滚动轴承受力分析及其进展

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1、! 综述#滚动轴承受力分析及其进展洛阳轴承研究所( 河南洛阳 471039) 罗继伟1 引言在滚动轴承设计与应用分析中, 工程师们常常要回答诸如轴承的承载能力、 预期寿命、 变形与 刚度、 振动与噪声、 润滑状态、 摩擦与温升等问题,而这些问题又都与轴承的受力状态密切相关, 因此轴承受力分析就构成了滚动轴承工程学的基 础。滚动轴承力学分析可以分为两个方面: ( 1) 滚动体与滚道之间的接触问题; ( 2) 轴承整体的变形与平衡问题。 对于前者, 早在 100 多年前, Hertz 就对点接触与线接触这两种典型的弹性接触问题给出了理论解, 它们分别适用于球轴承与滚子轴承分析; 对 于后者, 需要

2、运用Hert对轴承中的每个滚动体依次进行计算, 然后进行综合, 建立起一组非线性方程组, 因此只是在本世纪 60 年代以后, 随着计算机的普及, 这种分析计算才真正成为现实。2 滚动体- 滚道弹性接触问题弹性接触问题的基本方程为kAcR( x, y) dxdy = Q( 1)1 PEckAcR( xc, yc) dxcdyc ( x - xc)2+ ( y - yc)2= D- Z( x, y)( 2)x, y, xc, yc I Ac式中 Q作用载荷 D接触体之间的弹性趋近量Z接触体表面之间的初始间距Ac接触区域 R接触应力( 1) 式和( 2) 式分别是平衡方程和变形协调方程。( 2) 式

3、左边的 被积函数是弹性 力学中的Boussinesq解2, 它表示集中力 R作用在半空间表 面( xc, yc) 点时, 在( x , y) 点产生的位移( 图1) 。罗继伟 男, 1949 年生。洛阳轴承研究所所长、工学博士、 研究员级高级工程师、 中国轴协副理事长兼 技术委员会主任。1993 年经国务院批准享受政府特殊津贴, 1995 年获国家级 有突出贡献的中青年专家称号。主要从事板壳屈曲问题的有限元分析、 滚动轴承弹性接触问题的有限元分析与数值计算、 滚动轴承优化设计与计算 机辅助设计等研究。获中国科学院、 机械工业部和河南省科技进步奖多项, 在国内外发表学术论文 20 多篇。这就隐含

4、了一个基本假设, 即接触区域的最大尺寸 a 应远小于接触体的曲率半径R, 否则 Bouss -inesq 解就不适用。图 1 Boussinesq解示意图Hertz为求解( 1) 式和( 2) 式进一步做了两点 假设: ( 1) Z( x, y) 可用二次函数表示; ( 2) R( x, y)呈半椭球函数分布, 即 Z( x, y) = Ax2+ By2( 3)R( x, y) = Rmax1-x a2 -y b2 ( 4)式中 A 、 B是与表面几何参数有关的系数将( 3) 式和( 4) 式代入( 1) 式和( 2) 式, 经过一 系列积分变换, 可以完成解析积分并求出点接触问题的Hert解

5、。用相似的方法, 可完成对线 接触问题的求解。#28#5轴承62001. l . 93 非Hertz 接触问题在滚子轴承中, 滚子的有效长度一般都不等于滚道的宽度, 而当滚子的素线不再是直线以及 滚子相对于滚道产生倾斜时, 问题就变得更加复杂。这些问题已经超出了 Hertz 理论的范畴, 必须寻求新的解法。 线接触问题的特征是, 沿滚子素线的表面和接触应力可能不再是椭圆函数, 此时 Hertz 假定( 3) 式和( 4) 式不再成立。如果放弃这两个假定,( 1) 式和( 2) 式就具有普遍意义, 但此时方程在一 般情况下将找不到理论解, 而只能借助计算机进行数值求解。文献 3 介绍了一种最简单

6、的数值方法, 它将 接触区域划分为 m n 个矩形单元, 假设每个单元上的接触压力 pj为均匀分布, 则( 1) 式和( 2) 式将被离散成 m n+ 1 阶线性方程组。类似的方法已被许多研究者以不同的形式成功地应用于分 析非Hertz 问题 4、 5、 6。基于对线接触问题的理解, 上述方法还可以进一步简化。沿滚子素线( y 轴) 将接触区划分为n 个条形单元, 其边长分别为 2aj和2bj( 图 2) , 在单元 j 内假定接触压力沿y 方向为均匀分布, 沿图 2 条形单元x 方向为Hertz分布:pj( x , y) = p0j1-x aj2 ( 5)式中 p0j位于中心处的最大接触压力

7、根据Hertz 理论, aj是p0j的函数, 这说明, 只 要确定了 p0j沿y 轴的分布, 接触压力分布和接触区域形状也就随之而定。这种方法可以称为一维 简化法( LSM) 7。将( 5) 式代入( 1) 式和( 2) 式, 得P2nj= 1ajbjp0j= Q( 6)1 PEc2nj= 1p0jDij= D - Zi( yi) i= 1, 2, ,n( 7)式中Dij=Qaj- ajQyc+ bjyc - bj1-xc aj2xc+ ( yi- yj- yc)2dxcdyc=Qaj- aj1-xc aj2# ln| yi- yj| + bj+( yi- yj- bj)2+ xc2| yi-

8、 yj| - bj+( yi- yj- bj)2+ xc2dxc该式进一步计算只能借助数值积分来完成。 滚子素线的修型以及滚子的倾角可以在函数 Zi中加以描述。( 6) 式和( 7) 式是 n+ 1 阶方程组, 其阶数远低于文献 3 等介绍的方法, 因此求解速度大大提高。图3 给出了直素线滚子接触的计算结果与压 痕实验结果, 可以看出二者符合得相当好。图 3 直素线滚子计算结果4 轴承整体受力分析在外载荷作用下, 确定轴承的位移和滚动体载荷分布可按图4 中的步骤进行。 图4 表明的是一个迭代过程, 当滚动体合力与外载荷不平衡时, 需要对位移进行修正, 然后重复( 2) ( 6) 式过程, 直至

9、平衡为止。而变形几何 分析、 Hertz( 或非 Hertz) 接触理论、 平衡方程求解是整个过程中的三个主要环节。以下分别加以简 要说明。5 刚性套圈假设刚性套圈假设是滚动轴承分析的经典假设, 它假定在载荷作用下套圈不产生变形, 轴承的整体位移就是内、 外套圈之间的相对刚体移动, 而它 仅仅与滚动体和滚道的局部接触变形相关, 这就#29#5轴承62001. l . 9图 4 轴承分析流程图大大简化了轴承的变形分析。5. 1 球轴承分析为了说明问题, 假定轴承只承受径向载荷 Fr与轴向载荷Fa, 则内圈相对于外圈将产生位移 Dr图 5 球轴承变形和Da( 图 5) 。在夹角为 Ui的钢球处,

10、其径向变形为DrU i= DrcosUi- 0. 5pd( 1- cosUi)式中 pd轴承径向游隙在初始状态下, 内、 外圈沟曲率中心分别为Oi和Oe, 其距离为 A0, 初始接触角为 A0。变形后Oi移至Oci, OciOe的距离为A , 则A =( A0cosA0+ DrU i)2+ ( A0sinA0+ Da)2钢球与内、 外套圈的接触变形、 接触载荷和实际接触角分别为Di= A - A0Qi= KD3 P 2 iAi= arctgA0sinA0+ Da A0cosA0+ DrU i式中 K由 Hertz 理论确定的刚度系数设钢球数量为 z, 则轴承的整体平衡方程为Fr-Ezi= 1Q

11、icosAicosUi= 0Fa-Ezi= 1QisinAi= 0( 8)求解方程组( 8) , 可以得到 Dr、 Da和钢球载荷分布。在更加复杂受力状态下的轴承分析可以用相似的方法来处理。 5. 2 滚子轴承分析为了确定在力矩作用下接触应力沿滚子素线的分布情况, Harris 8曾采用了/ 切片法 0。该方法设想滚子由许多薄片组成, 每一片都适用 Hertz 线接触公式, 但片与片之间互不关联。由于忽略了这种相关性, 该方法不能正确反映滚子端部的应力集中。第三节中提到的 LSM 法克服了这一 困难, 将它与轴承变形分析相结合可以有效地解决这一问题。文献 9 对径向载荷和力矩同时作用下的圆柱滚

12、子轴承进行了分析, 图 6 给出了计算结果。图 6 圆柱滚子轴承计算结果5. 3 高速轴承分析当 dmn( 节圆直径 转速) 值超过 1. 0 106(mm#rP min) 时, 滚动体的离心力和 陀螺力矩已不 容忽视 , 这将增加外圈的接触应力, 使内、 外滚道的接触角发生变化并引起滚动体自旋。Jones 10最早在平衡方程中引入了高速效应, 建立起拟静力学模型。该方法后来被 Harris 等人加以完 善 11、 12, 成功地应用于许多重要场合。70 年代后期, Gupta13考虑了滚动体复杂的运动状态和受力状态, 从运动微分方程的角度提出了动力学模型, 使得模拟与时间相关的轴承动态性能成

13、为可能。近年来, 国内在高速轴承分析计算方面也取得了长足进展 14、 15 。#30#5轴承62001. l . 96 弹性支承中的滚动轴承在实际应用中, 完全刚性的套圈是不存在的,只不过在普通场合忽略套圈的弹性并不至于引起太大的误差。实验研究表明, 套圈及其支承结构的弹性将极大地改变滚动体的载荷分布, 进而对图 7 接触边界条件轴承的性能产生重大影响, 因此在一些重要场 合 必须 加以 考虑。这种分析只能用有限元法( FEM) 来完成。用有限元法求解接触问题的关键是接触边界条件的引入。以无摩擦接触为例,对于有可能进入接触区的点对( 图 7) , 存在以下两种边界条件,且二者必居其一。( 1)

14、 接触状态Qia+ Qib= 0uia= uib+ diQia= - Qib 0( 9)( 2) 分离状态Qia= Qib= 0uia uib+ di( 10)式中 Qi、 ui分别是沿外法线方向的节点力和位移Qi 0表示压力求解时先确定可能接触边界, 在该边界内分别假定处于接触状态和分离状态的点对, 然后将对应边界条件( 9) 和( 10) 式中的等式条件引入接触体 Da和Db的有限元方程, 求解该方程可获得uia、 uib和 Qia、 Qib的解。如果这些解同时能够满足( 9) 和( 10) 式中的不等式条件, 则求解结束; 否则应修正假定的接触 ) 分离状态, 重新进行求解,直至所有的等

15、式和不等式条件都得到满足为止。当节点很多时, 上述迭代过程是繁杂而费时的, 采用子结构法 16可将迭代过程限制在与可能接触边界相关的节点内, 从而大大提高求解速度。此外, 罚有限元法 17、 边界元法 18也在工程中得到应用。最近几年, 商业有限元软件在求解接触问题上已有了很大发展, 如 ANSYS、 MARC 等软件在国内外都得到广泛应用。参考文献1 Hertz H. On the contact of elastic solids, J. Reine und An -gew. Math. , Vol. 92, 1881.2 钱伟长, 叶开源. 弹性力学. 科学出版社, 1980.3 Ham

16、rock B J. & Dowson D. Ball Bearing Lubrication.John Wiley & Sons, 1981.4 Nayak, L. & Johnson, K. L. Pressure between elastic bodieshaving a slender area contact and arbitrary profiles. Inter. J.Mech. Sci. 1979, 21(237)5 Oh, K. P. & Trackman, E. G. Numerical procedure for de -signing profiled rolling elements. J. Lub. Tech. , 1976, 986 Hartnett, M. J. A general solution for elastic body contactproblems. ASME AMD. 1980, 397 罗继伟. 滚动轴