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1、习 题 课习 题 课习 题 课习 题 课曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分主讲主讲黎传琦黎传琦PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 曲线积分的概念及性质曲线积分的概念及性质曲线积分的理论及计算方法曲线积分的理论及计算方法曲面积分的概念及性质曲面积分的概念及性质曲面积分的理论及计算方法曲面积分的理论及计算方法PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 3的曲线形构件的质量的曲线形构件的质量, = LsyxMd),(,d),(Lsyxf即即=Lsyxfd),(函数函数f (x, y)在曲线弧在曲线弧 L对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分第一类曲线积
2、分第一类曲线积分. .积分和式积分和式被积函数被积函数弧元素弧元素积分弧段积分弧段记作记作 =niiiisf1),( 0lim 曲线积分的概念及性质曲线积分的概念及性质 一对弧长的曲线积分一对弧长的曲线积分1. 定义定义或或物理意义物理意义:线密度为线密度为),(yx即即PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 4(1)(2)与积分路径的方向无关与积分路径的方向无关,即即=Lsyxfd),(Lsyxfd),( )(AB)(BA2. 性质性质对路径具有可加性对路径具有可加性,即若即若+ 21d),(d),(d),( CCCksyxfsyxfsyxfL所组成所组成, 且任何
3、两线段之间无重叠部分且任何两线段之间无重叠部分,则则=)(d),( ABLsyxfkCCCAB,21L由由PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 5在一条光滑在一条光滑(或分段光滑或分段光滑)的的当当f (x, y)是是L上关于上关于x 的奇函数的奇函数Lsyxfd),(当当f (x, y)是是L上关于上关于x 的偶函数的偶函数,d),(21LsyxfL1是曲线是曲线L落在落在y 轴一侧的部分轴一侧的部分.在分析问题和算题时常用的在分析问题和算题时常用的L关于关于y轴轴对称对称,补充补充对称性质对称性质曲线曲线L上连续上连续, ),(yxf设函数设函数则则, 0(或或
4、y)(或或y)(或或x轴轴)(或或x)运用对称性简化对弧长的曲线积分运用对称性简化对弧长的曲线积分 计算时计算时, 应同时考虑被积函数应同时考虑被积函数f (x, y)与积与积 分曲线分曲线L的对称性的对称性.=PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 61988年研究年研究生生考题考题, 填空填空(3分分)则则其周其周长为长为为为椭圆椭圆设设, 13422 ayxL=+).(d)432(22=+ Lsyxxya12解解=Lsxyd2+Lsyxd)43(220= =+ Lsyxd)43(1211222+= Lsyxd)34(1222 sLd112=.12a=对对 称称
5、性性+Lsyxxyd)432(220例例PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 7曲线积分的概念及性质曲线积分的概念及性质 二 对坐标的曲线积分二 对坐标的曲线积分1. .定义定义 =+niiiiiiiyQxP1),(),( 0lim =+yyxQxyxP Ld),(d),( (第二类曲线积分第二类曲线积分) )物理意义物理意义: :WAB所作的所作的功功沿沿)dd()(j yi xjQiPABrrrr+= +=AByQxPddjyxQiyxPFrrr),(),(+=变力变力sFW ABrrd=)d,d(dyxs =rPDF 文件使用 “pdfFactory Pro“
6、 试用版本创建 82. .性质性质,21LLL和和分成分成如果把如果把,是有向曲线弧是有向曲线弧设设L+yyxQxyxPd),(d),(LL1L2 (1)=+LyQxPdd则则+1ddLyQxP(2) LL是与是与曲线弧曲线弧,则则+=yyxQxyxPd),(d),(+2dd LyQxPLLLLOxyOxy对路径具有可加性对路径具有可加性.与积分路径的方向有关与积分路径的方向有关.方向方向相反相反的有向的有向PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 9补充补充在分析问题和算题时常用的在分析问题和算题时常用的L在上在上半平面半平面部分与部分与=LxyxPd),(P(x,
7、y)为为P(x, y)为为1d),(2 LxyxP其中其中L1是曲线是曲线L的上的上半平面半平面的部分的部分.类似地类似地,LyyxQd),(对称性质对称性质对对坐标坐标的曲线积分的曲线积分,当当平面平面曲线曲线L是分段是分段光滑的光滑的, 关于关于下半平面下半平面部分的部分的走走向向相反相反时时,x 轴对称轴对称, ,则则0y的偶函数的偶函数y的奇函数的奇函数的的讨论也讨论也有有相相应的应的结论结论.对对PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 10例例,1|dd+ABCDAxyyx计算计算直接直接化为化为定定积分计算积分计算, AB +=ABxyyx 1dd+BCx
8、yyx 1dd+DAxyyx 1dd+CDxyyx 1dd取逆取逆时时针针方向方向., 1|=+ yx解解 法法一一 由曲线积分的性质由曲线积分的性质. 则则 +BC+CD+DA1=+ yx1=+yx1=yx1= yx)0 , 1(A)1 , 0(B)0 , 1(C)1, 0( D其中其中ABCDA为为+=011)1(dd xxxx0+101)1(dd xxxx+011)1(dd xxxx0= ABCDA+101)1(dd xxxx +=101)1(d2xxx+101)1(d2xxx 0tx=+=101)1(dd xxxx+101)1(dd xxxxOxy=PDF 文件使用 “pdfFacto
9、ry Pro“ 试用版本创建 11将原将原式分成两部分式分成两部分,即即 +=ABCDAxyx 1|d+ABCDAxyy 1|d+ABCDAxyx 1|d对对曲线关于曲线关于的的走走向与向与L在在下半下半部分的部分的走走向向相反相反,1=+ yx1=+yx1=yx1= yx)0 , 1(A)1 , 0(B)0 , 1(C)1, 0( D法二法二被积函数为被积函数为=+ ABCDAxyx 1|d利利用用对称性质对称性质,L在上在上半半部分部分x轴对称轴对称,y的偶函数的偶函数.0+ABCDAxyyx 1|dd计算计算原原式式OxyPDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建
10、12+ABCDAxyy 1|d对对曲线关于曲线关于L在在右半右半部分的部分的走走向与向与L在在左半左半部分的部分的走走向向相反相反, 被积函数为被积函数为=+ ABCDAxyy 1|d01|dd=+ ABCDAxyyx所所以以,y轴对称轴对称,x的偶函数的偶函数.0+ABCDAxyyx 1|dd计算计算=+ ABCDAxyx 1|d01=+yx1=yx1= yx)0 , 1(A)1 , 0(B)0 , 1(C)1, 0( D1=+ yxOxyPDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 13iiiniixP),(lim10 =+zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(
11、d),(以以上两上两种种曲线积分可分曲线积分可分别推广到空别推广到空间曲线弧间曲线弧中去中去,即即iiiiyQ),(+),(iiiizR+=szyxfd),( =niiiiisf1),( 0lim PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 14三两类曲线积分之间的关系三两类曲线积分之间的关系=+ zRyQxPddd+sszRsyQsxPd)dd dd dd(曲线积分的概念及性质曲线积分的概念及性质+= sRQPd)coscoscos(其中其中cos,cos,cos为曲线弧为曲线弧方向的方向的切切线的方向线的方向余弦余弦.PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“
12、 试用版本创建 15定理定理1(1(格林定理格林定理) ) 设设闭区域闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L 围围成成,+=LDyQxPyxyP xQdddd)()1(函数函数P (x, y)及及Q (x, y)在在D上具有上具有一一阶阶连续连续偏偏则有则有公公式式(1)称称其中其中L是是 D的的取取正向正向的的边界边界曲线曲线.格林公式格林公式. .曲线积分的理论及计算方法曲线积分的理论及计算方法 一基本定理一基本定理格林公式的实质格林公式的实质联系联系.沟通了沿闭沟通了沿闭曲线的积分与曲线的积分与二二重积分之间的重积分之间的导导数数,PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“
13、试用版本创建 16DLl当当观察者沿边界行走观察者沿边界行走时时,(1) P、Q在在闭区域闭区域D上一上一阶偏导阶偏导数的连续性数的连续性;(2) 曲线曲线L是是封闭封闭的的, 并并且且取正取正向向. .注注规定规定 边界边界曲线曲线L的的正向正向区域区域D总总在在他他的的左边左边. .xyODLPDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 17+ LyQxPD与路径无关与路径无关内内在在dd)1( =+ CDCyQxP闭闭曲线曲线, 0dd)2(yQxPuyxuDddd),()3(+=使使内存内存在在在在.,)4(xQ yPD=内内在在与路径无关的四个等价命题与路径无关的
14、四个等价命题条件条件在在单单连连通开区域通开区域D上上P(x, y), Q(x, y)具有具有连续的一连续的一阶偏导阶偏导数数,则则以下以下四个命四个命题题成成立立. .PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 18二曲线积分的计算法二曲线积分的计算法1. 基本基本方方法法曲线积分曲线积分第第一一类类 ( 对弧长对弧长 )第二类第二类 ( 对对坐标坐标 )(1)转转化化定定积分积分用用参参数方数方程程用用直角坐标直角坐标方方程程用用极坐标极坐标方方程程(2) 第第一一类类: :第二类第二类: :统统一积分一积分变变量量确确定定积分上积分上下下限限下下小小上上大大下下始始上上终终(与方向无关与方向无关)(与方向有关与方向有关)PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 19(1) 利利用对称性用对称性及及重重心心公公式简化计算式简化计算 ;(2) 利利用积分与路径无关的用积分与路径无关的等价等价条件条件;(3) 利利用用格林格林公公式式 (注注意加意加辅助辅助线的线的技巧技巧) ; (4) 利利用用斯托克斯斯托克斯公公式式 ;(5) 利利用两用两类类曲线积分的曲线积分的联系公联系公式式.2.
