 明明 如CDEBCDCDEBCDDECDBC = 2
7、180=DECDCECDBCBD. 3018)2180(=BCE BAE3=, 又 共圆共圆同理可证共圆EDCBAEDBAECBA, =DAECADBAC. 二.解二.解设法法 1 ,(1,为整数nmn0xmx+=+=,) 1, 若 x+x1=+=1 11+=+=+nmnmxx是整数。 令 ),(1为整数kxx=+ 012=+kxx 即 解得 ).4(212=kkx 当1,2=xk时易验证它不满足所设等式。 当3时，)4(212=kkxk是满足等式的全体实数。 由于不是完全平方数（事实上，若则但当42k224hk=422= hkk3时， 两个平方数之差不小于5） 。 x是无理数是有理数。 所以
8、，即满足题设等式的x，都不)53(21+=x或)53(1=x 解法解法2 （1）取2（2）用反证法证明之。 反设满足等式之x为有理数。首先，若x为整数，则x=0，代入等式得x1=1，与0x1=1矛盾。 其次，若x为非整数的有理数。令 q pnx+=（其中n，p，q均为整数1. qp 且（q，p）=1） 则qnpr+=1(其中s,r为整数当n0时0rxnp+q当 -1时,np+qn0) rx+qnpr +x1=若即x满足等式，1=+nprqqp)()(qnppprqnpq+=+即 . 从而得 即 =qpqp与整除矛盾. x都不是有理数. 三.证三.证的棋子数分别PP2121,)1 (2rqnnppq+=21),(,故满足等式之明明 设各行PnnnPP +.且. 由题nnn1P2PnP1+nPnP2设 PPPPP,32121n + +=+ 行,则 选取含棋子数为,21nPPP 的这 nnPPP+ +21, + n2否则, 若PnPP +2112 n, 则 nPPP ,21中至少有一个不大于 1, 由,得 1nnPP21+ +n, 中至少一个与所设矛盾. n,再选出n列使其包含其余的棋子(不多于n枚),这样选取的n行和n列包含了全部3n枚棋子. 从而有大于 1,这nnPP21 +选出的这行已含有不少于2n枚棋子
