《§8.1状态变量与状态方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《§8.1状态变量与状态方程（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 1 1 页页第八章 系统的状态变量分析前面几章的分析方法称为外部法，它强调用系统 的输入、输出之间的关系来描述系统的特性。 其特点： （1）适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系 统，将增加复杂性； （2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的 内部情况一无所知，也无法控制。 第第 2 2 页页本章将介绍的内部法状态变量法，它是用n个 状态变量的一阶微分或差分方程组（状态方程）来描 述系统。 优点有： （1）提供系统的内部特性以便研究； （2）便于分析多输入多输出系统； （3）一阶方程组便于计算机数值求解，并容易推广用 于时变系统和非线性系统。 内部法状态变量法第第 3 3 页页
2、8.1 状态变量与状态方程一、状态与状态变量的概念从一个电路系统实例引入以u(t)和iC(t)为输出 若还想了解内部三个 变量uC(t), iL1(t), iL2(t) 的变化情况。 这时可列出方程a第第 4 4 页页这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)构成的一 阶微分方程组。若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，则根据tt0时 的给定激励uS1(t)和uS2(t)就可唯一地确定在tt0时的解 uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。第第 5 5 页页系统的输出容易地由三 个内部变量和激励求出：一组代数方程 状态与状态变量的定义系统在某一时刻t0的状态是
3、指表示该系统所必需最 少的一组数值，已知这组数值和tt0时系统的激励，就 能完全确定tt0时系统的全部工作情况。 状态变量是描述状态随时间t 变化的一组变量， 它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态。第第 6 6 页页对n阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用 x1(t)、x2(t)、xn(t)表示。 说明： （1）系统中任何响应均可表示成状态变量及输入 的线性组合； （2）状态变量应线性独立；（3）状态变量的选择并不是唯一的 。在初始时刻的值称为初始状态。第第 7 7 页页二、状态方程和输出方程在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： （1）第一步是根据系统的
4、初始状态求出状态变量； （2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的 系统输出。 状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。 而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。 通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。 第第 8 8 页页动态方程的一般形式n阶多输入多输出LTI 连续系统，如图 。 其状态方程和输出方程为 第第 9 9 页页矩阵形式状态方程输出方程其中A为nn方阵，称为系统矩阵， B为np矩阵，称为控制矩阵， C为qn矩阵，称为输出矩阵，D
5、为qp矩阵 对离散系统，类似有状态方程输出方程状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。第第 1010 页页8.2 连续系统状态方程的建立一、由电路图直接建立状态方程 首先选择状态变量 。 通常选电容电压和电 感电流为状态变量。 必须保证所选状态变 量为独立的电容电压 和独立的电感电流。 四种非独立的电路结构第第 1111 页页状态方程的建立：根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。由于为使方程中含有状态变量uC的一阶导数 ， 可对接有该电容的独立结点列写KCL电流方程； 为使方程中含有状态变量iL的一阶导数 ， 可对含有该电感的独立回路列写KVL电压方程。 对列出的方程，只保留状
6、态变量和输入激励，设法消 去其他中间的变量，经整理即可给出标准的状态方程。 对于输出方程，通常可用观察法由电路直接列出。第第 1212 页页由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤：（1）选电路中所有独立的电容电压和电感电流作为 状态变量； （2）对接有所选电容的独立结点列出KCL电流方程 ，对含有所选电感的独立回路列写KVL电压方程； （3）若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状 态变量，则利用适当的KCL、KVL方程将它们消去， 然后整理给出标准的状态方程形式； （4）用观察法由电路或前面已推导出的一些关系直 接列写输出方程，并整理成标准形式。 第第 1313 页页例：电路如图，以电阻R
7、1上的电压uR1和电阻R2上的电 流iR2为输出，列写电路的状态方程和输出方程。解： 选状态变量 x1(t) = iL(t), x2(t) = uC(t) L 1(t)+R1x1(t)+x2(t) = uS1(t) aC 2(t) + iR2(t) = x1(t) 消去 iR2(t),列右网孔KVL方程： R2iR2(t) + uS2(t) x2(t) = 0 代入整理得输出方程： uR1(t) = R1x1(t) 第第 1414 页页二、由输入输出方程建立状态方程这里需要解决的问题是： 已知系统的外部描述（输入输出方程、系统函数、 模拟框图、信号流图等）；如何写出其状态方程及输 出方程。 具
8、体方法： （1）由系统的输入输出方程或系统函数，首先画 出其信号流图或框图； （2）选一阶子系统(积分器)的输出作为状态变量； （3）根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方 程； （4）在系统的输出端列输出方程。第第 1515 页页例1：某系统的微分方程为y(t) + 3 y (t) + 2y(t) = 2 f (t) + 8 f (t) 试求该系统的状态方程和输出方程。解：由微分方程不难写出其系统函数 方法一：画出直接形式的信号流图 设状态变量x1(t)、 x2(t)x1x2由后一个积分器，有由前一个积分器，有系统输出端，有 y(t) =8 x1+2 x2第第 1616 页页方法二：画出串
9、联形式的信号流图设状态变量x1(t)、 x2(t)x2x1设中间变量 y1(t)y1系统输出端，有 y(t) =2 x2第第 1717 页页方法三：画出并联形式的信号流图f(t)y(t)设状态变量x1(t)、 x2(t)x1x2系统输出端，有 y(t) = 6x1 -4 x2可见H(s)相同的系统 ，状态变量的选择并 不唯一。第第 1818 页页例2： 某系统框图如图，状态变量如图标示，试 列出其状态方程和输出方程。解： 对三个一阶系统其中， y2= f x3输出方程 y1(t) = x2 y2(t) = x3 + f第第 1919 页页三、由状态方程列输入输出方程例3： 已知某系统的动态 方
10、程如下，列出描述y(t) 与f(t)之间的微分方程。解法一:由输出方程得y(t)=x1(t) y (t)=x1(t) = 4 x1(t) + x2(t)+ f(t)y(t)= 4 x1(t) + x2(t)+ f (t) =44 x1(t) + x2(t)+ f (t) + 3 x1(t) + f (t) + f (t) =13 x1(t) 4x2(t) 3 f (t) + f (t) y+a y + by=(13 4a +b) x1+(4+a) x2+ f (t) +(a3) f (t) a=4，b=3y+4 y + 3y= f (t) + f (t) 第第 2020 页页解法二:对方程取拉
11、氏变换，零状态。第第 2121 页页y+4 y + 3y= f (t) + f (t) 第第 2222 页页8.3 离散系统状态方程的建立与连续系统类似，具体方法为：（1）由系统的输入输出方程或系统函数，首先画出其 信号流图或框图；（2）选一阶子系统(迟延器）的输出作为状态变量；（3）根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方程；（4）在系统的输出端列输出方程。第第 2323 页页例1：某离散系统的差分方程为y(k) + 2y(k 1) y(k 2) = f(k 1) f(k 2) 列出其动态方程。解：不难写出系统函数 画信号流图：设状态变量x1 (k) ，x2 (k) ：x1x2x1(k+1)
12、=x2(k) ：x2(k+1)x2(k+1)= x1(k) 2x2(k) + f(k) ：输出方程y (k)=x1(k) + x2(k)第第 2424 页页例2：某离散系统有两个输入f1(k)、f2(k)和两个输出y1(k)、 y2(k)，其信号流图如图所示。列写该系统的状态方程 和输出方程。 解： p1(k) = 2x1(k) +2x3(k) p2(k) =3p1(k)-x3(k) +f2(k) = 6x1(k) +5x3(k) + f2(k) 第第 2525 页页第第 2626 页页二、由状态方程进行系统模拟例：某离散系统的状态方程和输出方程为 画出该系统的信号流图 第第 2727 页页结
13、果第第 2828 页页8.4 连续系统状态方程的求解状态方程和输出方程的一般形式为 用拉普拉斯变换法求解状态方程 sX(s) x(0) = A X(s) + BF(s) ( sI A )X(s) = x(0) +BF(s) X(s)=(sI A )-1x(0) +(sI A )1BF(s)=(s)x(0) +(s)BF(s) 式中(s) = ( sI A ) 1常称为预解矩阵 。Y(s) = CX(s) +DF(s) Yzi(s) = C(s)x(0) Yzs(s) = C(s)B +D F(s) H(s) = C(s)B +D (s)的极点就是H(s)的极点，即| sIA|=0的根 。=C(
14、s)x(0) + C(s)B +D F(s)第第 2929 页页例1： 描述LTI因果系统的状态方程和输出方程为解：X(s) = (s)x(0) +BF(s) 起始状态x1(0)=3，x2(0)=2，输入f(t) =(t)。求状态变 量和输出，并判断该系统是否稳定。第第 3030 页页y(t) = 1 1x(t) + f(t) = =(t)+ 6e-2t(t) 由于H(s)的极点均在左半平面，故该因果系统稳定。H(s)的极点就是|sIA|=0的根。 |sIA|=(s+2)(s+3)第第 3131 页页8.5 离散系统状态方程的求解状态方程和输出方程的一般形式 用z 变换法求解状态方程 zX(z
15、) zx(0) = AX(z)+BF(z) Y(z) = CX(z)+DF(z) X(z) = (zI A) 1zx(0) +(zI A) 1BF(z) 设(z)= (zI A)1 z X(z) = (z)x(0) +z 1(z)BF(z) Y(z) = C(z)x(0)+Cz 1(z)B+DF(z) yzi(k) =Z 1C(z) x(0) ，yzs(k) =Z 1( Cz 1(z)B+D )F(z) H(z)=Cz 1(z)B+D (z)的极点就是H(z)的极点.即| zI A|=0的根。第第 3232 页页例1: 描述LTI因果系统的状态方程和输出方程为初始状态为 ，激励f(k)=(k)。求状态方程的解解: (z)=zI A 1z= X(z)=(z)x(0)+z1BF(z)= 和系统的输出。第第 3333 页页
