结构优化设计的一个方法

《结构优化设计的一个方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《结构优化设计的一个方法（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、结构优化设 计的一个方法钱令希钟万姗工程力学研究所以给 定 结构布局 的析架为对象,修改杆件截面,使它在多种载荷工况和多种约束应力、位移、截面尺寸下结构的重量最轻。本文用力学方面的概念将非线性规划和准则设计的方法结合起来,组织优化的过程,使重分析的次数,在一般情况下,可以减到五次左右。文后举了四个例子,其中三个是现在文献中常用的考题,还有一个是某结构工程的实例一米直径的空 间网架屋盖。一、前言结构优化没,卜的实际意义和发展前 途是无可置疑的。但是山于它的 复杂和困难程度远远地大丁结构分析,所以它目前还处于初级发展 阶段。当前的研究对象,大多数还是洽定外形的结构,变化它的各个部件的截而尺寸使结构

2、的重 量最轻。各种方法的实用性指标主要是优化过 程的收敛性,不仅要收敛,而几要力求结构重分析 的 次 数 尽可能减少。二十年前 当非线性规 划被 引入到结构优化的领域中时山,大家都感到前景很广阔,后来由于这个途径要求结构重分析的次数过多,妨碍了它的实际应用。于是在六十年代末期,人 们又开始考虑采取象满应力设计那样的准则设计的途径。以能量 分布来建立优化准则的研究得到了很大的成功物幻,在航空结构一设计中被“泛应 用。不论结构规 模 的大小,即不论变量的多少,这种方法一般要求结构分析的次数约十次左右,因此准则优化设计的现实意义 是相 当明显的。,一度比较傍徨的非线性规划的结构优化研究,近年来也有了

3、新 的发展,在充分 利川力学方 面的近似手段,使一些大家熟悉的考题要求重分析的次 数也一般降到了十次左右帕。本文 现在将非线性规 划和准则设计两种方法结合起来,着重用力学方面的概念来 组织优化的过 程,使垂分析的次数比之过去又有进一步的缩减见文末的举例。概括地说,这里主要采取了下列几点考虑把应力约束和变位约束分来处理。应力约束用满应力准则处理,而变位约束则用非线性规划,的,一户条件来处理。两类约束的 交叉则用木文的“搜索”来处理,使两者得到兼顾 满足,同时也可使最小截 而的约束得到满足。本文年月日一次到充 分利用结构力 学中的一个定理当结构各构件的刚度按比例 同步变化时,内力的分布不变,而变位

4、则按反比例变化。于是在优化过 程中可以经常使用“射线步”把一设计 点拉到可行域的边界上。尽可能提高搜索的效率,在 沿“有效变位约束”作搜索时,使第一步就跨到最优点 附近,而在 沿“有效应力约束”作搜索时,不致跳过最优点太远。在本文的二、中将叙述这个优化过程的概貌。在三、四、五中将分别叙述几个主要环 节的具体算法,最后在六、中将提供几个实例 的计算结果。本文 编制的一 程序 中,暂时只有受拉压的杆单元,因此限于析架结构的优化设计。以后应添置其他 构件单元,以扩大处理 问题的范围。除应力约束和最小截面约束之外,本文 只考虑了多点变位约束。以后应扩大处理稳定和振 动方面的约束。二、优化过程的概要优化

5、过程的概要可用图的框图来说 明。杏一一一一一 一一一一一一射线步, 将设计点引到可行域边界产声、上注二罄今 妙妙满足一互岁,变垒一孚傀汤 磨百飞 落之逻竺少不满足应力用满应力准则求 笼 一五 示而刃丁万二万一下一一二“月二口二一一一一卫呈丝生一用二一条件 哗二图优化过程从一个初始方案开始。这个方案可以相 当自由地选取。例如 令所有杆件的截面都格同,等于或其他数值。是不可行方案也 不 要 紧,因为有射线步可 用,见下结构分析对所有工 况进行结构分析,得各杆应力和点变位。射线步检 验所有应力约束和变位约束,算出一 列比值各才 队算应力 各布 卜容许应力,各节点计算变位各节点容许变位。声一一口倘某个

6、比值大,说明相应的约束被违反了,方案在不可行域 中。倘所有比值都不大于,方案是 可行的,但不一定是最优的。找出所有比值中最大的一个九。将各杆截面乘以。,便得到第一次修正方案二,它处在可行域的边界上。这一工作便是所谓射线步,白的作用是把可行方案或不可行方 案拉到可行域的边界土。检查方案是变位控制还是 山应力控制,这只要看八二是变位的比值,还是应力的比值。下面就分两种途径来修改方 案。如果方案月是 由变位控制,图表示一个二维问题变量为和月,则月二处在某变位约束线上。这时就用非线性规划中的一条件来求二,用它来修改原方案欲二,二二式 中的系数要用所渭“搜索”来决定,使新方案二趋二鼓优。最优方案随具体情

7、况可能在下列几种位置最优方案在原方 案所 处的变位约束上,如图的点 ,则“搜索”将给出一。最优方 案在几个变位约束的 交点上,如图的点,如果应用一条件时考虑了这几个约束,也就是把它们都作为“有效约束”来处理,“搜索”将给出,反 之,若漏掉了某个应 该考虑的有效约束,则将给出。最 优方 案在变位约束和某应 力约束的交点,如 图中的,则“以搜索”将给出 总之,“搜索”是很有力的一 步,使原方 案通过一次修改便能抵达最优点附近。这里说“附近”,是因为“搜索”所依据的内力分布乃是原方 案的,并没有考虑由于修改方 案引起 的内力重分布,所以实际上只能修改到最优点附近。但以后只要经过少数匆入娜夕 产、毋少

8、应力约束图力案坛处在某变位约束面上几次迭代循环,就司期望收敛到相 当的精皮以内。这里还应 补充两点一是除 了考虑变位和应力约束之外,还应考虑最小截面的约束二是“搜索”步这一 垂要手段,使搜索结果总是处在可行域的边界上。如果方 案月二是山某应 力约束控制图,就应该 用满应力准则来求来修改。尤、尤万“搜索, ,要用到射线占、,将它全初、口图力案版处在应力约束曲一使二趋于最优。报优方系,随共体情况可能处在下 列儿种位置最优方 案处在、所在应力约束面上,如图的点,或是处在某儿个应力约束的交点上,如点 。这时交替使用满应 力步和射线 步,即使用所谓齿行法可以抵达最优点。妓优方 案处在应 力约束和某变位

9、约束的 交点,如 图的点。这时“搜索”在最后一个满应力步将给出 总之,利用“搜索”可以相 当快地抵达最优点的附近。城然不一定能象前面二山变位约束控制的情况那样,只 用一 步就达到这个效果。以上叙述的就是优化过程一个循环的概 要,它的终点将是下一个循环的起点。母个循环的开始要做一次结构重分析。关于算法和程序方面的考虑,特别是口二算法和“关于收敛的准则,我们采用两次循环 的体的公 式也将在下文给出。所用程序取名为一,足 多工况、臼二搜索”,将在 文具体叙述。带权平均值小于某一小量。具多约束、优化三个词的拼 舀词一首字母,带上一个,行第二号因为曾编过一个一 程序,也是可用的。三、截面修改口 八、我们

10、要考虑的是多位移约束、多工况的 问题。当然,很据上一次分析或人工输入的某一个截而分布,通过一 次分析,可以把各个工况的位移与内力算出,并选择一些必要的信息加以保存另外,对于各个位移约束,要计算出其相应 的虚荷载作用下的内力与位移,并选择必要的加以保存。执行一次分析是很沱费机器闪介的,戈们应 从卜收取尽址多的东西。泞先足句根于的内力,而吐应 当对于 姆一个工 况以及惬少一组虑荷载的内力都加以保石。这是因为应力约束就是根据内力检查 的,询位移的计算也牙用内力通过公式得到,所以还保存了跟虚荷载相应 的内力。以后我们选 用以下记号代表外加负荷载工况的数目,。、代表位移约束的数目。应当保存的数据中显然还

11、应当有在各工况作用下与各个位移约束相对应的位移。问题在于现在应当修改各个单元的面积,以使达到最佳。修改面积之后结构又是怎样位移的呢这个问题是比较麻烦的,最 好是进行重新分析。但 重分析太费时间,我们要想的办法是如何减少它的贡分析次数。因此我们可以用公式来计算结构的位移石一另召厂月牙乙凡式中召代表内力,上标尸代表给定 的外力,下标 叼代表与位移约束相应的虚外力,卫代表杆件总数,是杆长,刃与分别是 扦件的弹性模量与其截面积,刀露则是与号虚外力相 对应的在外工 况作用下的位移。应当看到,式可以用作面积修改之后的近似算公式,诚然当面积月修改之后,内力分布将随之而变化,而这里的厅仍用面积修改之前的内力分

12、布,但根据这个公式估算的位移一般还相当准确。没我们目前选择结构的重量为目标函数,而结构重量可以认为是与杆件面积有止比的关系的。事实上 结构,并不是排一根 杆件都有各自不同的面积,在工程 设计中往往有一部分杆件共有相 同的 面积。所以叭然共有卫根 汀,但乎实上却只有几了类不同的杆件。因此在式中的只有马个不的位。而对于 目标函数的估算,也只有心个 参数,并且是成线性组合而成的臼了 ,犷一另“二,二了一,式中已不再是们长 而己经乘上了容皿,并月已经对、卜一类什件求过和值的 了。对一析架组成的结构来说,有,乞二。厂式中尤代表第万类,而“代表第根是属于尤类的,只有尤类的杆才 计算在内。目前的 问题就是求

13、取犷的极小值,但应 当使约束条件执。不被违反的条件下达到。当然还有应力 约束条件也不应违反,此外五有一些设计时的约束,例如旬一 类杆还有最小面 积约束,最大面积约束等。位移约束位刃。是事先给定的原 始数据,要输入给机器,当然共有亿,个值。七 它的一些约束位 当然 也是原始数据。在多工况多种 位移 约束的条下求结构的从优 设计问趣,往往辰主要的约束就是这些位移的约束,因此这就成为条件极值问题。我们一可以选择乘子法作为进行求极小值的判定条件。怎样组成求极值的函数是需要首先进行讨论的。注意弘个位移约束条件。对个荷载工 况,共有瑞“亿个位移需要检查是否符合约束条件。例如对于两个位移约束及三个荷 载工

14、况,则可以组成个位移检查,列表于下表一一。一。、一一一一一一一。一、一位移检查”位移约。寸 载工况一一一但是这里的位移检查并不是每个都有效,事实上真正起到约束作用的只是其中一小部分。所以我们提 出“有效约束”的概念。所谓有效约束是指接近于可行域边界的位移俭查,我们将用 它米组成乘子法中求 极值的函数。何一个有效约束需要 山一个位移约束号及一个荷载工况号来表示当然与此相应还有容许位移值。在不同的循环中准是有效约束是要变的,因此每一次循环都要自己来选定有效约束。选出的有效约束数记 之为万,与此同时 当然还有万对荷 载工况与位移约束号。根据这些有效约束 的表示,很容易就得到了约束裕量刃。一石。由于我

15、们生成刁乘子法的极值函数是在执行射线步之后,所以这个裕量 肖定不会小于零。这样,设计变肚二, ,沁 应当使下列函数取极值二“尤十另。轰、, 嘿器势一一,如习白一一一式 中产抓人, ,就足矛乘子。人的循环是对有效约束执行的,上标是指相应于几号有效约束的荷 载工况这个荷载工况是的函数,我们不愿写成,这样会使公式符号愈加复杂,而代表相应的位移约束号。这些有效约束在最优点将达到临界状态,这就是的式大括号的内容。这是一个单边约束的条件极值问题。我们可以用图来表示一个二维 问题,在这个图中有两个位移约束以及一 族体积等值 面。当在两个位移约束交点达到 极小值时,必然有休积的梯度方 向介于两个位移约束梯度方

16、向之问的情况,于是见 图一甲界一产,甲十 产甲其中产,与产都是大于零的参数,这就是、一条件。式中,是相应于有效约束几的位移函数以而积为自变量。其函数的算式为,一另泞尹尸召矛口人刃心月请注意召扩与名钾,已们 分别是相应于第几号有效约束的荷载工况的杆内力,和与约束相应的虚荷载作用下各杆的内力,它们当然是面积分布的函数。再注意杆件面积,我图们事实只分成 双时类,并不是每根杆各有一个面积。但现在在式 中的书却把面积当成是杆件的函数。如 果把而积着成为类型 的函数,则式还应 改成为巧 衬一另乞尹尸召矛八万月尤护万一犷厂式中艺表示这个和式只对属于类的杆件号执行。另外,这 里的按式的写法则是翁。万根杆分成为凡类,在 一称为设计变量连接,。这,类杆件既没有互相重复,也遍及所有的万根杆件。并且在此式中我们把弹性模景也写成为类型的函数了。式中的那个求和项也应 当改成勺那样方才确切。现在要研究当二变化时函数