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1、羲毽四舒栖构殉得调时鹰动物尚螂曦昆 明工学院连关培铰 链四杆机构(包 括双摇杆机构、双曲柄机构、曲柄摇杆机构) 广泛用于工程机械,. 起重运输机械、矿冶机械、农机等各种机械及 仪器仪表。铰链四杆机构设计,目前都采用矢 量投影的解法,分析其 构件在已知 条件下作相对运动 时的特点。但是,这种解法 较繁复。,且由此而导致错误 的计算公式屡 见不鲜(在 2 内就有这类错误 的例子)。本文将分析、研究更为简便的解法。理能够适用于机构在工作过程中全部可能 出现的情形,规定四角形顶角(逆 时针方向)的取值(见 图le、d)为A,、AZ 、A3 、A:AI二匕A;AIAZAZ二乙AIAZA3A3=匕AZA3
2、A;A=匕A3A;A:因此,对 于图1 a有:a,二 A!aZ A,+A:一汀a3二a,+A3+汀=A;+AZ+A3a、一久十A刁一汀一 A,+AZ十A3+A:一汀二汀对于 图1 b 有:a,一AlaZ一 A:+A:一3汀a3一aZ+A:+汀二A;十AZ十A:一2兀a;二a3+A;一兀(1)、 !.1 、1 1. J.简便解法的基拙首先,导 出 铰 链四杆机构(相 当于四角形 )与三 角形 正、余 弦定理类似的角与边的基本关系(以下称之 为四角形的正、余弦定理),作 为上述简 便解法 的基础。 (1产)砂砂寸寸一 A,+AZ+A3十A刁一3汀在 图1 a和图1 b中,将各矢 量四边形) 在x、
3、y轴上 的投影:(构成封闭的AIAZe o sa,+AZA3eosaZ+A,A1co saJ一0+A3A。e o sa3(2) 厂厂厂A,AZ吕ina,+AZA3将式(2)、(3 2 A,AZ+A2A35inaZ+A3ASina3=o(3)分别平方并相加得:+A3A一A;Al2 ACOS;AZAZA3coS(al一aZA,A2A3Aa一a3)一ZAZA。A3A;C。s(a:二五3)(4) 图1图la、b为 铰链四杆机构在工作过程中可能 出现的两种有代表性的情形。矢量代表构件,构件与x轴正向的夹角分别 为a,、aZ、a3、a。,其模(构件的长度)分别为入不飞、A瘫二、A3A;、A。A, 。为 了
4、使导出的 四角形正、余弦定将式(l)或式(1产)的a:、入式(2)、(4)分别 得:aZ 、a3、a.值代A,A:5inA:一AZA3sin(A;+AZ)+灭百天5in(A:+AZ+A3)=0 _2_2_一22 A,A:+AZA:+A3A一A刁AI(5)=2兀丁 瓦瓜灭二。AZ+2入几入弓瓜仄 二c。sA一3 5一、少O,1山了、!气z|.|11!11,s e!夕一艺 A:AZA3Aeos(A:+ A:)(6)在图1叭d中,当角A凌A,为“时,铰链四杆机构由原来构成的四边形转化为三 角形。AZ二二的情形 如图2所示。这时由式(5)、(6)可 得:A,A:+AZA:+A3A一A4A;=ZA,A
5、:A:AoeooA,+ZA:A:A3A十AAZA:e o sA:一ZA,AZA:A。艺一一一多_2 +A3A+A4A,一(AA,A:=ZA,A:A3Ae osA3+ZA。AAA,A,A:sinAA:A。sinA,xeosA(7)瓦I二沐不床;一Z A:A3A;A:e os(A:+ A)2_2_2 十A:A:一A2A3人火日了、2承仄仄i。A+ 2布 A;A,=A:A,+A:A。 一ZA,A:A:A。eo sA:(8)AoAIxeosAZA:AA;A:e os盒_一A3A:A2+A,)+A,A:+A:A:=ZA。A;A,AZeosA:+ZA,AZA:A:火。sAZ一ZAA,AZA3c o 。(A
6、,+AZ)上述关于四角形的 正、余弦定理的 证明较 参考文献4J为简明、直豌。此外,4导出的四角形的余弦定理(只证明了凸四边形 的情形)漏掉了式(1 0)中等号右边的第三项,因而是错误的。图2二、简便计算法的例子式(7)、(8)即三角形的正、余弦定理。从这个意义上讲,式(5)、(6) 分别是式(7)、(8) 的推广。因此,以下分别称式(5)、(6)为四角形的正、余弦定理。根据以上的推导可知,式(5)、(6)适用于 图la、b及图2的情形,即适用于机构在工作 过程中全部可能 出现的情形。式(5)、(6)是对构件A,A;写出的正、余弦定理,也可对构件AIAZ、A:A3、A3A写 出。因此,四角形的
7、正、余弦定理可写成式(9)、(10):利用 四角形正、余弦定理解铰链四杆机构构件相对运动的例子,目前 还不 见有述及”2。现举例加以研 究。图3入丁瓦。i nA,一所可sin (A,+AZ)+灭万几sin(Al+AZ+A3)=o瓦五二Si nA:一风天二,i n( A 汁A。)+天不:。i n(AZ+A。+A、)0入丁砚,inA:一入丙sin(A3+A;)+瓦瓦sin(A:+A+AI)=o可仄二。inA一风不sin(A。+Al)+瓦灭)s全n(A十A:十A:)=o(9)铰链四杆机构简图如图3所示。构件A工AZ、AZA:、A 3A的长度、角位移、角速度、角加速度分别以a卜切:、。,、,;a:、沪
8、2、。,、2;a:、甲3、。3、。:表示之。构件AIA固定,其长度为a,。设。;,二常数为已知,现求甲。、甲2、。、。:、。2 、。3的计算公式。(一)矢盆投影的解法1.角位移叭与切2将各构件在、犷轴上投影得:一36一aZe o s切:=a一aLe o s切1+a,c o s切3aZsin甲:=a3sin甲3一a,sin甲,或写成:alsin(切,一切2) 叭嘶舜而而不而万a3e o s切s“alco s切:+aZc o s甲2一a刁a3sin切。二alsin切1+aZsin切2alsln甲;c o s切:一alc os切lsln切2,。、 =田t 、上 , 一a:s ln甲Zc o s甲s一
9、asc0 5甲351n甲2把式(1 1)中e os甲:、sin切2代人式(1 7)得:将式(11)、(1 2)等号两边平方后相加并整理得:a,asin切,一asin沪,eos职,+ala,sin切,。3=。,aa3。in甲3一a,a3sin切:e o s甲,+a璧sin甲3、 声、.户 叭1 3一(e o s甲3=1Za3aZa;a;e o s甲:+Za,a。e o s(俨3 eo s华:一a:a3eo s切lsin甲:+aleos甲lsin切、e os甲3一a二e os沪3sin切:+ala3e os切3sin甲1+a盆一a:一a圣一a雪a,a刁sin切1+ala3sin(切,一叨3) =。
10、aa:sin切3+ala:sin(甲J一甲3)又有:(18)CO S切:二1ZaZa一Zalaeo s切:+ Za,a:e o s(切1一沪:)+al+a;+a芽一a; (1 4)2.角速度。3与。2alsin(甲:一甲。)田2二田一丁, 下甲万一.又 a:匕 in气甲3一甲2夕a:sin(职,一切3)对于 时间t微分式(11 )得:“。aZ。in切3。s切2一a:c o s甲39而动(1 9)、产口困11Z气飞1)2a3O3sln切s一aZOZs ln华:=a,切lsln华:a3O3cos切3一a:。Zcos甲:=al。,c o s切,解式 (15) 得:式(19)中的eos切2、sin切2
11、用式(11)的关系代人 得:a,5in(.,一切.、a5In切:一alsln切:cos切l十a:sln甲3c o s甲:+a,sin切:e o s切3、 | , 1. e el|.1|. 功3a工sin(切:一中2) 口1下丁丁丁叮, 又 a35 in又甲a一甲:户一a3cos切。sln切sa,。in(切、一切3)二口a5in沪。一a:sin(切。一甲1)(2 0)4.角加速 度。3与对于时间t微分式(1 5)得:口2默魂军戈裂 默军:烹窦 军:1默段狱次寡a3sln切:一a:sln甲2alsin(切1一切3) 田一了;了下一一一一刃 a25111气甲。一甲2夕a3CoS切3一aZc o s切
12、2(1 6)(2 1)3.不用中间变量切2表示的角速度。犷与。:将式(1 6)写成式(1 7):a3巴3sln甲:一a:e:sln切2=alole os切,一a3。:e o s切。+aZ。孟e o s中2a3sc os切:一aZZC 0 s切2=一a,。:。in甲,+a3。雪5in切3一 aZ。孟sin华:解式 (2 1)得:es=al。e o s甲,一a:。置e os切3+aZ。;e o s中2一a工。1sin切,+a3。;sin切3.:aZ。互sin甲2a3,In甲sasCo s华3一aZsln切2一aZc o s甲,一a:5In切2一aZCOS甲23 7aZe o s切:=a一aLe o
13、 s切1+a,c o s切3aZsin甲:=a3sin甲3一a,sin甲,或写成:alsin(切,一切2) 叭嘶舜而而不而万a3e o s切s“alco s切:+aZc o s甲2一a刁a3sin切。二alsin切1+aZsin切2alsln甲;c o s切:一alc os切lsln切2,。、 =田t 、上 , 一a:s ln甲Zc o s甲s一asc0 5甲351n甲2把式(1 1)中e os甲:、sin切2代人式(1 7)得:将式(11)、(1 2)等号两边平方后相加并整理得:a,asin切,一asin沪,eos职,+ala,sin切,。3=。,aa3。in甲3一a,a3sin切:e o
14、s甲,+a璧sin甲3、 声、.户 叭1 3一(e o s甲3=1Za3aZa;a;e o s甲:+Za,a。e o s(俨3 eo s华:一a:a3eo s切lsin甲:+aleos甲lsin切、e os甲3一a二e os沪3sin切:+ala3e os切3sin甲1+a盆一a:一a圣一a雪a,a刁sin切1+ala3sin(切,一叨3) =。aa:sin切3+ala:sin(甲J一甲3)又有:(18)CO S切:二1ZaZa一Zalaeo s切:+ Za,a:e o s(切1一沪:)+al+a;+a芽一a; (1 4)2.角速度。3与。2alsin(甲:一甲。)田2二田一丁, 下甲万一.又
15、 a:匕 in气甲3一甲2夕a:sin(职,一切3)对于 时间t微分式(11 )得:“。aZ。in切3。s切2一a:c o s甲39而动(1 9)、产口困11Z气飞1)2a3O3sln切s一aZOZs ln华:=a,切lsln华:a3O3cos切3一a:。Zcos甲:=al。,c o s切,解式 (15) 得:式(19)中的eos切2、sin切2用式(11)的关系代人 得:a,5in(.,一切.、a5In切:一alsln切:cos切l十a:sln甲3c o s甲:+a,sin切:e o s切3、 | , 1. e el|.1|. 功3a工sin(切:一中2) 口1下丁丁丁叮, 又 a35 in
16、又甲a一甲:户一a3cos切。sln切sa,。in(切、一切3)二口a5in沪。一a:sin(切。一甲1)(2 0)4.角加速 度。3与对于时间t微分式(1 5)得:口2默魂军戈裂 默军:烹窦 军:1默段狱次寡a3sln切:一a:sln甲2alsin(切1一切3) 田一了;了下一一一一刃 a25111气甲。一甲2夕a3CoS切3一aZc o s切2(1 6)(2 1)3.不用中间变量切2表示的角速度。犷与。:将式(1 6)写成式(1 7):a3巴3sln甲:一a:e:sln切2=alole os切,一a3。:e o s切。+aZ。孟e o s中2a3sc os切:一aZZC 0 s切2=一a,。:。in甲,+a3。雪5in切3一 aZ。孟sin华:解式 (2 1)得:es=al。e o s甲,一a:
