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1、高中教学教 与学 2 0 1 4年 多变量问题选择主元的四种方法 邹生书 ( 湖北省阳新县高级中学， 4 3 5 2 0 0 ) 多元最值问题或多元不等式证明题综合 性强难度大具有甄别功能 对于这类多变量 问题， 我们可以根据实际情况选择一个量作 为主元， 并以此作为解题的线索来处理问题 ， 这种方法就叫做主元法 主元法不仅使我们 找到了解决问题的突破 口， 而且主元法能抓 住主要矛盾或矛盾的主要方面 本文结合典 型例题 介 绍 多 变 量 问 题选 择 主元 的 四种 方 法， 希望对读者有所帮助 一 、自由选主 在多变元问题 中， 如果各 个变量 轮换对 称 或地位均等， 则可任选一变量作
2、为主元， 其余量 当作常量， 用主元引领解题， 促使问题解决 例 1 ( 第 1 5 届俄罗斯竞赛试题)已知 0 0 设 )=( y+Z - 一1 ) + y z Yz+1 ， 则 只要证 )0 因为 0 0 0 )=y z Y z+1=( Y一 1 ) ( 。一1 )0 ； 又函数， ( )的图象为一条直 线， 结合函数， ( )的图象可知， 当 ( 0 ， 1 ) 时 )0恒成立 ， 从而所证不等式成立 例2 ( 2 0 1 1 年安徽高考题) 设 1 ， Y 围是( 一， 1 从以上几例的解题过程 ， 我们不难体会 到， 在求解与“ e ” 和“ I n ”有关 的函数不等 8 l ，
3、证 明 ： +y+ 1 1 + 1 +x y 证 法 1 ( 作 差 法 ) + + 一 Y 一 ，将分子以 为主元整理 ， 得 Y ( Y一1 ) +( 1一y 2 ) 十Y一 1=( Y1 ) ( 一1 ) ( x y一1 ) 因为 1 ， Y 1 ， l iJ f l：2( ) ， 一1 ) ( 一1 ) ( 缈 一1 ) 0 ， 故 + + x y y 一 1。， 即 +y+ 1 1 +了 1+x y 当且仅当 =1 或 Y=1 时等号成立 证 法2 ( 导数法 ) 设J r ( )：一 1+ 一 1+x y Y 一 一y 一1，贝 0 ， ( )：一 +) ， 一1+ ： x y 一
4、 v ( y 一 1 ) ( 1 一 ) 因 为 1 ，y 1 ， 所 以 厂 ( )0 ， 于是 ， ( )在 【 1 +) 上单 调递 增 ， 所 以， ( )， ( 1 )：0 ， 故 +Y+一 1 一 1 xy + 一1+ ) ， 成立 ， 当 ：1 时等号成立 由对称性 V 知 当Y=1 时等号也成立， 故当且仅当 =1 或 Y=1 时等号成立 将例 2的二元推广到三元有如下命题 ， 读 者可仿 照例 2的解法进行证 明 ” - ” 式试题时 ， 如能 恰 当地 利 用本 文 所说 的 两个 不等式及其变式 ， 相信很多“ 令人生畏”问题 便能迎刃而解 第 1 2搠 命题 设 1 ，
5、 Y 1 ， 1 ， 证明： + y + + 1 1+ 1 + 1 + y z z X z 二 、 反客为主 在处理 有参 数 和变 量 的 问题 时 ， 有 时 可 以打破常规 ， 反客为主， 选择参数为主元 ， 而 把原来的变量当作常量 这样可使问题 向简 单的、 熟悉的方面转化， 从而达到意想不到的 解题效果 例 3 ( 2 0 0 7年 上海 交通 大 学冬 令 营试 题 )设 )= ( 1+口 ) + 一( 3 a+2 ) 一 4 口 ， 对任意实数 。试证明： ( 1 )方程， ( )=0 总有一个相同的实数根； ( 2 )存在 R， 恒 有 。 )0 分析 )是一个含有参数 a的
6、关于 的四次函数， 参数 。是一次的， 依题意所证两 问均与 a无关 ， 故可反客为主， 将 )表示为 以 。为主元的一次型表达式， 然后分别求解 解 将， ( )以 。 为 主元整理 ， 得 )= ( 一3 x 一4 ) n+ + 一2 x ， 且 口 )= ( 一2 ) ( +2 ) ( +1 ) 口+ ( 一1 ) ( +2 ) 令 。 。 得 =一 2 因为对任意实数口 总有， ( 一 2 )=0 ， 所 以对任意实数 口 ， 方程 )=0总有实数根 = 一2 ( 2 1 x一2 ) +2 ) ( +1 )=0 ， 得 L ( 一1 ) ( +2 )0 ， =2 因为对任意实数0有，
7、( 2 )=1 60 ， 故对 任意实数 n ， 存在 =2 ， 恒有 )=1 60 评注 证明含参数 0 ( oR)的动曲线 恒过定点的问题 ， 通常用反客为主的方法 ， 将 问题转化为以参数为主元的方程( 当口为一次 时) g ( ， y ) a+h ( x ， Y )=0的解为全体实数 ， 则 当 且 仅 当 ： ： ： ； ：那 么 以 方 程 组 的 解 ( ， Y ) 为坐标的点就是动曲线恒过的定点 例 4 ( 2 0 1 1 年湖北省预赛题 )已知 。 、 b R， 关 于 的方程 +口 +2 +6 +1= 0有一个实根 ， 求 口 +b 的最小值 高中数学教与学 分析 因为 =
8、0 不是方程的根， 若将方 程当作是以 。 ， b 为主元的方程， 则此方程表示 坐标平面a O b 内的直线， 口 +b 。 表示该直线上 的点到原点 的距离的平方， 据此有如下简单 自然的解法 解 设 t 是原方程的实根 ， 则 t +a t + 2 t +6 +1=0， 将方程 以 口 ， b 为主元 整理 ， 得 t 3 a + 6+( t +1 ) =0 设此方程表示坐标平 面 a O b内的直线为 Z 由于直线 Z 上任意一点 ( 口 ， b )到原点的距离不小于原点到此直线 的距 离 ， 即 ： +t ( t +1 ) = t 1 ， ( + ) f ：1 2 。 2 故 口 2
9、 十 6 2 8 ， 当且仅 当2 t =t 4 + 1 即 =I 时， 不等式等号成立， 故o + b 的最小值是8 三 、 轮流作主 有些多变量最值 问题， 可以分几个阶段 按部就班地加 以解决， 即在不 同的阶段选择 不同的主元解决 阶段性 问题， 各个变量轮流 作主， 完成各 自在不同阶段的历史使命并传 好接力棒 ， 选择主元意味着消元 ， 直到所有变 量消失 ， 则问题解决 例 5( 2 0 1 0年 四川高考题 ) 设 口bc 0 ， 求 2 a + 1 += 7 一l O a c +2 5 c 的 口D 口L口 一 D J 最小值 解 先 以 c 为主元并消去 c ， 配方得 原
10、式 =( 5 c一。 ) + 口 + + n 2+ 1+ =口2 + 再以 b 为主元并消去 b ， 由均值不等式得 口 + 2 + 面1 【 2 J ：。z + 最后， 由均值不等式得 9 高中擞学教 与学 2 0 1 4童 口2 + 4 2 口 2 一 4 ： 4 0 综上可知 ， 当且仅 当 口=5 c ， 6；口一b ， ：4 即 。： ，6 ： 牟 ， 。 ： 譬时 等 号 成 立 故所求的最小值为 4 例6 ( 2 0 1 4年辽宁高考题)对于 c0 ， 当非零实数 0 ， 6 满足 4 a 。 一 2 a b +b 。 一 c=0 ， 且 使 I 2 口+b l 最大时， + 2
11、 一+ 的最小值为 解 第一阶段， 求 l 2 a+ b I 的最大值 即 把 。 ， 6 当作变量把C 当作常量， 用12 表示I 2 。+ b I的最大值 设 t =2 a +b ， 则 2 a=t b ， 代入 4 a 一 2 a b +b 一c=0， 注意到 n ， b 地位平等， 又6 2 项系 数为 1 ， 故 以 6为主元整理得 关 于 6的一元 二 次方程 3 b 一3 t b十t 一C=0 由 6=9 t 。一 1 2 ( t 一 c )0 ， 解得t 4 c ， 所以当t =4 c 时， l 2 口+b l =I I =2 c 最大 第 二 阶 段， 求 + 季+ 生的 最
12、 小 值 根 据 第一阶段的结果求出n ， 6 ， c 间的关系， 并选择 其中一个为主元， 将 + + 转化为一元 1 ， 函数 ， 再求其最小值 当 l 2 8+b I 最大时， ( 2 a+b ) =4 c ， 将 c =4 a 一 2 a b + 6 代入化简 ， 得 b=2 a ， 代人 ( 2 n +6 ) =4 c ， 得C=4 a 将 b=2 a ， c=4 a 代入 +车+ 4 ，得 以 。 为 主 元 的 函 数 式 为 ：上+ 睾+ 生： + ： f +1 。 一 11 一 1 当 + 了 + 。 l 。 +) 一 当 0：一1 时， +_ 2 + 取得最小值 一1，此
13、时 0 =一 1， 6 = 一2， c = 4 四、 另立新主 有些多 变元 问题 ， 无 论 以题 目中 的哪 个 变量为主元都很难解决问题， 若将有关式子 整理变形， 从中寻找解题契机 ， 运用整体思维 引入新的主元 ， 从 而突显变 量间 的内部联 系 ， 1 0 促使问题解决 例 7 ( 数学通讯问题征解第 1 7 9题) 已知正数 口 ， 6 满足 0十b=l ， 求证 ： P = ( 一 。 ) ( 古 一 6 ) ( ) 证 明 P = ( ) ( 丢0 ) 、 n ， 、 ， ( 1一口 ) ( 1一b ) 一一口。 6 0 6 一 ( a +6 )+1 一 b n +6 =
14、( 口 +b ) ( 辟 +b ) 一a 2 b ( 口+6 ) 因为a+b=1 。 所以 n +6 =( +6 ) 一3 a b ( D+6 ) =13 a b， 0 +6 = ( +b ) 一2 a b = 12 a b ， 所以 口 +b ： ( 13 a b ) ( 12 a b ) 一n。 b = 5 a 2 b 一5a b+ 1 。 、 6 一5 口 b + 5 a b 所以 因为 n ， 60， 故 由基本不等式 ， 得 1=0 + 6 2 n 6 ， 所以0 a b 寺 设 ：口 6 ， 则 P ： +三 一5， ( 0 ， 】 设 ) = 3 + 一 5 ， 则 ， ( ) ： 3 一 一 5： 三 掣 0 ， 所 以 ) 在 ( 0 ， 1 】 上 单 调 递 减 所 以 ， ( ) ) = ( ) ， 即 尸 = ( 一 n ) ( 1 6 ) ( ) ， 当 且 仅 当 n ： 6 ： 1 时 等 号 成 立 评注 先充分利用 已知条件 。+6=1 将 所证式子化简为P=n 6 + 一 5 ， 再另立新
