(单自由度系统的振动)

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1、振动系统的组成单自由度系统的振动方程二阶常系数线性微分方程的解第一讲：第一讲：引言第一章：单自由度系统的振动振动系统惯性元件阻尼元件弹性元件振动系统的组成弹簧的刚度系数的物理意义：使弹簧产生单位位移所需施加的力对弹性元件需要说明几点：通常假定弹簧是无质量的；假定振动系统的振动幅值不会超过弹性元件的线性范围；振动系统的组成单自由度系统的振动方程（单自由度系统振动方程的一般形式）结论：只要以系统静平衡位置为坐标原点，那么在列写系统运动方程 时就可以不考虑系统重力的作用。返回返回定理2（通解的结构定理）： 若 是齐次方程(1)的两个线性无关的特解，则 是齐次方程(1)的通解.为任意常数 。问题1：线

2、性无关是什么意思？问题2：特解是什么意思？不含任意常数的确定的微分方程的解只有时，才能使成立。二阶常系数线性微分方程的解（复习）2.非齐次微分方程通解的结构二阶常系数非齐次微分方程：为任意常数。 (2)定理3：若 是非齐次方程(2)的特解, 为对应齐次方程的通解, 则是非齐次方程(2)的通解。非齐次通解齐次通解非齐次特解=二阶常系数线性微分方程的解（复习）3.齐次微分方程通解的求法特征根法特征根 通解形式不相等实根相等实根共轭复根二阶常系数线性微分方程的解（复习）4.非齐次微分方程特解的求法待定系数法二阶常系数非齐次微分方程：其中：或为待定常数。特解的形式： 当 不是特征方程的根时， 当 是特

3、征方程的单根时，二阶常系数线性微分方程的解（复习）上次课内容回顾求下列非齐次方程的特解（上次课习题 ）特解:特征方程:是特征方程的单根特解:同一个实际系统，我们的研究目的不一样，得到的力学模 型也可能不一样。简化机床弹性衬垫基础混凝 土问题1如果估算机床的整体振动或以设计隔振器为目的就可以将此系统简 化为单自由度系统；以研究机床工作时机床本身的弹性变形引起的振动，则不能将其简化 为单自由度系统，一般要用有限单元法分析。问题2问题2问题3刚性杆无质量弹性杆等效第二讲：第二讲：无阻尼单自由度系统的自由振动 正确理解固有频率的概念正确理解固有频率的概念 会求单自由度无阻尼系统的固有频率会求单自由度无

4、阻尼系统的固有频率第一章：单自由度系统的振动对固有频率的正确理解： 固有频率仅取决于系统的刚度和质量； 固有频率与初始条件和外力等外界因素无关，是系统的固有特性；它与系统是否振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系固有频率无阻尼单自由度系统的自由振动初相位 振幅： 初相位： 自由振动：振幅 简谐运动的三要素 频率 初始条件是外界能量注入的一种方式，有初始位移即注入了弹性势能，有初始速度即注入了动能。无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止；在简谐运动三要素中，哪些参数是系统的固有参数？哪些参数是依赖于外部条件的参数？无阻尼单自由度系统的自由振动(2)

5、 简谐振动的位移、速度和加速度之间的关系求导求导u 速度与位移的“相位差是90度”意味着什么？u 加速度与位移的“相位差是180度”意味着什么？位移最大时，速度为零；速度最大时，位移为零加速度与位移的最大值出现在同一时刻，但符号相反无阻尼单自由度系统的自由振动(3) 振动方向相同的简谐振动的合成 两个频率相同的简谐振动的合成（相加）结果仍为简谐振动，且频率不变； l 若两个分振动同相，则两分振动相互加强l 若两个分振动反相，则两分振动相互减弱o无阻尼单自由度系统的自由振动 两个同频率不同的简谐振动的合成，如果两频率比为有理数（可通约）时 ，合成振动为周期振动；为无理数时，为非周期振动；合成信号

6、：无阻尼单自由度系统的自由振动 可通约的两个近频简谐振动合成后会产生周期性的拍振。无阻尼单自由度系统的自由振动拍：合振幅随时间做周期型变化，振动时而加强、时而减弱.一个拍ABC无阻尼单自由度系统的自由振动判断对错：判断对错：1. 一个振动系统当未受到外力的持续激励时，不会发生振动;2.单自由度线性无阻尼系统的自由振动频率由系统的参数确定，与 初始条件无关;3.线性谐振子的振动周期与其振幅有关，振幅越大，则周期越长;4.自由振动是初始激励引起的振动，因此，对于一个单自由度线性系统，初始条件不同，自由振动的振幅、相位、频率均不同； 5.单自由度无阻尼系统的自由振动频率为其固有频率。 无阻尼单自由度

7、系统的自由振动能量方法：动能：势能：简谐运动 ：无阻尼单自由度系统的自由振动等效质量和等效刚度法：无阻尼单自由度系统的自由振动静变形法：无阻尼单自由度系统的自由振动(a)无阻尼单自由度系统的自由振动(b)无阻尼单自由度系统的自由振动(c)为什么不考虑重力了？STOP无阻尼单自由度系统的自由振动第三讲：第三讲：有阻尼单自由度系统的自由振动第一章：单自由度系统的振动(1) 过阻尼情况 特征方程有一对互异实根，故通解为：有阻尼单自由度系统的自由振动图 质量块对初始位移的过阻尼响应结论：过阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动。 有阻尼单自由度系统的自由振动(2) 临界阻尼情况 特征方程有一对相等实根，故

8、通解：有阻尼单自由度系统的自由振动图 质量块对初始条件的临界阻尼响应结论：临界阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动。有阻尼单自由度系统的自由振动(3)欠阻尼情况 (阻尼振动频率)或：欠阻尼系统的自由振动响应有阻尼单自由度系统的自由振动 振幅按指数规律 衰减； 自由振动具有等时性，即相邻两个正 （负）峰值之间的时间间隔均为: 阻尼振动周期 自由振动为非周期振动；自由振动曲线(欠阻尼)3. 欠阻尼振动特性：有阻尼单自由度系统的自由振动 引入对数衰减率来描述振动衰减的快慢相邻的两次振动振幅之比的自然对数叫作对数衰减率。当系统阻尼比较小时，有：有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动图

9、阻尼比对自由振动的影响【思路】： 【例】: 有一阻尼单自由度系统，测得质量m=5kg，刚度系数k=500N/m。 试 验测得在6个阻尼自然周期内振幅由0.02m衰减到0.012m，试求系统的阻尼比 和阻尼器的阻尼系数。根据 得到系统的阻尼比对数衰减率根据 得到阻尼器的阻尼系数【关键】： 正确求出对数衰减率有阻尼单自由度系统的自由振动【解】： 有阻尼单自由度系统的自由振动第五讲：第五讲：简谐激励下无阻尼系统的受迫振动简谐激励下有阻尼系统的受迫振动 从数学的角度理解共振现象从数学的角度理解共振现象 会求单自由度有阻尼系统的受迫振动响应会求单自由度有阻尼系统的受迫振动响应 会根据幅频特性曲线计算系统

10、的阻尼比会根据幅频特性曲线计算系统的阻尼比 掌握单自由度有阻尼系统的受迫振动的特征掌握单自由度有阻尼系统的受迫振动的特征第一章：单自由度系统的振动简谐激励下无阻尼系统的受迫振动受迫振动:受迫振动方程： 系统在持续的外界控制的激励的作用下所发生的振动。激励受外界控制，与振动系统本身无关自激振动方程（颤振） ： 激励受系统控制，受振动系统的运动控制自激振动: 系统在自身控制的激励的作用下所发生的振动。受迫振动方程： 非齐次通解齐次通解非齐次特解=齐次方程通解： 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动理解共振现象的数学本质1.如果 非齐次方程通解： 由初始条件和外力引起的 自由振动部分 与外激励频率相同的受

11、迫振动部分 特解： 待定常数： 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动2.如果 特解： 特解的形式： 非齐次方程通解： 待定常数： 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动【思考】：实际系统在共振时，其振幅会是无限大么？ 1.实际系统都存在阻尼，阻尼能够使系统在共振时维持有限的振幅。 2.当振幅增大到一定程度后，支配系统运动的微分方程已经不再是线性微分方程了，而是非线性运动微分方程，所以此时根据线性运动方程得到的结果已经不能反映实际情况了。简谐激励下无阻尼系统的受迫振动0123012345z=0.707z=0.2z=0.01bdlz=0.1图 位移幅频特性 频率比对位移响应幅值的影响： 低频段： 简谐激励下有阻

12、尼系统的受迫振动 高频段： 解释：激振力的方向改变过快，振动物体由于惯性来不及发生相应的变 化，结果是近似地停着不动。简谐激励下有阻尼系统的受迫振动0123012345z=0.707z=0.2z=0.01bdlz=0.1图 位移幅频特性 图 位移幅频特性 位移共振： 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动0123012345z=0.707z=0.2z=0.01bdlz=0.1阻尼比对位移响应幅值的影响： 阻尼在共振区, 对减小振幅有显著作用；在远离共振区， 阻尼对减小振幅的作用不大简谐激励下有阻尼系统的受迫振动图 位移幅频特性 0123012345z=0.707z=0.2z=0.01bdlz=0.1图

13、 位移相频特性 0123-p-p/20z=0.2 z=0.1z=0.707 z=0.01ydl 低频段： 说明响应与激励之间几乎是同相的。 相位差随频率比的变化： 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动 高频段： 说明响应与激励之间是反相的。 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动图 位移相频特性 0123-p-p/20z=0.2 z=0.1z=0.707 z=0.01ydl 位移共振： 说明响应与激励之间相差90度。 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动图 位移相频特性 0123-p-p/20z=0.2 z=0.1z=0.707 z=0.01ydl3 测量单自由度系统阻尼比的方法(1).自由振动衰减法 量得相隔

14、周的两个振幅 ， 根据如下公式计算系统的阻尼比： 测得单自由度系统的自由振动曲线简谐激励下有阻尼系统的受迫振动(2) 半功率法半功率点半功率带宽半功率点阻尼比：思考：假设通过实验已经测得 曲线，有没有必要将其转化为 曲线? ?STOP简谐激励下有阻尼系统的受迫振动第六讲：第六讲：用复数解法求解稳态振动基础简谐激励下的受迫振动 理解用复数解法的好处理解用复数解法的好处振动的隔离第一章：单自由度系统的振动表示成复数形式按复数形式求解实数解当用复数的虚部表示周期扰力时, 运算过程中用复数形式, 得到复数形 式的解,然后对复数解取虚部, 就得到了实数解.用复数解法求解稳态振动表示成复数形式按复数形式求

15、解实数解当用复数的实部表示周期扰力时,得到的复数解应该取实部.用复数解法求解稳态振动【例】：旋转机械的总质量为M，转子质量为m，偏心距为e，转子角速度为 ，其他参数如图所示。求非旋转部分的稳态振动(用复数法求解)。运动方程：【解】 ：用复数解法求解稳态振动稳态振动：用复数解法求解稳态振动图 阻尼受迫振动系统 【课堂练习】：用复数法求解图示系统的稳态振动,并与教材20页(1.5.10) 式比较。稳态振动：返回返回用复数解法求解稳态振动得到绝对运动微分方程基础简谐激励下的受迫振动我们想用复数激振力的虚部表示方程右端的实数激振力，为此稳态响应：代入到上式，得到基础简谐激励下的受迫振动绝对运动传递率基础简谐激励下的受迫振动绝对运动传递率的频率特性： 低频段 质量块的绝对运动近似 等于基础的运动（动画） 共振区域附近： 近似最大说明基础运动经弹簧和阻尼器传递到质 量块后放大了（动画）基础简谐激励下的受迫振动 注意到： 高频段： 说明基础运动被弹簧和阻尼器隔 离了。返回返回基础简谐激励下的受迫振动一个疑问计算20个循环 内阻尼器所消耗 的能量时，需不 需要考虑弹簧的 静变形量？隔振: 在设备和基础之间加入弹性支撑来减小相互之间所传递的振动量。图 锻锤的弹性支撑振动的隔离第一类隔振（隔力）