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1、廊坊师专学报自然科学版年期三维矩阵的逆矩阵和三维矩阵的秩邢化明摘共本文讨论了三维矩 阵的逆矩阵和 三维矩阵的秩的一些运算性 质,并给出一二维矩阵在商业活动中应用的一个例子。关锐词逆矩阵秩等价文 给出 了三维矩阵的定义、研究 了三维矩阵的一些运算及运算性质,本文将迸一 步研究三维矩阵的运算及运算规律,并给出三维矩阵的逆和三维矩阵秩的定义。三维矩 阵的逆为了定义三维矩阵的逆矩 阵,先要定义三维单位矩阵。我 们把三维矩 阵,为阶单 位矩 阵称为又阶三维单位 矩 、一一详一一一阵,记为它、,或简记为它。显然,对于任意三维矩 阵入二。,恒有入,它。入它,入。一入定义对于三维矩阵入,如果存在火火三维矩阵色
2、,使得入色一仑入一仑则称入为可逆三维矩阵,色称为入的逆三维矩 阵,简称逆矩阵。由定义可知米三维矩 阵入一,一,可逆当且仅当入的每一 面一,均 为阶可逆矩 阵。可逆三维矩 阵具有以下性质可逆三维矩阵入的逆矩阵唯一事实上,如果,都是入的逆三维矩阵,则有入色二色,入二它,入色氏入一它,于是,一一以下我们把可逆三维矩阵入唯一的逆矩阵记作入一。可逆三维矩 阵入的逆矩阵入一,也可逆,且入一勺一,一入。两个又可逆三维矩阵入,仑之积入色也可逆,且入白一,一仑,入事实上,因为入仑 色一入一,二色一,入一,入色它因此入色犷,一仑,入若入为可逆三维矩阵,则入的转置,也可逆,且,一,一入一 ,。事实上,由入入一 入一
3、入它,各边取其转置,得入一,二,入一,一,、故得,一,入一,年第期廊坊师专学报 自然科学版若入为可逆 三维矩阵,则以也可逆,并且以一一一入一,其中为非零的数。证明设入一,一,则有入至一,矛,尸因此以一入一,一、,“一牙一一厂一,一矛一一一,二一一它一一一详,一一同理有一入一以一它故 得众一一一,入一,。三维矩阵的秩和三维矩阵的等价定义设 三维矩阵入,一,则三维矩 阵入各面的秩秩,秩,秩,按顺序所构成的元 向量称为三维矩阵入的秩,记作秩入,即秩入秩,秩,秩。由定义可知,零三维矩阵的秩为零向量。即秩一,汉三维单位矩阵它的秩是分量均为的向量,即秩它一,关干矩 阵的乘积的秩,我 们有以下定理定理设入,
4、色为两 个三维矩 阵,当其中一个是可逆矩 阵时其积 的秩等于 另一个 因子的秩。证明设入,为。只可逆三维矩阵启一一为任意火火三维矩 阵。则秩一秩,秩入色秩,秩,秩秩,秩,秩一秩由同理可知,当入为任意又又三维矩阵、色为可逆三维矩 阵时,秩入白秩入。这样,定理得证。定义如果对三维矩阵入二一一,的某一面,镇成实行一次初等变换,则称对三维矩阵入实行了一次初等变换。定义对 于两个三维矩 阵入、色如果用一 系列初等变换能把入变成色,就 称入和色等价,记作入色显然,三维矩 阵的等 价具有反身性,对称性和传递性。由三维矩阵等价的定义易知下述定理和定理成立。定理。冰又三维矩阵入可逆 的充要条件是入等价于单位矩
5、阵它。定理火三维矩 阵入可逆 的充要条件是入的秩的各个分量均 为。定理若入、色均为丫又三维矩 阵,且入色一它,则三维矩 阵入、色均 为可逆三维矩廊坊师专学报自然科学版年期阵,且入、色互为逆矩阵。证明设三维矩阵入一,一,假设入不是可逆矩 阵,由定理知,秩入中至少有一个分量小于,不妨设秩。镇镇,则有秩簇由定义知,秩入 色秩,秩,秩,秩,秩,秩,秩尹秩沱这与入色一它矛盾入可逆。同理可证色也可逆,且色二它色入一,入尼一入一,入白二入一,它入一,定理得证三维矩阵的一个实例作为本文结束,我们给出三维矩阵在商务活动中的一个例子。例某工厂上一年共生产种产品,这种产品同时在个连锁商店中销售,那么在上一年第镇簇个
6、月中,这种产品在各连锁店的销售情况就可以用义矩阵来表示】、,、”八一”“”,“”,“仁,一,其中表示第种产 品在第个连锁店第个月的销售数量。令入,一,则火三维矩阵入就可以反映出该工厂的产品于上 一年各月份在各连锁店销售量的总体情况。下面 我们再来研究一下工厂生产的这种产品的销售金额情况。我们设工厂生产的这种产品在各连锁店里销售的价格的是相同的,并且同一种产 品在同一月份里价格不发生改变。这样,我们就可以用一个矩 阵一,、来表示工厂生产的这种不 同产品在第个 月的价格,其中簇,簇簇表 示第种产品第个月在各连锁店销售的价格。令色、一,则洲三维矩阵色就可以反映出工 厂生产的这种产品在上一年各个月的价格情况。令二玩,则、就可以表示出各连锁店第个月销售的这种产品的金额数目。、二,、,、,”一一,”一万、,乙、,艺、,、。、二广苦卫一、一、则只。三维矩阵己一,就可以反映出工厂生产 的这种产 品于上一年各月份在各连锁店销售金额的总体情况。参考文献邢化明,三维矩阵的定义及运算,廊坊师专学报,年第期。
