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1、 37第二章 极限论 2.1 上极限与下极限 设 nx是有界数列,E 是 nx的聚点之集, 由 Weierstrass 定理可知 E, 且对任意aE, 有 nxinfa nxsup, 这表明 E 是有界集合。 定义 1定义 1. supE, infE 分别称为数列 nx的上极限、下极限，记作 _ lim nnx, nlimnx 由定义可得 定理 1定理 1. 对任意有界数列 nx, 有 nlimnx_ lim nnx 定理 2定理 2. 设,是有界数列 nx的上、下极限，则,是 nx的聚点。 证明：设 E 是 nx的聚点之集, 只需证对任意0,存在无穷多个nx, 满足|nx|. 事实上, su
2、pE, 对任意0, 存在0E, 满足 202, 对于0E 以及如上的0, 存在无穷多个nx满足 02nx02从而存在无穷多个nx满足 nx, 这表明是 nx的聚点。同理可证是 nx的聚点。证毕。 定理 3定理 3. 是有界数列 nx的上极限, 充分必要条件是对任意0, 有: (1) 存在自然数 N, 当nN 时,nx; 38(2) 对任意自然数k, 存在knk, 使 knx. 证明: 设 E 是有界数列 nx的聚点之集, 由定理 2, 若是 nx的上极限, 则E ：由条件可知，是 nx的聚点, 即E, 若supE,则对 00, 由(1)存在自然数 N, 当nN 时, nx0 另一方面, 由于E
3、 , 对如上的自然数 N, 存在NnN, 使 Nnx0 引出矛盾, 因此必有 supE. ：由定理 2, 是 nx的聚点, 因而(2)成立。 对于(1), 用反证法, 若存在00, 对任意自然数 N, 存在NnN, 使 Nnx0+, 据 BolzanoWeierstrass 致密性定理, 有界点列 Nnx存在收敛的子列, 且其极限值不小于0+，这与sup=E 矛盾。 定理证毕。 类似于定理 3, 可以证明: 定理 3定理 3: 是有界数列 nx下极限的充分必要条件是: 对任意0 有 (1) 存在自然数 N, 当nN 时, nx; (2) 对任意自然数k, 存在knk, 使 knx. 推论推论:
4、 有界数列 nx收敛的充分必要条件是: nlimnx=_ lim nnx 证明: ：设有界数列 nx收敛于a, 由极限的唯一性可知 nx的聚点之集E 是单点集 a, 从而 supEinfEa, 此即: nlimnx=_ lim nnxa ：设 nlimnx=_ lim nnxa, 由定理 3 与定理 3, 对任意0, 存在自39然数 N, 当nN 时, anxa, 这说明 nx是收敛的, 且以a为极限, 证毕。 注: 容易看出, 定理 3(定理 3)中的条件(2)可以改述为: (2) 有穷多个自然数n, 使nx (nx) 定理 4定理 4. 设 nx是有界数列, 则 (1) 是 nx的上极限,
5、 当且仅当 1inf kL,sup1+kkxx 1inf kknsupkx (2) 是 nx的下极限，当且仅当 1sup kL,inf1+kkxx 1sup kkninfnx 证明: 仅证(1). (2)的证明完全类似。 若是 nx的上极限, 据定理 3, 对任意0, 存在自然数k, 当kn时有nx, 从而 knsupnx, 1inf kknsupnx 又对如上的0, 及任意自然数k1, 存在kn,使nx, 从而 knsupnx, 对任意自然数k1 成立, 即 1inf kknsupnx, 于是 1inf kknsupnx+ 由于0 是任意的, 所以 1inf kknsupnx. 反之, 设
6、1inf kknsupnx, 则对任意0, 有 1inf kknsupnx 从而存在自然数k, 使 knsupnx, 当kn时, 有nx, 这就是定理 3 的条件(1) 40另一方面， 1inf kknsupnx, 即对任意k, 有 knsupnx, 从而存在kn, 使nx, 这就是定理 3 的条件(2). 依定理 3, 是 nx的上极限。 综上可知 _ lim nnx 1inf kknsupnx，定理证毕。 注: 设 kM knsupnx, 则kM是单调递减数列, 且 kM kninfnx 1inf nnx nxinf 即kM有下界, 据单调有界定理, kM收敛, 且 klimkM 1inf
7、 kkM 1inf kknsupnx 因此有界数列 nx的上极限还可定义为: _ lim nnx klim knsupnx klimL,sup1+kkxx 类似地有: nlimnx klim kninfnx klimL,inf1+kkxx 如果在广义实数系考虑, 则对任意数列 nx, 其上、下极限都是存在的。事实上，我们容易证明下述二个命题： 1. 数列 nx以+为上极限, 当且仅当下述诸条件之一成立: (1) nx无上界; (2) 存在 nx的子列 knx,使 klim knx+; (3) 对任意 M0, 以及自然数k, 存在kn, 使nxM. 2. 数列 nx以-为下极限, 当且仅当下述诸
8、条件之一成立: (1) nx无下界; (2) 存在 nx的子列 knx, 使 klim knx-; 41(3) 对任意 M0, 以及自然数k, 存在kn, 使nxM. 最后, 我们简单介绍一下函数上、下极限的概念。 定义 2 定义 2. 设函数)(xf在ax =的某空心邻域)(0aU内有定义, 若存在数列 nx,naxn , 使 klim)(kxf, 则称为函数)(xf当ax时的一个子极限。一切子极限的上确界 A, 下确界 B 分别称为)(xf当ax时的上、下极限，记作：A_ lim ax)(xf, B axlim)(xf 例 1. 设)(xfx1sin, 求 _0lim x)(xf, 0li
9、m x)(xf 解: 令nx) 14(2 +n, 则 nlimnx0, 且)(nxf)22sin(+n1， 所以 1 是x0 时)(xf的一个子极限。 令ny)34(2 +n, 则 nlimny0, 且)(nyf)232sin(+n-1， 注意到)(xf1, 故 _0lim x)(xf1, 0lim x)(xf-1 例 2. 设)(xf)11exp(x, 求 _1lim x)(xf, 1lim x)(xf 解: 由于 +1lim x)(xf+, 1lim x)(xf0, 故当x1 时, )(xf只能有两个子极限: +与 0, 因此 _1lim x)(xf+, _1lim x)(xf0. 对于函
10、数的上、下极限，也有类似于数列上、下极限的性质，读者可以自证下述结论。设 A_ lim ax)(xf, B axlim)(xf 1. BA; 2. A、B 是ax时)(xf的子极限; 3. 设函数)(xf在)(0aU内有定义且有界, 则 A(B)是当xa时)(xf的上(下)极限, 当且仅当对任意0, 有 42(1) 存在0, 对任意),(0aUx, 有)(xfA()(xfB); (2) 对任意0, 在),(0aU中有无穷多个x, 使 )(xfA ()(xfB); 4. A ),(00supinf aUx)(xf; B ),(00infsup aUx)(xf 5. A ),(00suplim a
11、Ux)(xf; B ),(00inflim aUx)(xf 6. axlim)(xf存在(有限或无限)当且仅当 AB 习 题 1. 求下列数列、函数的上极限与下极限： (1)nx(-1)1n(2n3); (2)nx12 +nn 4sinn； (3)xxxfcos)(=, x; (4) )sin(ln)(xxf=, x2; (5) )(xf1)/1 (cos2x)/1(sec2x, x0; (6) )(xfxxx22sin1+, x; 2. 若存在自然数 N, 当nN 时, nxny, 证明: _ lim nnx_ lim nny, nlimnx nlimny 3. 证明: (1) _ lim
12、n(nxny)_ lim nnx_ lim nny (2) nlim(nxny) nlimnx nlimny 4. 设nx0, ny0, 证明: (1) _ lim n(nxny) _ lim nnx_ lim nny (2) nlim(nxny) nlimnx nlimny 43(3) nlim(nxny) nlimnx_ lim nny_ lim n(nxny) 5. 若nx收敛, 则对任意数列ny, 有 (1) _ lim n(nxny) nlimnx_ lim nny (2) _ lim n(nxny) nlimnx_ lim nny,nx0 6. 设nnxxxn+L21, 证明: (
13、1) _ lim nn_ lim nnx; (2) nlimn nlimnx 7. 如果_ lim nbaxn=, 证明: 必存在自然数 N, 当nN 时有bxn nblimnx, 则情况如何？ 8. 设nx0, 证明: 若 _ lim nnx_ lim n11= nx, 则数列nx收敛。 9. 设 nx有界, 且 nlim(1+nxnx)0, 证明: 数列 nx的聚点遍布于其上、下极限之间。 10. 设 na是正数数列, 证明: (1) _ lim n(eaaannn+)11; (2) _ lim n1) 11(1+nn aan 2.2 数列极限 关于数列极限的存在性, 其论证方法是多种多样的, 涉及的概念和定理也很 多，例如，读者比较熟悉的有： 1. 数列极限的定义; 2. 数列收敛的 Cauchy 准则; 3. 单调有界数列收敛定理; 4. 实数系完备性的其它等价命题; 5. 迫敛性定理; 446. 定积分的定义; 7. 数项级数收敛的条件; 除上述几种常用方法外, 我们在本节再介绍几种在教科书中未涉及的方
