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2、977. 中译本: G. 伯克霍夫, S. 麦克莱恩, 近世代数概论(上册), 王连祥、徐广善译, 人 民教育出版社, 1979. 5. 杨宗磐, 数学分析入门, 北京, 科学出版社, 1958. 6. 华东师范大学数学系, 数学分析(第二版), 北京, 高等教育出版社, 1990. 7. 庄亚栋, 方洪锦, 姚林, 基础数学试题选解, 南京, 江苏科学技术出版社, 1986 8. Dieudonne, J., Foundations of Morden Analysis, New York, Academic, 1969. 中译本: J. 狄厄多尼, 现代分析基础, 苏维宜译, 科学出版社,
3、 1982. 9. 方企勤, 数学分析, 第一册, 北京, 高等教育出版社, 1986. 10. 沈燮昌, 数学分析, 第二册, 北京, 高等教育出版社, 1986. 11. 廖可人, 李正元, 数学分析, 第三册, 北京, 高等教育出版社, 1986. 12. 陈传璋, 金福临, 朱学炎, 欧阳光中 数学分析(第二版), 北京, 高等教育出版社, 1983. 13. . .菲赫金哥尔茨, 微积分学教程, 第二卷二、 三分册, 北京大学高等数学教研室译, 北京, 高等教育出版社, 1954. 14. 强文久, 李元章, 黄雯荣, 数学分析的基本概念与方法, 北京, 高等教育出版社, 1989.
4、 15. 汪林, 数学分析中的问题与反例, 昆明, 云南科技出版社, 1990. 16. 裴礼文, 数学分析中的典型问题与方法, 北京, 高等教育出版社, 1993. 17. 周家云, 刘一鸣, 解际太, 数学分析的方法, 济南, 山东教育出版社, 1991. 18. B.A.萨多夫尼奇, A.C. 波德科尔津, 大学奥林匹克数学竞赛试题解答集, 王英新, 李 世华译, 长沙, 湖南科学技术出版社, 1981. 19. D.S.密特利诺维奇, 解析不等式, 张小萍等译, 北京, 科学出版社, 1987. 20. J. 巴斯, 数学习题, 徐信之译, 上海, 上海科学技术出版社, 1986. 2
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6、 Inequality, Dordrecht, D.Reidel, 1988. 142 27. Burkill, J.C., and Burkill,H., A Second Course in Mathematical Analysis, London, Cambridge, 1970. 28. Gelbaum, B., Problems in Analysis, New York, Springer-Verlag, 1982. 29. Klambauer, G., Problems and Propositions in Analysis, New York, Marcel Dekker,
7、 1979. 30. Lang, S., Undergraduate Analysis, New York, Springer-Verlag, 1983. 31. Pö lya, G. and Szegö , G., Problems and Theorems in Analysis, Vol.1, Berlin, Springer-Verlag, 1972. 32. Smith, K. T., Primer of Modern Analysis, New York, Springer-Verlag, 1983. 33. Stromberg, K.R., An Introd
8、uction to Classical Analysis, Belmont, Wadsworth, 1981. 34. Van Rooij, A. C. M., and Schikhof, W. H. A Second Course on Real Functions, London, Cambridge, 1982. 35. Lewin, J. W., Amer. Math. Monthly, 93(1986), 395397. 143 习题答案与提示习题答案与提示 习题一习题一 1. (5), (7)不正确. 2. (1), (3), (4), (10), (11), (13), (14)
9、不正确(1)当 c0 时正确; 对(10), 参见例 37 及其注. 3. (2), (3)不正确, 如n, sinn. 4. (1), (2)正确. (3) | x |; (5) x 1sin x 1. 6. r 0 NN n >N : | an a | m: s 1 =N kka1( a ) pk / (p1+pn) N + m 时 |n kkkap1/ (p1+pn) a | N 时| bn b | 2, 0 2/ c时 an 0. 极 限 为 b /2a. (9) | a n +1 c| = nn abcacb | )(2, 则 xn > 2,若有极限, 只能是 2. 但
10、|xn 2 | =71(x n1)2 + 2 x n1 +4) | x n 1 2 | >712| x n 1 2 | > | x n 1 2 | >> | x1 2 | > 0, 故极限不存在. 类似地证明 x1 (1 an) an, an, 有上界 1. 设 ana, 则 4a(1a) 1, 故 4a(1a)=1, a = ½ . 22. (1) 题式右端 = lim cos22cos32cos12n=lim (2n sin12n) 1sin2=2. (2) f (n) = n (n + 2) = n) 3)(1(1nn= n) 1(1nf=n)2(
11、1) 1(1nfn= , 取 n =1 即本题. 23. 可设 0 a , 且有子列kna aaa1>1, 题式=. a=时 lim an =, 这时 nn aa1lim1. 29. 设sn = a1+an . 若 lim(sn / n) > 0, 则存在 N, c > 0使 n > N 时 sn > cn . 由Abel变换, a1b1 + anbn > d + c (b N +1 + bn), 其中 d 是与 n 无关的常数. 145 30. 设xn增, 则 > 0 K k K : xknxN 时 0 x xn x knx 0f 严格增 f (kn
12、x) > f (a + 0)f (knx)f (a) f (a) f (a + 0) > f (a), 不可能. 习题二习题二 1. 13 n a1 an bn b1, 故 = supan| nN R , = infan| nN R , 且 an bn , 因此an , bn . 设 lim(bn an) = 0 且 xan , bn , 则| x | bn an, 令 n得 x = , 故 唯一. 15 设 A 是 R 的有界无穷子集, A a, b(a, bR). 设 B = x | (, x)A 是有穷集, 则 B 非空(aB), 有上界 b, 故有最小上界 且 R , 则
13、就是 A 的聚点. 事实上, 若 不是 A 的聚点, 则有正数使( , + )中至多除 外没有 A 的点, 而 B, 从而 + B, 与 是最小上界矛盾. 35 设 A 是 R 的有界无穷子集, A a1, b1(a1, b1R). 对分a1, b1, 则必有一个子区间含有 A 的无穷个元素, 把它记为a2, b2 . 继续对分, 可得闭区间套an , bn , 它的各个区间都含有 A 的无穷个元素, 且 bn an = (b1 a1) / 2 n 10. 由 3, 存在 使=an , bn . 由于 的任何邻域必包含 n 充分大时的an , bn , 因此包含 A 的无穷个元素, 即 是 A
14、 的聚点. 32 设an增, 有上界 b1. 对a1, b1用对分法, 可得闭区间套an , bn , 它的各个区间都含有an的无穷项, 且 bn an0, bn是上界. 由 3, 存在 使=an , bn . > 0, n 充分大时an , bn ( , + ), 因而有 N 使 aN( , )注意 an , 故 n > N 时 0 K k K : a N, 由 nk知nk > n, 从而 a 0 kN n, m使 n > m k, an am 0 . 对 k = 1, n1, m1使 n1 > m1, 1 na>1ma+ 0 . 对 k = n1, n2
15、, m2使 n2 > m2 n1, 2na2ma+ 0 1 na+ 0 >1ma+ 2 0 . 如此继续, kN 有kna>1ma+ k 0 . 但由 Archimedes 性质, M > 0 kN 使 k > (M 1ma) / 0 , 因而kna>M , 与an有上界矛盾. 因此an是 Cauchy 列, 收敛. 21 与例 1 的 71相同, 得到an, bn . 因为bn单调, 故存在 b 使 bnb. 由 bn是 E 的上界得 b是 E的上界. 又, > 0 NN使 N > (b1 a1) / 因为 2成立时 Archimedes 性质成立, 见例 1的
