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1、 第 - 1 - 页 共 12 页 - 1 - 20072007 年考研数学一真题年考研数学一真题 一、一、选择题选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要 求，把所选项前的字母填在题后括号内） （1） 当0x时，与x等价的无穷小量是 ( ) A. 1xe B.1ln1xxC. 11x D.1cosx (2) 曲线 y= 1ln(1xex), 渐近线的条数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (3)如图，连续函数 y=f(x)在区间-3，-2，2，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间-2，0，0，2的图形分别是直径
2、为 2 的上、下半圆周，设 F(x)= 0( )xf t dt.则下列结论正确的是 ( ) A. F(3)=3( 2)4F B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F D. F(3)= 5( 2)4F (4)设函数 f（x）在 x=0 处连续，下列命题错误的是 ( ) A. 若 0( )lim xf x x存在，则 f（0）=0 B. 若 0( )()lim xf xfx x存在，则 f（0）=0 C. 若 0( )lim xf x x存在，则(0)f=0 D. 若 0( )()lim xf xfx x存在，则(0)f=0 (5)设函数 f （x） 在 （0, +） 上具有二阶
3、导数， 且“( )fxo, 令nu=f(n)=1,2,.n, 则下列结论正确的是 ( ) A.若12uu，则nu必收敛 B. 若12uu，则nu必发散 C. 若12uu，则nu必收敛 D. 若12uu，则nu必发散 (6)设曲线 L：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数） ，过第象限内的点 M 和第象限内的点 N,T 为 L 上 从点 M 到 N 的一段弧，则下列小于零的是 ( ) A. ( , ) rx y dxB. ( , ) rf x y dyC. ( , ) rf x y dsD. ( , ) ( , )xyrfx y dxfx y dy（7）设向量组1，2，3线
4、形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) （A） ,122331 （B） ,122331 （C） 1223312,2,2 （D）1223312,2,2 （8）设矩阵 A=2111 2111 2 ，B=1 0 00 1 00 0 0 ，则 A 于 B ( ) (A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似 （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p01p，则此人第 4 次射击恰好第第 - 2 - 页 共 12 页 - 2 - 2 次命中目标的概率为： ( ) （A）23 (1)pp (B)26 (1)pp (C) 223(1)
5、pp (D) 226(1)pp (10) 设随即变量（X，Y）服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，( )Xfx，( )Yfy分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Yy 的条件下，X 的条件概率密度|( | )XYfx y为 ( ) （A）( )Xfx (B) ( )Yfy (C) ( )Xfx( )Yfy (D)( ) ( )XYfx fy二填空题填空题：1116 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11） 31211xe dxx_. （12）设( , )f u v为二元可微函数，(,)yxzf xy，则z x _. (13)二阶常系数非齐次线性方程2 4
6、32xyyye的通解为 y_. (14)设曲面：| 1xyz，则(|)xy ds _. (15)设矩阵 A0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0 ，则3A的秩为_. （16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于1 2的概率为_. 三解答题：解答题：1724 小题，共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 222222( , )2( , )4,0f x yxyx yDx y xyy(17)（本题满分11分）求函数在区域上的最大值和最小值。2 2(18)(10)23,1(01)4Ixzdydzxydzdxxy
7、dxdyyzxz 本题满分分计算曲面积分其中为曲面的上侧.第 - 3 - 页 共 12 页 - 3 - (19)()( ), ( ) , ( , )( )( ),( )( )( , )( )( ).f x g xa ba bf ag af bg ba bfg本题是11分设函数在上连续，在内二阶导数且存在相等的最大值，证明：存在，使得02(20)(10)(,)( )240, (0)0,(0)12(1),1,2,;1 (2)( )n n nnna xy xyxyyyyaa nn y x L本题满分分设幂级数在内收敛，其和函数满足证明求的表达式.1231232 123123(21)(11)020(1
8、)4021(2)xxxxxaxxxa xxxxaa 本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求 的值及所有公共解.(22)设 3 阶对称矩阵 A 的特征向量值1231,2,2, 1(1, 1,1)T是 A 的属于1的一个特征向量,记534BAAE其中E为 3 阶单位矩阵 ( ) I验证1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值的特征向量； ()II求矩阵B. (23)设二维变量( , )x y的概率密度为 2( , )0xyf x y 01, 01xy其他( ) I求2 P XY； ()II求zXY的概率密度. (24)设总体X的概率密度为 102 1( , )12(1)0xf xx 其他第 -
9、4 - 页 共 12 页 - 4 - 1X,2X,nX是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值 ( ) I求参数的矩估计量； ()II判断24X是否为2的无偏估计量,并说明理由. 第 - 5 - 页 共 12 页 - 5 - 20072007 年考研数学一真题解析年考研数学一真题解析 一、一、选择题选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要 求，把所选项前的字母填在题后括号内） （2） 当0x时，与x等价的无穷小量是 (B) A. 1xe B.1ln1xxC. 11x D.1cosx (2) 曲线 y= 1ln(1xex), 渐近线的
10、条数为 (D) A.0 B.1 C.2 D.3 (3)如图，连续函数 y=f(x)在区间-3，-2，2，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间-2，0，0，2的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设 F(x)= 0( )xf t dt.则下列结论正确的是 (C) A. F(3)=3( 2)4F B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F D. F(3)= 5( 2)4F (4)设函数 f（x）在 x=0 处连续，下列命题错误的是 (C) A. 若 0( )lim xf x x存在，则 f（0）=0 B. 若 0( )()lim xf xfx x存在，则 f（0）=
11、0 C. 若 0( )lim xf x x存在，则(0)f=0 D. 若 0( )()lim xf xfx x存在，则(0)f=0 (5)设函数 f（x）在（0, +）上具有二阶导数，且“( )fxo, 令nu=f(n)=1,2,.n, 则下列结论正确的是(D) A.若12uu，则nu必收敛 B. 若12uu，则nu必发散 C. 若12uu，则nu必收敛 D. 若12uu，则nu必发散 (6)设曲线 L：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数） ，过第象限内的点 M 和第象限内的点 N,T 为 L 上 从点 M 到 N 的一段弧，则下列小于零的是 (B) A. ( , )
12、rx y dxB. ( , ) rf x y dyC. ( , ) rf x y dsD. ( , ) ( , )xyrfx y dxfx y dy（7）设向量组1，2，3线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) （A） ,122331 （B） ,122331 （C） 1223312,2,2 （D）1223312,2,2 （8）设矩阵 A=2111 2111 2 ，B=1 0 00 1 00 0 0 ,则 A 于 B， (B) (A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似 （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p01p
13、，则此人第 4 次射击恰好第第 - 6 - 页 共 12 页 - 6 - 2 次命中目标的概率为： (C) （A）23 (1)pp (B)26 (1)pp (C) 223(1)pp (D) 226(1)pp (10) 设随即变量（X，Y）服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，( )Xfx，( )Yfy分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Yy 的条件下，X 的条件概率密度|( | )XYfx y为 (A) （A）( )Xfx (B) ( )Yfy (C) ( )Xfx( )Yfy (D)( ) ( )XYfx fy二填空题填空题：1116 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。 （11） 31211xe dxx1 21 2e. （12）设( , )f u v为二元可微函数，(,)yxzf xy，则z x 1 12(,)ln(,)yxyxyxfxyyxyyfxy. (13)二阶常系数非齐次线性方程2 4 32xyyye的通解为 y32 122xxxC eC ee. (14)设曲面：| 1xyz，则(|)xy ds 4 3 3. (15)设矩阵 A0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0
