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1、2 0 1 6 年第 7 期 数 学教 学 3 台州市十年数学中考 “ 新定义 “试题赏析与命制 3 1 8 0 0 0 浙江省 台州市 白云学校 张安军 近几 年， 新定义型试 题受到命题 专家 的关 注 ， 它 以学生 已学的数学 知识和 已有 的经验为 基础， 给出了一个学生从未学过的新概念， “ 要 求学生现学现用， 全面考查学生的阅读理解能 力、接受能力、应变能力和创新能力的创新试 题 它将考试评价的过程变成一种指导学生 自 主学习的过程， 要求学生平时学会 自主学习、 主动探究， 对改变学生的学习方式起到了良好 的导向作用 ” 【 1 】 由于试题形式新颖， 构思独特， 思维容量大
2、， 又有较好的区分选拔功能， 受到 全国各地专家喜爱 近十年来浙江省台州市数 学中考试卷 已经连续命制此类考题， 己成为台 州市中考数学试题的一大特色， 现对台州市这 十年的新定义型试题进行回顾， 展示其亮点并 对命制进行分析 1 试题 回顾 统计 2 0 0 6年到 2 0 1 5年这十年， 台州市中 考数学试卷中连续出现新定义型试题达 1 7题， 平均每年 1 7题 2 0 0 6年台州市中考试题共 有 2 5道题 目， 1 2道选择题， 6道填空题， 7道 简答题， 2 0 0 6年之后的中考试卷在结构形式上 都一样， 每份中考卷共有 2 4题， 其中 1 0道选 择题 ， 6道填 空题
3、 ， 8道解答题 ， 总分为 1 5 0分 现对这十年新定义试题在每份试卷分值和分布 情况统计如下： 从表中可以发现， 新定义型试题有的是选 择题形式， 有的是填空题和简答题的形式， 特 别地， 在 2 0 0 6年中考试卷中， 以上三种题型同 时出现， 在 2 0 1 1年中考试卷中， 新定义试题总 分为 2 6分， 占总分的 l 7 从新定义试题在试 卷 中的位置分布来看， 它一般都位于选择题、 填空题 、简答题 的最后一题或者倒数第二题 由于新定义试题难度大， 对于每个考生来说又 是陌生的， 因此此类试题都兼顾选拔和区分的 功能， 成为各种题型的压轴题 从中不难发现 新定义 型试题一 以
4、贯之渗透在台州市的中考试 题中， 成为台州市中考试题 的一大特色 新定 义型试题到底有哪些迷人的的芳香， 让台州数 学中考对此执著的守望呢? 表l 新定义型试题在每份试卷的分值分布情况 年份 题号 定义名称 分值 1 2 点到 圆上 的距离 4 2 0 0 6 老人 系数 5 1 7 2 5 相似梯形 1 4 2 0 0 7 9 新规定运算( 加密和解密) 4 2 0 0 8 1 0 滑动对称变换 4 i 0 完全对称 式 4 2 0 0 9 2 3 凸四边形 的准 内点 1 2 2 0 1 0 2 2 平移量 1 2 规定符号 f 为三角形同 23 1 2 一边上的高线和中线之比1 2 0
5、1 I 抛物线 的伴随 四边形， 2 4 1 4 抛物线的伴随直线 1 6 新规定运算a b 5 2 0 1 2 2 4 新规定距离 1 4 1 6 新规定运算 5 2 O 1 3 2 4 好玩三角形 1 4 1 6 新规定运算 5 2 C l 1 4 2 4 等角六边形 1 4 2 0 1 5 2 4 线段的勾股分割点 1 4 所以 ( 0 )不具有性质 P， 矛盾 综上， “ 对任意 a l ， 0 n )都具有性质 P ” 的 必要性得证 充要条件为“ n 是常数列” 一3 8 数学教学 2 0 1 6 年第7 期 2 新定义型试题欣赏 新定义型试题体现数学学科价值和数学 学习素养， 在
6、培养学生的数学素养中扮演着重 要的角色 新定义试题所折射的数学价值是丰 富多彩的， 主要体现 以下几个方面 2 1丰富了中考命题的素材， 激发数学情 怀 近十 年来 台州市 新 定义 型试题 立 足于 学 生 已有的认知结构而设计的观察、试验、猜 想、验证、推理 、抽象概括 、问题反思与建 构等一系列有趣的问题， 从简单到复杂， 从特 殊到一般， 从大胆地猜想到小心地求证， 试题 起 点低， 入 口宽， 即使数学基础稍差 的同学， 也有着愉快 的发现和收获与此同时， 它的 立意高， 思想深刻 新颖而又可亲的背景诱惑 着众多的学生， 跳进数学的深河， 让他们经历 紧张思考而又享受发现 的过程例如
7、例 1中 的第 ( 1 )小题“ 已知一条线段勾股分割点，已 知 、 两边， 求第三边 BN 长” ， 从熟 悉定义出发， 给出的定义具有判定和性质双重 作用； 第 f 2 ) 小题是三角形中位线上有勾股分 割点， 在平行线的变换下的对应点是否还保持 这一性质呢? 让学生验证这一想法， 第 ( 1 ) 小题 已经熟悉勾股分割点及其作用， 而第 ( 2 ) 小题 则应用这一定义进行判定； 第 ( 3 ) 小题寻找线 段勾股分割点， 在 ( 1 ) 、( 2 )小题的基础上构造 线段上的三边使它成为直角三角形； 第 ( 4 )小 题在前面获得经验基础上， 考查学生的应用新 知， 探究新知的能力整个
8、问题设置的过程类 似公理化思想， 从已有 的知识出发， 探究问题 的解， 从易到难， 从具体到抽象， 合理的猜想， 严谨的求证， 不同层次的学生都有不同的收获 例 1 ( 2 0 1 5 年台州中考第 2 4 题) 定义： 如 图1 ， 点M 、 把线段 B分割成 M 、 和 B若 以 M 、 N、BN 为边 的三角形 是 一个直角三角形， 则称点M 、 是线段 B 的 勾股分割 点 A M N B 图 1 ( 1 )已知点M 、是线段 A B的勾股分割 点 若 A M =2 ， =3 ， 求 BN 的长； ( 2 )如图 2 ， 在 A BC 中， F G 是中位线， 点D、E 是线段 BC
9、 的勾股分割点， 且 EC DE BD， 连结 AD、AE 分别交 F G 于 点 、求证：点 M 、 是线段 FG 的勾 股分割点： B D E C 图 2 ( 3 )已知点 是线段 A B上的一定点， 其 位置如图 3所示， 请在 BC上画一点 D， 使点 、D 是线段 A B 的勾股分割点( 要求尺规作 图， 保留作图痕迹， 画出一种情形即可) ； A 图 3 f 4 ) 如图 4 ， 已知点 M、 是线段 AB的 勾股分割点， M AM BN， AA MC、 D和 JE 均为等边三角形， 分别 交 M 、DM 、D 于点 F、G、日 若 日 是 D 的 中点，试 探 究 S A A M
10、F 、S A B E N 和 S 四 边 形 M 日 G的数量关系， 并说明理 由 图 4 2 2关注数学核心概念，引领教 学 在一个概念体系 中， 有些概念处于核心 位置， 其他概念或由它生成， 或与它有密切的 联系， 我们称之 为核心概念在例 2中， “ 距 离” 是欧氏几何的基本概念， 不仅是初 中阶段 重要的概念， 而且也是高中乃至大学都在不断 丰富其 内涵的概念 在空间中， “ 两点之间的距 离” 是指两点连线的直线段的长度， 什么是“ 直 线段” ?在欧氏几何中， 拉紧了的线或光走的路 线都等同于直线， 因此“ 距离” 的本质是指最短 的线 点到直线的距离是指垂线段的长度， 为 什
11、么是垂线段的长度?而不是其他呢? 在点到 直线所有连线中， 垂线段的长度最短怎样定 义线段与线段间的距离呢?怎样定义线段与曲 线问的距离?例 2深入“ 距离” 概念的本质， 定 义线段与线段问的距离， 只要学生理解距离概 念的本质， 就可以把线段与线段间的距离化归 成点与点之间的距离， 化动为静， 就能很好解 2 0 1 6 年第7 期 数 学数 学 7 - 3 9 决第 ( 1 ) 和 ( 2 ) 小题； 第 ( 3 ) 小题在前面的基础 上， 把线段与线段间的距离拓展到线段与 曲线 问的距离， 思维含量高， 综合性强， 在解决这个 问题 时， 不仅 能综合函数观 点 、数形 结合 、方 程
12、 思想 ， 而且还要有 良好 的几 何直观和 空 间观 念 例 2 f 2 0 1 2 年台州中考第2 4 题) 定义： P、 Q 分别是两条线段 a和 b上任意一点， 线段 P Q 长度的最小值叫做线段与线段的距离已 知 O( 0 ， 0 ) 、A( 4 ， 0 ) 、B( m， 礼 ) 、C( m+4 ， 仡 ) 是 平面直角坐标 系中四点 ( 1 )根据 上述 定 义，当 m=2 ， n =2时， 如 图 5 ， 线段 B 与线段 0 的距离是 ， 当m =5 ， n =2时， 如图 6 ， 线段 B 与线段 O A 的 距离( u p 线段 A B 的长) 为； Y C 。 一 l 0
13、 图 5 l B C _ 。 。 。 。 。一 ， ， D A 图 6 ( 2 ) 如图 7 ， 若点 B落在圆心为 ， 半径为 2的圆上， 线段 BC与线段 O A 的距离记为 d ， 求 d关于 m 的函数解析式； y I 0 图 7 ( 3 )当 fr n的值变化时， 动线段 与线 段 O 的距离始终为 2 ， 线段 B 的中点为 M； 求出点 M 随线段 B 运动所 围成的 封闭图形的周长： 点 D 的坐标为( 0 ， 2 ) ， m 0 ， n 0 ， 作 MH上 轴， 垂足为 H， 是否存在 m 的值，使以 、M 、H 为顶 点 的三 角形 与 ( 二 ) D 相 似 若存在， 求
14、出 m 的值， 若不存在， 请说明理由 2 3散发着数学文化的气息 随着新课程的实施， 数学学科 的“ 文化价 值” 越来越受到人们 的重视 纵观近十年 的台 州市数学 中考试题， 出现 了以数学文化为背 景 的新定义型试题， 如 2 0 0 6年新定义的 “ 老人 系数” ， “ 老人” 是一个模糊的概念， 用数学量化 的方法 揭示人 的年 龄和老 的程 度之 间 的关 系； 2 0 0 7年的新定义运算 (力 口 密和解密” ，为了确 保信息安全， 信息需要加密传输， 接收到信息 以后需要解密， 这一过程中数学扮演着重要的 角色： 2 0 0 8年新定义“ 滑动对称” ， 数学作用于 大
15、自然的现象， 并从中抽象概括而形成数学新 定义“ 滑动对称” ， 让学生了解数学是描述大 自 然最好 的语言， 如同伽利略所云“ 大 自然这本 书就是数学符号书写的” ： 2 0 0 9年的“ 完全对 称式” ， 对称本是描述两个几何图形的形状和 位置的关系， 从形到数学代数式 的结构描述， 让学生把握对称 的本意， “ 变化 中保持不变” ； 2 0 1 4年新规定运算， 以“ 迭代” 为背景， 让学生 寻找分式中分子和分母系数变化的规律， 感悟 变中之不变的数学之美 例 3 f 2 0 0 8 年台州中考第 1 0 题) 把一个图 形先沿着一条直线进行轴对称变换， 再沿着与 这条直线平行的方向平移， 我们把这样的图形 变换叫做滑动对称变换在 自然界和 日常生 活中， 大量地存在这种 图形变换( 如图 8 ) 结 合轴对称变换和平移变换的有关性质、 你认为 在滑动对称变换过程中， 两个对应三角形f 如 图 9 ) 的对应 点所具有 的性质是 ( )
