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1、1 1工程中的结构有些可简化为单自由度体系分析单层工业厂房 水塔有些不能作为单自由度体系分析，需简化为多自由度体系进 行分析多层房屋、高层建筑 不等高厂房排架和块式基础10-5 多自由度体系的自由振动2 2按建立运动方程的方法，多自由度体系自由振动的求解方法有两种：刚度法和柔度法。刚度法通过建立力的平衡方程求解，柔度法通过建立位移协调方程求解，二者各有其适用范围。多自由度体系自由振动的问题，主要是确定体系的全部自振频率及其相应的主振型。3 31、刚度法：（建立力的平衡方程） 两个自由度的体系y1(t)r2r1y2(t)y1(t)y2(t)r2r1r1=k11y1+k12y2r2=k21y1+k
2、22y2质点动平衡方程:即: 设:. .结构位移形状保持不变的振 动形式称为主振型或振型.4 4y1(t)y2(t)r2r1乘 y1(t)k11k21乘 y2(t)k12k2211fr1=k11y1+k12y2r2=k21y1+k22y2kij表示使j点产生单位位移(其它点位移=0)时,在i点 需施加的力(称为刚度系数).5 5振型计算公式频率计算公式频率方程.振型方程与2相应的第二振型： 因为D=0，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的值，只能求出其比值求与1相应的第一振型：6 62 的两个根均为实根；矩阵k为正定矩阵的充分必要条件是：它的行列式的顺序主 子式全部大于零。故矩阵k为正定矩
3、阵。k11k22-k12k2102 的两个根均为正根；7 7与2相应的第二振型：f求与1相应的第一振型：多自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是：初始位移和 初始速度应当与此主振型相对应。几点注意：12必具有相反的符号。多自由度体系自振频率的个数= 其自由度数，自振 频率由特征方程求出。每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由度 体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式。自振频率和主振型是体系本身的固有特性。一般解：在这种特定的初始条件下出现的 振动，在数学上称为微分方程组的特解，其线性组合即一般解。8 809 9例m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为k1、k
4、2 k21k111解：求刚度系数：k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22k121k22=k2 , k12=k21)当m1=m2=m,k1=k2=kmk mk61803. 22532 2=+=wmk mk38197. 02532 1=-=w()()kmkmk02222=-ww代入频率方程：+10101)当m1=m2=m,k11=2k，k12=mk mk61803. 22532 2=+=wmk mk38197. 02532 1=-=w求振型：12k12 111mkw-2111 YY=1第一主振型：Y21=1.618Y11=1第一主振型12k12 211mkw-2212 YY=2第二主振型：
5、Y22=0.618Y12=1第二主振型11112)当m1=nm2 , k1=nk2 k11=（1+n）k2，k12=k2求频率：求振型：如n=90时当上部质量和刚度很小时，顶部位移很大。 （鞭梢效应）第一振型：第二振型：特征方程：+1212例 试求图示体系的频率和振型1k21k116i/l6i/l12i/l12i/l6i/l6i/l1k22k126i/l6i/l3i/l3i/lEI1= m1EI1=m2ii2i2ill解(1)求刚度系数1313(2)求频率解得1414将=1代入振型方程,得第一振型将=2代入振型方程,得第二振型(3)求振型3.36513.36510.19810.19811515
6、例 求图所示两层刚架的自振频率和振型。已知横梁为刚 性，各立柱的抗弯刚度，立柱的质量忽略不计，横梁的质量 m1= m2=5000 kg，每层的高度5 m。解：两个自由度体系，设m1的位移为y1，m2的位移为y216161.28091第二主振型10.7808第一主振型17172、柔度法y1(t)y2(t)建立振动微分方程：（建立位移协调方程）m1、m2的位移y1(t)、 y2(t)应等于体系在当时惯性力作用下所产生的静力位移。. . .柔度法建立的振动 微分方程1121P1=11222P2=11818频率方程振型方程：其中：=1/2 Y1 ，Y2不能全为零。求得频率：频率方程和自振频率 ：设各质
7、点按相同频率和初相角作简谐振动Y1 ，Y2是质点位移幅值 . .振动微分方程体系频率的数目总 等于其自由度数目1919主振型(normal mode shape)频率方程振型方程：其中：=1/2 Y1 ，Y2不能全为零。不能有振型方程求出Y1 ，Y2的解，只能求出它们的比值。第一主振型 第二 主振型 频率的数目总等 于其自由度数目主振型是体系由此主振型惯性力幅值所引起的静力位移。Y11Y21Y12Y222020例 求简支梁的自振频率和主振型。l/3l/3l/3 解：1）求柔度系数P=1P=1求得频率：求得主振型：mm2121例 求简支梁的自振频率和主振型。l/3l/3l/3mml/3另解：如果
8、结构本身和质 量分布都是对称的，则主 振型不是对称就是反对称。 故可取半边结构计算 ：1对称情况：l/91 反对称情况：2222例 求图a所示体系的自振频率及主振型。梁EI =常数。 解 ：将原结构化成正对称和反对称半结构分别计算（图b、c） 。2323， 当=1时，振型为正对称，则当=2时，振型为反对称，则 2424例：求图示体系对称振动情况下的频率。mmmEIEIEI3m3m3m3mm/2m1210.5110.8750.25113325252 111Yij为正时 表示质量mi的 运动方向与计 算柔度系数时 置于其上的单 位力方向相同 ，为负时，表 示与单位力方 向相反。26260.5a例
9、试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。12 aaamm解：（1）计算频率1a1（2）振型10.277第一振型13.61第二振型2727例 试求结构的自振频率和振型.1l/41l/2图图m1=mm2=2ml/2l/2l/2EI=常数解(1)求柔度系数(2)求频率2828(3)求振型第一振型第二振型10.3051 1.6392929例 求图示体系的频率、振型解:令3030例 求图示体系的频率、振型解:令3131例 求图示体系的频率、振型解:令3232y1yiynri动平衡方程：riy1yiynri 应满足刚度方程 kij是结构的刚度系数，使点j产生单位位移（其它点位移为零） 时在点i所需施加
10、的力。.多自由度体系3333.或： 设解为： y=Ysin(t+) 得振幅方程： ( K2 M )Y=0 得频率方程： K2 M0可求出个频率与相应的主振型向量由 ( K2 M )Y（）=0 不过只能确定主振型的形状，而不能唯一地确定它的振幅。标准化主振型：令Y1i=1，或最大元素=1等。.3434例：质量集中在楼层上， 层间侧移刚度如图。求自振频率k11=4k/3解：1）求刚度系数：m2mmkk21=-k/3k31=0k12=-k/3k22=8k/15k32=-k/51k13=0k23=-k/5k33=k/5刚度矩阵K和质量矩阵M：113535展开得：234222252250 解得：1=1.
11、293， 2=6.680， 3=13.0272）求频率：代入频率方程： K2 M03）求主振型：振型方程：（K2 M）Y0的后两式：（令Y3i=1） （a）363610.5690.16311.2270.92413.3422.76Yij为正时表示质 量mi的运动方向与单 位位移方向相同，为 负时，表示与单位位 移方向相反。3737利用刚度法的方程间接导出柔度法方程： 由刚度法振幅方程： ( K2 M )Y=0 前乘K1=后得： ( I 2 M )Y=0令=1/2 ( M I )Y=0得频率方程： M I =0其展开式:是关于的n次代 数方程,先求出i 再求出频率i将i代入 ( M i I )Y(
12、i)=0 可求出n个主振型.可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。当 计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁）；当计算体系的 刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。3838例： 质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图。=1/k11=解：1）求柔度系数：m2mmk柔度矩阵和质量矩阵M：P=12131P=132=422=4P=113=23=433=912=3939展开得:解之: 1=11.601，2=2.246，3=1.151三个频率为：3）求主振型： （令Y3i=1）将1代入振型方程：（ M 1I）Y0的前两式：2）求频率：解得：同理可得第二、 第三振型4040例 试求结
13、构的自振频率和振型.EI=常数 mml/4l/4l/4l/4m13l/16 1l/4图图13l/16图解(1)求柔度系数4141(2)求频率4242(3)求振型令每个振型的第一个元素为1，得11.4141第三振型(正对称 )第二振型(反对称 )11第一振型(正对称 )11.41414343几点说明：1)按振型作自由振动时，各质点的速度的比值也为常数， 且与位移比值相同。2)发生按振型的自由振动是有条件的.44444)N自由度体系有N个频率和N个振型频率方程解频率方程得 ,从小到大排列依次称作第一频率,第二频率.第一频率称作基本频率,其它为高阶频率.将频率代入振型方程得N个振型N个振型是线性无关的.3)振型与频率是体系本身固有的属性,与外界因素无关.4545多自由度体系自由振动的计算步骤：建立体系自身的质量矩阵M： 根据频率方程计算结构的各阶自振频率i 计算体系自身的刚度矩阵K或柔度矩阵 ： 计算结构的主振型向量Yi
