张禾瑞高等代数课件第一章

《张禾瑞高等代数课件第一章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《张禾瑞高等代数课件第一章（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第一章 基本概 念1.1 集合 1.2 映射 1.3 数学归纳法 1.4 整数的一些整除性质 1.5 数环和数域课外学习1: 山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村-评析数学进程中的三次危机在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术 更为重要。更为重要。 康托尔（康托尔（Cantor,Cantor,集合论的奠基人，集合论的奠基人，1845184519181918）算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库 。 -高斯（高斯（Gauss,1777-1855Gauss,1777-1855）数可以说成是统治整

2、个量的世界，而算术的四则可以数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以 被认为是作为数学家的完全的装备。被认为是作为数学家的完全的装备。 -麦斯韦麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)(James Clark Maxwell 1831-1879) 1.1 集合内容分布 1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质 教学目的 掌握集合概念、运算、证明集合相等的一般方法重点、难点 集合概念、证明集合相等1.1.1 1.1.1 集合的描述性定义集合的描述性定义表示一定事物的集体，我们把它们称为

3、集合或集，如 “一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西叫 这个集合的元素. 我们常用大写拉丁字母A，B，C，表示集合，用小 写拉丁字母a，b，c，表示元素. 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 ；或 者说A包含a，记作Aa 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 ；或者说A不包含a，记作例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4A，而 . 一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫 做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的 全体学生的集合；一本书里面的所有汉字的集合等 等这些都是有限集合. 如果一个集合是由无限多个元 素组成的，就叫做无限集合. 如，全体自然数的集合 ；

4、全体实数的集合；小于的全体有理数的集合等等 都是无限集合. 不含任何元素的集合叫空集. 表示为：1.1.2 集合的表示方法枚举法: 例如,我们把一个含有n个元素的集合的有限 集合 表示成： . 前五个正 整数的集合就可以记作 . 枚举仅用来表示有限集合.拟枚举: 自然数的集合可以记作 , 拟枚举 可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元 素所组成的，那么就用记号来表示. 例如表示一切大于-1且小于1的实数 的所组成的集合. 常用的数集： 全体整数的集合，表示为Z 全体有理数的集合，表示为Q 全体实数的集合，表示为R 全体复数的集合，表

5、示为C1.1.3 集合的包含和相 等 设A，B是两个集合，如果A的每一元素都是B的元素，那 么就说是的子集，记作 （读作属于），或 记作 （读作包含）. 根据这个定义，是的 的子集必要且只要对于每一个元素x，如果 ，就有 . 例如，一切整数的集合是一切有理数的集合的子集，而 后者又是一切实数的集合的子集. A是B的子集，记作：如果A不是B的子集，就记作： 或 . 因此，A 不是B的子集，必要且只要A中至少有一个元素不属于B ，即：例如，一节可以用被有整除的整数所成的集合，不是一 切偶数所成的集合的子集，因为3属于前者但不属于后 者. 集合1，2，3不是2，3，4，5的子集. 根据定义，一个集合

6、A总是它自己的子集，即：如果集合A与B的由完全相同之处的元素组成部分的，就 说A与B相等，记作：A=B. 我们有例如，设A=1，2，B是二次方程 的根 的集合，则A=B. 1.1.4 集合的运算及其性质并运算 设A，B是两个集合. 由A的一切元素和B的一切 元素所成的集合叫做A与B的并集（简称并），记作 . 如图1所示. AB例如，A=1，2，3，B =1，2，3，4，则 又例如，A是一切有理数的集合，B是一切无理数的集 合，则 是一切实数的集合. 显然， 或根据定义，我们有交运算 由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A 与B的交集(简称交)，记作： ，如图2所示.显然， 例如，A=1，2，

7、3，4，B=2，3，4，5，则我们有两个集合A与B不一定有公共元素，我们就说它们的交 集是空集. 例如，设A是一切有理数的集合，B是一切无理数的集 合，那么 就是空集. 又如方程 的实数根 的集合为空集. 空集是任意集合的子集. 运算性质:交换律 :; 结合律 :; 分配律 :我们选取一个来证明.例1 证明证明 设 ，那么 且 ，于是且至少属于B与C 中的之一. 若 ，那么因为 ，所以， ；同样，若 ，则 . 不 论哪一种情形都有 . 所以反之，若 ，那么 或者 . 但 ， ，所以不论哪一种情形都有 ，所以这就证明了上述等式. 两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去， 设 是给定的集合

8、. 由 的一切元素所成的集合叫做 的并；由 的 一切公共元素所成的集合叫做的 交. 的并和交分别记为：和 . 我们有差运算： 设A，B是两个集合，令 也就是说， 是由一切属于A但不属于B 的元素所组 成的，称为A与B 的差. 注意：并没有要求B是A的子集. 例如，积运算： 设设A，B是两个集合，令称为A与B的笛卡儿积（简称为积）. 是一切元素对（a, b ）所成的集合，其中第一个 位置的元素a取自A，第二个位置的元素b取自B. 12 映射一、 内容分布1.2.1 映射的概念及例1.2.2 映射的相等及像1.2.3 映射的合成1.2.4 单射、满射、双射 二、 教学目的 掌握映射的概念, 映射的

9、合成，满射、单射、可逆映射 的判断。 三、 重点、难点 映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。1.2.1 映射的概念 及例 定义1 设A，B 是两个非空的集合，A到B 的一个映射 指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中的 每一个元素 x，有集合B中一个唯一确定的元素 y 与它对 应. 用字母f，g，表示映射. 用记号 表示f 是A到 B的一个映射. 如果通过映射f，与A中元素x对应的B中元素是y，那么就写作 这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 . 例1 令Z是一切整数的集合. 对于每一整数n，令 与它对应. 那 f 是Z到Z的一个映射， 例2 令R是一切实数的集合，B是一切非负实

10、数的集合对于每一 ，令 与它对应； 那么 f 是R到B的一个映射. ，例3 设 这是A到B的一个映射. 例4 设A是一切非负被减数的集合，B是一切实数的集 合. 对于每一 ，令 与它对应. f 不是A 到B的映射， 因为当 时， 不能由x唯一确定. 例5 令A=B等于一切正整数的集合. 不是A到B的一个映射，因为 . 例6 设A是任意 一个集合，对于每一 ，令与它对应： 这自然是A到A的一个映射，这个映射称为集合A的恒 等映射. 注意: A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集合 对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定的元素与它对 应. 一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的象. A中不

11、相同的元素的象可能相同. 1.2.2 映射的相等及像设 是一个映射. 对于 ，x的象 . 一切 这样的象作成B的一个子集，用 表示：， 叫做A在f之下的象，或者叫做映射f的象. 例7令，. 那么 . 设 ， 都是A到B的映射，如果对于每一 ，都有 ，那么就说映射f与g是相等的. 记作1.2.3 映射的合成设 是A到B 的一个映射， 是B 到C 的 一个映射. 那么对于每一个 ，因而是C中的一 个元素. 因此，对于每一 ，就有C 中唯一的确定的 元素 与它对应，这样就得到A到C 的一个映射， 这映射是由 和 所决定的，称为 f 与g 的合成（乘积），记作 . 于是有 对于一切 ,f 与g 的合成

12、可以用下面的图示意：fgABC例8 设那么 例9 设 A=1 ，2，3 那么 设给映射 ， ， ，有. 但是，一般情况下 ， 设A是非空集合 ， 称为设A上的 恒等映射。设A，B是两个非空集合，用 和 表示A和B的恒等 映射. 设 是A到B的一个映射. 显然有：， .1.2.4 单射、满射、双射定义2 设f 是A到B的一个映射，如果，那么说称f 是A到B上的一个映射，这里也称f 是一个满映射，简称 满射. 是满射必要且只要对于B中的每一元素y，都 有A中元素x 使得 . 关于映射，只要求对于A中的每一个元素x，有B中的一 个唯一确定的元素y与它对应，但是A中不同的元素可以 有相同的象. 定义3 设 是一个映射，如果对于A中任意两 个元素 和 ，只要 ，就有 ，那么就 称f是A到B的一个单映射，简称单射. 如果既是满射，又是单射，即如果f 满足下面两个条件 ， 对于一切，那么就称f 是A 到B 的一个双射. 一个有限集集合的A到自身的双射叫做A的一个置换. 定理1.2.1 令