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1、题 目：带佩亚诺型余项的泰勒公式的应用毕毕业业生生毕毕业业论论文文 （设设 计计）摘要带佩亚诺型余项的泰勒公式，尽管佩亚诺型余项只是给出了其误差的定性描 述，无法进行定量的计算，但它在求极限、估计无穷小量的阶、判定敛散性、 计算函数的极值和拐点及求高阶导数中起着重要作用。本文将介绍其应用技巧。关键词：泰勒公式；佩亚诺型余项；应用技巧AbstractThe Taylor formula with Peano remainder term only give the qualitative description other than quantitative description about
2、the Peano remainder term.However,it is very important in the calculation of the limits and limit value of functions, the estimation of the order about the infinitesimal of higher order,the judgement of the convergence of functions ,and so on.In this paper,we will mainly introduce its application ski
3、lls.Key words : Taylor formula；Peano remainder term；Skills 目录前言 11 绪论 1.1 问题的提出2 1.2 预备知识2 1.3 内容简介2 2 带佩亚诺型余项的泰勒公式的应用 2.1 求极限4 2.2 估计无穷小量的阶6 2.3 判定敛散性7 2.4 判别函数的极值与拐点9 2.5 求高阶导数 10 2.6 小结 11 3 结论12致谢13 参考文献14前言泰勒公式是高等数学中的一个重要公式，英国数学家泰勒在 1715 年出版的 正的和反的增量方法一书中，陈述了他早在 1712 年就已经获得的著名定理 . 22. 2 . 1. 1)
4、( zvx zvxxvzx其中 为独立变量的增量，为流数。泰勒假定随时间均匀变化，故为vz. ,zxz. z常数，从而上述公式相当于现代形式的“泰勒公式”： )(! 2)()()(2 xfhxf hxfhxf泰勒公式开创了有限差分理论，使任何单变量函数展为幂级数成为可能， 是微积分进一步发展的有力武器。 泰勒公式成功地将一些函数表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功 能，使泰勒公式成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。我们在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数在点可导，则有)(xf0x)()()()(0000xxxxxfxfxf即在点附近，用一次多项式逼近函数时，其误差0x)()(000x
5、xxfxf)(xf为的高阶无穷小量。然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往)(0xx 往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为，其中)(0nxx 为多项式的次数。n对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由多项式逼近原理)(xf0xn构造出一个次多项式n)()(!)()(! 2)()()()(000)( 2 00 000nnn xxxxnxfxxxfxxxfxfxf 称为带佩亚诺型余项的泰勒公式，其中称为佩亚诺型余项。)(0nxx 带佩亚诺型余项的泰勒公式，只需函数在点存在直至阶导数即可。)(xf0xn它是各种形式泰勒公式中所需条件较少，形式较简单，且处理某些定性问题时 极为简
6、便的泰勒公式。尽管佩亚诺型余项只是给出了其误差的定性描述，无法进行定量的计算， 但它在求极限、估计无穷小量的阶、判定敛散性、计算函数的极值和拐点及求 高阶导数中起着重要作用。本文将介绍其应用技巧。1 绪论1.1 问题的提出泰勒公式是高等数学中的一个重要公式，利用泰勒公式不仅能将一些初等 函数展成幂级数，进行函数值的近似计算，而且泰勒公式还是求解高等数学问 题的一个重要工具。带佩亚诺型余项的泰勒公式，是各种形式泰勒公式中所需条件较少，形式 较简单，且处理某些定性问题时极为简便的泰勒公式。尽管佩亚诺型余项只是给出了其误差的定性描述，无法进行定量的计算， 但它在求极限、估计无穷小量的阶、判定敛散性、
7、计算函数的极值和拐点及求 高阶导数中起着重要作用。1.2 预备知识定义：形如2 00 000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf 称为带佩亚诺型余项的泰勒公式，其)()(!)(000)( nnn xxxxnxf中称为佩亚诺型余项。)(0nxx 定理 1 若在点及邻域内具有阶连续导数，且)(xf0x)(0xun；0)(, 0)()()(0)( 0)1( 00 xfxfxfxfnn（1）若为奇数，则不是极值点；n0x（2）若为偶数，则当时，为极大值；当时，n0)(0)(xfn)(0xf0)(0)(xfn为极小值。)(0xf1.3 内容简介泰勒公式在分析和研究数学问题方面，有着重要应用
8、。而带佩亚诺型余项 的泰勒公式是各种形式泰勒公式中所需条件较少，形式较简单，且处理某些定 性问题时极为简便的泰勒公式。本文归纳了其五方面的应用，通过对典型例题 的分析小结，揭示了“为什么这样做”和“应该怎样做”的问题。在求极限方面，用带佩亚诺型余项的泰勒公式求不定式极限：先求出不定式的分子、分母的各个部分在点的带佩亚诺型余项的泰勒公式，根据需要取0x适当的项（即取到分子及分母分别经过化简后系数不为零的项） ，分别整理出分 子、分母的泰勒公式，再求出分式的泰勒公式，最后求得不定式的极限。用带佩亚诺型余项的泰勒公式求极限，其适用的题型有：1）当时，型，当型，型；0x00x)(2）表达式容易泰勒展开
9、的；3）用洛必达法则较繁的。在判别函数的极值与拐点方面，借用已有知识（函数极值的第三充分条件 及运用二阶导数的符号判定函数的拐点） ，证明得出借助高阶导数判别函数拐点 的充分条件定理：若在点及邻域内具有阶连续导数，且)(xf0x)(0xun。0)(, 0)()()(0)( 0)1( 00 xfxfxfxfnn（1）若为偶数，则点一定不是曲线的拐点；n)(,(00xfx（2）若为奇数，则点为曲线的拐点。n)(,(00xfx2 带佩亚诺型余项的泰勒公式的应用带佩亚诺型余项的泰勒公式，只需函数在点存在直至阶导数即可。)(xf0xn它是各种形式泰勒公式中所需条件较少，形式较简单，且处理某些定性问题时
10、极为简便的泰勒公式。2.1 求极限带佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个有力工具，运用得当会使 求函数的极限变得十分简单。例如，对于给定的不定式极限，若分子、分母都 可导但需多次使用洛必达法则，且求导过程较繁时，可使用带佩亚诺型余项的泰勒公式法：先求出不定式的分子、分母的各个部分在点的带佩亚诺型余项0x的泰勒公式，根据需要取适当的项分别整理出分子、分母的泰勒公式，再求出 分式的泰勒公式，最后求得不定式的极限。例 1 求极限4202 coslimxexxx分析：此题为型不定式，且分母为，若直接用洛必达法则求极限，需连用004x次，计算过程会非常复杂；可考虑利用带佩亚诺型余项的泰勒公式将分子展
11、4 开，由无穷小的性质，分子的展开式只要保留到的四阶无穷小即可。x解：因为 )(! 21122xxxex将换成有 x22x)2()2(! 21)2(122 222 22xxxex 又)(! 4! 21cos442 xxxx所以 )(121)41()()81 241(cos4444422 xxxxxexx 故 121)(121limcoslim44404202 xxxxexxxx从例 1 可以看出，利用带佩亚诺型余项的泰勒展开式代替某些函数，可以 在求极限以前化简表达式，然后通过比较无穷小的阶求极限。需要强调的是， 展开式的项数的确定要考虑到分子与分母无穷小的阶数，化简表达式时要注意 无穷小的计
12、算。例 2 设在点处二阶可导，且；求)(xf0x0)(3sinlim230 xxf xxx，并计算极限。)0(),0(),0(fff )(3(lim220xxf xx 分析：此题为未定型的极限问题，但从求与题设在点)0(),0(),0(fff )(xf处二阶可导之间的关系可知，用带佩亚诺型余项的泰勒公式求解比用洛必0x 达法则求解更为简便。解：由题设条件有)()29 2)0()0()0(3(1lim)(! 2)0()0()0()()3(! 313 lim)(3sinlim0332 302223330230xxfxfxfxxxxfxffxxxxxxf xxxxx 因此必须有9)0(, 0)0(,
13、 3)0( fff于是29)(29331lim)()0(! 21)0()0(31lim)(31lim)(3(lim22 2022 2020220 xxxxxfxffxxfxxxf xxxxx用带佩亚诺型余项的泰勒公式方法计算极限的实质是一种利用等价无穷小 的替代来计算极限的方法。其适用的题型有：1）当时，型，当型，型；0x00x)(2）表达式容易泰勒展开的；3）用洛必达法则较繁的。运用带佩亚诺型余项的泰勒公式方法计算极限时需要注意一个问题：将函 数展开至多少项才可以呢？其实从例题不难看出，只需展开至分子及分母分别 经过化简后系数不为零的阶数即可。2.2 估计无穷小量的阶估计无穷小量的阶估计无穷
14、小量的阶，对于简单的函数可用估猜法，但对于复杂的函数用估 猜法就行不通，此时若利用带佩亚诺型余项的泰勒公式就能较为容易的解决此 困难。例 3 已知：当时，与为同阶无穷小，则为何0xxxxxcos.sinsin43nxn值？分析：根据题意对带佩亚诺型余项的泰勒公式的项数进行适当的取舍，即可求 出值。n解：xxxxxxx2sin21sin43cos.sinsin43)(101)(152 32 303243)2(! 5)2( ! 3)2(2(21)(! 5! 3(43555535 3553 553xxxxxxxxxxxxxxxxxxx即 101cos.sinsin43lim50xxxxxx故与为同阶无穷小，。xxxxcos.sinsin435x5n例 4 当时，函数是多少阶无穷小量，0x) 1cos2()sin1ln(32xxy其中是参数。分析：此题是讨论复合函数的无穷小量的阶，且函数中含有参数，若用估猜 法是行不通的，可考虑用带佩亚
