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1、导体内部的稳定温度分布导体内部的稳定温度分布严鹏熙 （物理与电信工程学院 物理学三班 20082301105）引言引言： 热学中一个物体的温度处于温恒态时各部分温度按一定规律分布，而导体内部的温度分布通常不可直接测量，有时我们需要掌握导体内部温度变化 规律，则可引入勒让德函数来建立这个物理模型，只要测出导体表面的温度， 导体内部的温度分布便可推知，同时我们可以画出导体内部温度分布变化图形， 以此来形象表达该模型。模型模型：一个半球形热良导体，在球坐标系（r,）下，其表面维持温度为函数 ，底面维持为 0，求这个导体内部的稳定温度分布。 解解 球体表面温度分布函数 与 无关，因此球体温度分布函数与
2、 无关， 于是 u 满足下列 Dirichlet 边值问题，20r0 0sinsin1122 2 lu rrurrr，2coslru200u2 由半球底面上的边界条件以及方程关于 的奇偶不变性，可以对0u2 关于 =做奇延拓为新未知函数，变成球面上的定解问题，ru2，ru ，20r0 0sinsin1122 2 lu rrurrr.，2coslru0设，作代换 x=，并记为，分析可知 R，P 分别 rRru ，cos xP满足 Euler 方程和 Legendre 方程 ，012“2RnnrRRr012“x12PnnxPP它们有物理意义的特解分别为和 P=。由叠加原理，可以设方程有nrR xP
3、n物理意义的级数解为 xPrarunnnn0，在变换 x=下，边界条件可以改写为。因此cos2x，lu xPlaxnnnn02又是 n 次多项式，而等式左边的次数为 2，因此，当 n时，。由 xPn30nalegendre 函数的正交关系可以求出n=0，1，2. ，dxxPxlnannn112 212是奇函数，所以。而 xP10a1，31 21112 0dxxa.32 213 2522112 22ldxxxla因此cos32 31222 Plrru，2 2222 cos331 lr lr从而，2 2222 cos331 lr lrru.20该半球形良导体内部的稳定温度分布解得图像如下：结论结论
4、：半球形导体的温度分布具有由球顶点向四周递增的特点。参考文献：数学物理方程与特殊函数 华中科技大学 李元杰数学物理方程 桂子鹏 康盛亮编程程序：#include “WizDemo.h“ #include float step; Text title; float P_radius, P_omega,V;/ 构造函数 demoApp:demoApp() : WizGLApp() viewMode = VIEW_PERSPECTIVE2;/ 观察视角模式 demoState = DEMO_STOP;/ 初始动画状态 wndWidth = 1024;/ 初始窗口宽度 wndHeight = 715;
5、/ 初始窗口高度 showParamWnd = true;/ 初始是否显示参数窗口 showInfoWnd = false;/ 初始是否显示信息窗口showToolbar = true;/ 初始是否显示工具栏 /wiz:Assign(bgColor, 0.32f, 0.72f, 0.54f, 0.0f);/ 设置背景色 / 析构函数 demoApp:demoApp() double BesselFun(int n, float x) double Result = 0.0f; double theta; int m, count;count = (abs(n)+1)*360; for (m=0
6、; m0; i-) den *= i; for (i=n-m; i0; i-)acc *= i; for (i=n-(2*m); i0; i-) acc *= i; for (i=m; i0; i-) acc *= i; Result += pow(-1, m) * den * pow(x, n-(2*m) / (pow(2, n) * acc); return Result; / / 在此创建场景 void demoApp:InitializeScenes() / 在此创建控件 void demoApp:InitializeControls(int sceneIndex) / 在此初始化控件
7、参数 void demoApp:InitializeParameters(int sceneIndex) P_radius =2; P_omega =34; V=2; / 场景切换时可在此作需要的设置 void demoApp:SwitchScene(int curScene, int prevScene) / / 与绘图相关的初始化工作 void demoApp:SetupRC() glt:SetDefaultLight(); glt:SetGlobalAmbient(wiz:cBLACK); title.LoadWords(L“球勒让德函数 22“, L“楷体_GB2312“, 32, w
8、iz:cBLACK, 280, 45); / 绘制场景void demoApp:RenderScene(int sceneIndex) title.Show(100, 0, 50, false);/ 在(0,0,0)处显示汉字内容，不可移动static Point3f p81161, p181161,q3, s2; static Color4f color=0.6,1.0,1.0,1,color1=0.2,0.8,0.9,0.8,cs81161; Orient direct = 0.0f, 90.0f; int i, j; float theta, phi, R,R1;s0.x=0; s0.y
9、=0; s0.z=0;s1.x=-80; s1.y=0; s1.z=0;q0.x=0; q0.y=80; q0.z=0;q1.x=80; q1.y=0; q1.z=0;q2.x=0; q2.y=0; q2.z=70;for(i=0;i1000)step=step-1000; / 动画暂停 void demoApp:DemoPause() / 动画停止 void demoApp:DemoStop() / / 按钮被点击 void demoApp:ButtonClick(int sceneIndex, UINT butSN) / 复选框被点击 void demoApp:CheckClick(int
10、 sceneIndex, UINT chkSN, bool checked) / 单选框被点击 void demoApp:RadioClick(int sceneIndex, UINT rdoSN) / 文本框内容被改变 void demoApp:TextboxChange(int sceneIndex, UINT txtSN) / 组合框下拉列表项被选择 void demoApp:ComboSelChange(int sceneIndex, UINT cmbSN, int index) / 组合框文本被改变 void demoApp:ComboTextChange(int sceneInde
11、x, UINT cmbSN) / 滑条被移动 void demoApp:ScrollMove(int sceneIndex, UINT sbSN, int value, float rate) float param = (float)value * rate; switch (sbSN) case 1: P_radius = param; break; case 2: P_omega = param; break; case 3: V= param; break; case 4: break; case 5: break; FlushScene(); / / 键盘建按下 void demoA
12、pp:KeyDown(UINT key) / 键盘建松开 void demoApp:KeyUp(UINT key) / 鼠标左键按下 void demoApp:LeftButtonDown(int x, int y, int keyFlag) / 鼠标左键松开 void demoApp:LeftButtonUp(int x, int y, int keyFlag) / 鼠标左键双击 void demoApp:LeftButtonDblClick(int x, int y, int keyFlag) / 鼠标右键按下void demoApp:RightButtonDown(int x, int y, int keyFlag) / 鼠标右键松开 void demoApp:RightButtonUp(int x, int y, int keyFlag) / 鼠标右键双击 void demoApp:RightButtonDblClick(int x, int y, int keyFlag) / 鼠标移动 void demoApp:MouseMove(int x, int y, int keyFlag) / 鼠标滚轮被滚动 void demoApp:MouseWheel(int x, int y, int zDelta, int keyFlag)
