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1、第三章 时域分析法3.1 引言3.2 线性系统的时域性能指标3.3 一阶系统时域分析3.4 二阶系统时域分析3.5 线性系统的稳定性3.6 稳态误差及其计算11实际物理系统的性质可用系统数学模型描述，一旦得系统的数学模 型，就可对系统进行分析求解，从而定系统的性能指标：稳定性、 动态性能、稳态性能。特点： 时域分析法是一种直接的方法，它可以给出系统精确的时间响 应曲线和性能指标，具有明确物理意义（时间、空间）。但是，人工求 解困难（用计算机求解简单），不利于分析系统结构和参数变化对系统 影响。方法：分析和设计控制系统，必须对各种控制系统性能进行评判，通过 对这些系统施加各种典型（试验、测试）信
2、号，比较它们的响应，能否 满足工程要求。3.1 引言系统的微分方程输入信号r(t)输出信号c(t)21典型信号选取条件 (1) 信号容易产生； (2) 尽可能接近实际工作时的外加信号； (3) 反映系统最不利的工作条件。原因：n 许多设计准则就建立在这些典型信号的基础上;n 系统对典型信号的响应特性与实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系;n 采用典型信号来评价系统性能是合理的。31工程上典型测试信号（输入函数）信号：ooooo单位脉冲单位脉冲单位阶跃速度加速度正弦41动态过程：系统在典型信号作用下，输出量从初始状态到接近最终状 态的响应过程。实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常
3、表 现为阻尼振荡过程。3.2 线性系统的时域性能指标系统的微分方程r(t)1c(t)控制系统的时间响应，可以分为动态（瞬态）过程和稳态过程 。和电路概念一致。假设特征根两两互异：稳态过程：系统在典型信号作用下，时间t趋于无穷时系统系统的输出 状态。研究系统的稳态特性，以确定输出信号对输入信号跟踪（复现 ）能力。51延迟时间 ：响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。时域性能指标上升时间 响应曲线从稳 态值的10%上 升到90%，所 需的时间。峰值时间 ：响应曲线达到超调量的第一个峰值所需要的时间。 振荡型系统定义：0%上升到100%61稳态误差 指响应的最终偏离量。调节时间 ： 响应曲线达到
4、并永 远 保持在一个允许误 差 范围内，所需的最 短 时间。用稳态值的 百分数（5%或2%） 超调量 指响应的最大偏离量 h(tp)与终值之差 的百分比，即 或评价系统的响应速度；同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。评价系统的阻尼程度;指标 作用713.3 一阶系统的时域分析 3.3.1 一阶系统的数学模型用一阶微分方程描述的控制系 统称为一阶系统。图（a）所示 的RC电路，其微分方程为其中C(t)为电路输出电压，r(t)为 电路输入电压，T=RC为时间常数。当初始条件为零时，其传递函数为 这种系统是一个惯性环节。 *分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。 813.3.2 单位阶
5、跃响应输入单位阶跃函数：，则系统的输出为： 图3-4指数响应曲线1063. 2%86. 5%95%98. 2%99. 3%T2T3T4T5T0. 632tc(t)响应曲线在时的斜率为动态性能指标：*响应曲线只与时间常数T有关：91稳态误差为0:当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)1，输出量的拉氏 变换与系统的传递函数相同. 这时的输出称为脉冲响应记作g(t)，3.3.3 一阶系统的单位脉冲响应1013.3.4 一阶系统的单位斜坡响应当 所以跟踪单位斜坡信号的稳态误差为一阶系统能跟踪斜坡输入信号。由于系统存在惯性，对应的输出信号在数值上要滞后于输 入信号一个常量T，这就是稳态误差产生的原因。
6、 减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少 系统跟踪斜坡信号的稳态误差。 结论：1113.3.5 一阶系统的单位加速度响应上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此， 一阶系统不能实现对加速度输入信号的跟踪。121表3-1 一阶系统对典型输入信号的响应输入信号时域输入信号频域输出响应传递函数11(t)t*输出响应具有导数关系。1313.4 二阶系统的时域分析二阶系统：二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。 式中，K为开环增益；Tm为机电常数。3.4.1 二阶系统的数学模型设一伺服系统，其框图如图所示，由图可得该系统的传递函数: 141为了使研究的结果具有普遍意义，可表示为
7、如下标准形式自然频率（或无阻尼振荡频率）阻尼比（相对阻尼系数）二阶系统的闭环特征方程为:特征方程的两个根（闭环极点）151二阶系统极点分布0，闭环极点为共扼复根，位于左半S平面，欠阻尼，为两个相等的根，临界阻尼，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡，零阻尼，两个不相等的负实根，过阻尼n*特征根分布情况：1613.4.2 二阶系统的单位阶跃响 应 1、过阻尼情况二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根，传递函数：式中输入为阶跃函数时，则系统的输出量为1712. 临界阻尼临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应当时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程； 1813、欠阻尼
8、情况此时，二阶系统的闭环特征根为式 中衰减系数阻尼振荡频率输入为阶跃函数时，则系统的输出量为对上式进行拉式反变换，得191稳态分量为1，表明系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差， 瞬态分量为阻尼正弦振荡项：收敛速度（包络线）：（图3.11）一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为故称为无阻尼振荡频率。 由系统本身的结构参数确定 4、零阻尼情况振荡频率：201图3-12表示了二阶系统在不同值瞬态响应曲线211二阶欠阻尼系统阶跃响应的性能指标在控制工程上，除了那些 不允许产生振荡响应的系统外 ，通常都希望控制系统具有适 度的阻尼、快速的响应速度和 较短的调节时间。 二阶系统动态性
9、能指标，可用精确表示。最佳阻尼系数二阶系统一般取：221求得 一定，即一定， ,响应速度越快对上式求导，并令其为零，得231根据峰值时间 定义：为输出响应达到的第一个峰值所对应的时间，所以应取n1，于是241超调量在峰值时间发 生，故为最大输出（3）251时，时时，时，261，满足 一定， 调节时间越短（4）（调节时间）P69 图3.15271一定，即一定， ,响应速度越快一定，调节时间越短281例题3.1 如图所示，系统输入r(t)=1,试计算 K=200时，系统的响 应从c(t)和性能指标：291*讨论：K=1500, 200, 13.5 三种情况301例题3.2 设单位反馈二阶系统的阶跃
10、响应曲线如图所示，试确定此系统的 开环传递函数。由图tp=0.4秒 ，25解:311开环传递函数的表达形式闭环传递函数的表达形式注意：本题的系统为单位反馈系统，是阶跃输入,而不是单位阶跃输入。3211.试求系统的闭环传递函数； 在零初始条件下求系统单位阶跃响应的超调量 和调节时间例：已知系统的单位阶跃响应为解:(1)331(2)3413.4.3 二阶系统的性能改善（1）串联补偿 P、PI、PIDPD :比例微分二阶系统351（2）反馈补偿二阶系统361例3.3khs 1+khs kv=10, kh=0.2 求单位阶跃响应表达式， 、tp、tr、ts(a)(b)解：371因时有ca(t)=1，此时的t即为tr当 时， 可求得 tp = 0.887秒，23.6 1.016e1.5t 0.02,得 ts 2.62秒381j-1.5j2.78-5标准的二阶系统（无零点），可以用公式进行计算。由得391
