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1、方程( 组) 教学价值的分析与思考江苏省南京市宁海中学分校 卜以楼 ( 邮编:210036)摘 要 数学教学不能只停留在告诉或传递给学生静态的数学知识, 而应尽可能地使学生获得怎样探求新知识的智力、 智慧价值.义务教育第三学段中方程( 组)的教学价值常常被解读为解题程序化训练的“ 表象价值” , 而隐藏在“ 表象价值”背后的“ 智慧价值”常常被忽视.数学教师应把握好方程( 组)教学的价值取向, 让方程( 组)的教学过程变成增长学生智慧的过程.关键词 方程( 组) ; 教学价值; 教学智慧; 分析思考1 方程与方程组的价值判断1. 1为什么要用方程与方程组来解决问题的价值分析对于方程与方程组这一
2、教学内容, 义务教育课程标准下的教材编写取得新突破, 不少版本的教材提供了方程的起始课 “ 从问题到方程” ,这为研究方程相关问题提供了新的视角.下面是某版本教材“ 从问题到方程”这一内容提供的教学资源.资源1 怎样描述图中天平平衡所表示的数量之间的相等关系?资源2 篮球联赛规则规定, 胜一场得2分, 负一场得1分, 该篮球队赛了12场, 共得20分.怎样描述其中数量之间的相等关系?资源3 我国古代问题: 以绳测井, 若将绳三折测之, 绳多4尺; 若将绳四折测之, 绳多1尺.绳长、 井深各几何?面对上述三个问题, 首先需要思考的是用什么方法来解决? 其次思考的是为什么可以不用小学算术的方法而可
3、以用方程的方法来解决这些问题? 弄清这些问题, 学生才能认识“ 从问题到方程” 中的“ 到” 的价值, 才能体现“ 从问题到方程”这节教学内容的本质诉求.那么, 教材中提供的三个资源能够回答为什么要用方程来解决问题吗? 如果不能, 则应对教材作怎样的处理? 这些问题要引起关注和思考.基于以上想法, 可以改造教材中的教学情境.教学中可以选用 鸡兔同笼问题作为新课的导入情境.鸡兔同在一个笼子里, 从上面数, 有35个头,从下面数, 有94只脚.问笼中都有几只鸡和兔!首先, 它是学生目前最为熟悉的情境之一.在小学里, 学生都接触过这个问题, 甚至还作为专题研究过这类问题.其次, 鸡兔同笼问题的算术解
4、法就是下列的假设法.“ 砍足法” 假设把鸡和兔子的足砍去两只, 则有352=70( 只) 足, 那么剩余的足有94-70 =24( 只) , 故有24 2 =12( 只)兔子.“ 兔立法” 假设让兔子全“ 站立” 起来, 那么鸡、 兔共有352=70( 只) 足, 而实际多了94-70 =24( 只)足, 故有24 2 =12( 只)兔子.“ 公平法” 兔有4只足, 鸡有2只足, 这样对鸡是否不够公平? 不过兔子没有翅膀, 而鸡有2只翅膀, 这样一想, 也能算是公平了.假设把鸡的两 只 翅 膀 也 算 足 的 话,那 么 就 有35 4 =140( 只)足, 这就说明鸡有140 - 94 =4
5、6( 只)翅膀, 故原来有46 2 =23( 只)鸡.再次, 此问题中的数学关系简明、 简单, 在学生现有的心智水平下, 易用字母表示出来, 从而容易将问题“ 方程化” , 实现从问题“ 到”方程.根据上述立意, 可以向学生提出下列两个问题:问题1 用算术方法解决 鸡兔同笼问题,其不同 的 方 法 有 什 么 共 同 点,它 们 的 本 质 是什么?01中学数学教学2014年第2期问题2 我们能否沿着算术方法( 假设法)的思路, 通过“ 用字母表示数”的方法来解决该问题呢? ”从算术解法( 实是假设法)过渡到方程解法( 也是假设法) , 既能显示从问题“ 到”方程的思维过程, 又回答了用方程解
6、决问题为什么首先要“ 设”这一在教学中常常被忽视的问题( 这里的“ 设” , 就是假设的意思) , 还能在这一过程中, 凸显方程的本质, 让学生变得聪明, 增长智慧, 彰显教学价值.2 布列方程与方程组的价值分析用方程与方程组解决问题就是经典的“ 算两次”.何谓算两次? 算两次可以理解成从两个不同角度去理解同一数量, 这样就可用两种不同的式子表示同一个数量关系, 这个式子既可以表示同一个数量运算的算理, 也可以表示同一个数量的运算结果.“ 为了得到一个方程, 我们必须把同一个量以两种不同的形式表示出来.”即将一个“ 量”算两次, 从而建立相等关系, 这就是列方程与方程组中的算两次原理.在用方程
7、与方程组解决问题的过程中, 一定要引导学生用数学符号从两个方面来考察同一个数量的不同表述形式, 引导学生用转换观点的方法去表述同一事物的具体数量, 引导学生换一个角度去看待同一个问题, 充分地让学生感受算两次的思想, 而不是简单地研究题型, 研究套路,机械地套用方法.为此, “ 算两次”才是用方程与方程组解决问题的教学价值取向, 理应成为用方程与方程组解决问题教学的新立意.要注意的是这样重要的数学方法和原理, 学生需要经历漫长而又艰苦的体验过程才能把握其精神内涵.3 解方程、 解方程组的价值分析学生根据问题列出方程与方程组, 那么自然就有如何求出所布列的方程与方程组中未知数取值的欲望.这时可将
8、探求问题的视角引入到如何解方程、 解方程组的问题上, 让学生感受解方程与解方程组的智力价值.什么是解方程、 解方程组, 说到底就是求出方程、 方程组中未知数所取的数值, 所以解不同类型的方程、 方程组, 其原理是相通的.只不过对于不同类型的方程、 方程组, 由于未知数的存在形式不同, 可能导致所用的具体方法会有差异.解方程、 解方程组的价值在哪里? 是恒等变形, 还是巩固数、 式的计算? 是解各种方程、 方程组方法的把握, 还是解题技巧的积累? 是对解各种方程、 方程组进行程序化的训练, 还是 ?上面提到的固然重要, 但不是解方程、 解方程组的最主要价值.解方程、 解方程组的主要价值是对学生进
9、行如何“ 实现目标”的教育.因为解方程、 解方程组的目标就是根据方程与方程组的结构( 式结构)特征, 通过自己的智力活动, 求出方程与方程组中的未知数的取值, 也就是从已有的方程、 方程组出发, 在已有的法则、 原理支撑下, 不断地调整策略方法, 不断地引发驱动, 不断地向目标前行,接近目标, 求出未知数的取值, 从而实现目标.显然, 这一过程, 是对学生进行根据已有的条件, 在公认的规则下, 运用自己的智慧和辛勤的劳动去不断追求目标, 实现目标, 体现价值的教育.基于上述解方程与解方程组的价值观, 对解方程与解方程组的教学资源可进行如下融合. 凸显解一元一次方程的过程价值解一元一次方程是解所
10、有方程、 方程组的基础, 为此要让学生充分感受、 体验如何来解一个具体的一元一次方程.在教学中, 可用一课时从以下几个方面让学生感受其“ 过程价值”.对于解方程ax=b(a 0) , 根据方程的结构特征, 求出“x=? ” , 只需将该方程的两边同除以a, 便可实现目标, 从而得到方程的解为x=b a.这个过程, 主要凸显“ 将未知数的系数化为1”的过程价值.解方程x+a=0, 根据“ 式结构” , 求出“x=? ” , 只要将方程的两边同时减去a, 便可实现目标, 进而求出x=-a.这个过程, 主要凸显“ 移项”的过程价值.对于解“ 未知项和已知项杂居的一元一次方程” , 显然是要把同类的东
11、西放在一起, 即将未知项、 已知项分别置于方程的两边, 再合并同类项,求出方程的解.这个过程, 主要凸显“ 移项、 合并112014年第2期中学数学教学同类项”的过程价值.对于解“ 未知数存在于括号中的一元一次方程” , 用上述方法去解决已是不可能了.问题的疾症是前面方程中的未知数是“ 自由”的, 是可以改变位置的, 正因为是自由的, 才可以移项.而此时括号限制了未知数的“ 自由” , 因此, 只有将未知数从括号中“ 解放”出来, 让未知数重返“ 自由” ,再运用前面的经验, 可求出方程的解.这个过程,主要凸显“ 去括号” 的过程价值.对于解“ 未知数存在于分数分子中的一元一次方程” , 可依
12、据解“ 未知数存在于括号中的一元一次方程”的经验, 只需要将未知数从分子中“ 解放” 出来即可.如何解放未知数, 则需要去分母.这个过程, 主要凸显“ 去分母”的过程价值.上述思维过程的价值, 一方面是让学生主动地学会解一元一次方程, 而不是简单地让学生记住解一元一次方程的步骤, 被动地解一元一次方程; 另一方面在突出“ 算理”的理念下, 对学生有效地进行不断实现目标的“ 人本教育” , 放大数学课程教育功能.而现行教学中通常把解一元一次方程分成几种类型( 系数化为1型; 移项型; 去括号型; 去分母型) , 每一种类型分别用一到两课时去解决它, 这种处理方法, 虽然能固化解各种类型的一元一次
13、方程的技能, 但却大大削弱了解一元一次方程过程中的智慧价值和经验价值. 厘清解二元一次方程组的“ 不 变元”价值解二元一次方程组的价值, 一是要让学生充分认识到方程组中的两个未知数虽然出现在不同的方程中, 但是, 它们却表示的是同一个数值( 量) , 它不随在方程组中的哪一个方程的变化而变化, 这就是“ 不变元”的思想, 也是“ 消元”的前提, 往往被学生所忽视; 二是突出转化消元的思想, 由此, 产生了用代入消元法、 加减消元法解二元一次方程组的具体方法. 挖掘解一元二次方程的思想价值思考问题、 解决问题必须要找准解决问题的起点, 解一元二次方程也不例外.在解一元二次方程时, 学生只有解一元
14、一次方程和二元一次方程组的经验, 而解二元一次方程组的经验在此时又深感力不从心, 为此要把起点放到解一元一次方程这个基点上.若考虑到二次因式是由两个一次因式相乘所得, 那么就可找到探究解一元二次方程的思维起点了.若将方程x+a=0两边同乘以(x+b) , 便可得到一元二次方程(x+a) (x+b)=0.如何解这个一元二次方程? 众所周知, 从“ 式结构”上寻求突破, 是解决代数问题的有效策略.这个方程的“ 式结构”表述的信息就是“ 两个因式的乘积为零, 则可得到, 至少有一个因式为零”的结论.那么就可以将一元二次方程(x+a) (x+b)=0转化成两个一元一次方程x+a=0,x+b=0来解,
15、并将这一经验作为解一元二次方程的思想基础.在上述求解的基础上, 再来探究下列方程的解法:对于解“ 缺少常数项的一元二次方程x2+mx=0” , 可通过提取公因式, 将方程变形为“ 两个一次因式积为0”的形式, 从而求出方程的解.对于解“ 缺少一次项的一元二次方程x2+n=0, 可通过平方差公式, 将方程变形为“ 两个一次因式积为0”的形式, 从而求出方程的解.对于解“ 二次项系数为1的方程x2+mx+n=0” , 若x2+mx+n是完全平方式, 则可通过完全平方公式, 将方程变形为“ 两个一次因式积为0” 的形式, 从而求出方程的解; 若x2+mx+n不是完全平方式, 则可通过配方法, 将方程
16、变形为“ 两个一次因式积为0”的形式, 从而求出方程的解.对于解“ 二次项系数不为1的方程ax2+bx+c=0(a 0) ” , 可先将二次项系数化为1, 再通过配方法, 将方程变形为“ 两个一次因式乘积为0”的形式, 进而得到一元二次方程的求根公式.上述的探究活动, 是通过因式分解将一元二次方程变成两个一次因式积为0的形式, 达到“ 降次”的目的, 从而将一元二次方程转化成一元一次方程来解.然后在“ 因式分解法”这个大前提下, 产生“ 直接开平方法” 、 “ 配方法” 、 “ 求根公式法”这三种特殊解法.其价值是: 一方面, 将“ 因式分解法”作为解一元二次方程的通法.这样不仅可让学生感受到解一元二次方程的方法来源, 进21中学数学教学2014年第2期而让学生会根据方程的特征, 选择最恰当的方法去求解, 而且还能让学生进一步认识到解高次方程, 就是要通过因式分解, 将高次方程转化为低次方程( 降次)来解, 此时再让学生解一元三次方程(x+a) (x+b) (x+c
