实验五连续系统频分析

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1、36 实验五连续系统的频域分析及连续信号的采样与重构一、目的（1）掌握连续系统频率响应概念 （2）掌握利用 MATLAB 分析系统频率响应的方法 （3）掌握利用 MATLAB 实现连续信号采用与重构的方法 二、系统的频率响应 设 LTI 系统的冲激响应为)(th， 该系统的激励信号为)(tf， 则此系统的零状态)(ty响应为)(*)()(tfthty（5-1） 又设)(tf，)(th，)(ty的傅立叶变换分别为)( jF，)( jH，)( jY，根据时域卷积定理，与式（ 5-1）对应的频域关系为：)()()(jFjHjY（5-2） 一般地，连续系统的频率响应定义为系统的零状态响应)(ty的傅立

2、叶变换)( jY与 激励信号)(tf的傅立叶变换)( jF之比，即)()()( jFjYjH（5-3）通常，)( jH是的复函数，因此，又可将其写为：)()()(jejHjH（5-4）如果令)()()(yjejYjY，)()()(fjejFjF则应有：)()( )( jFjY jH（5-5）)()()(fy（5-6）称)( jH为系统的幅频特性，)(为系统的相频特性。需要注意的是，)( jH是系统的固有属性， 它与激励信号)(tf的具体形式无关。 求系统的)( jH，当然可以按照式（ 5-3）的定义求，但在实际工程中往往是给出具体的 系统图（如具体电路形式） ，通过电路分析的方法直接求出)(

3、jH。通常，)( jH可表示成两个有利多项式)( jB与)( jA的商，即nnnnmmmmajajajabjbjbjbjAjBjH )()()()()()()()()(11211121（5-7）二、利用 MATLAB 分析系统频响特性1、分析方法 MATLAB提供了专门用于连续系统频响)( jH分析的函数freqs()。该函数可以求出系统频响的数值解，并可绘出系统的幅频及相频响应曲线。函数freqs()有如下四种调 用格式： （1）h=freqs(b,a,w) 该调用格式中，b为对应于式（ 5-7）的向量,21mbbb，a为对应于式（ 5-7）的向量,21naaa，w为形如2:1wpw的冒号运

4、算定义的系统频率响应的频率范围，1w为起始频率，2w为终止频率，p为频率取样间隔。向量h则返回在向量w所定义的频率点上系统频响的样值。37 例如，运行如下命令 a=1 2 1; b=0 1; h=freqs(b,a,0:0.5:2*pi) %计算20频率范围内的频响样值 则运行结果为： h = Columns 1 through 6 1.0000 0.4800 - 0.6400i 0 - 0.5000i -0.1183 - 0.2840i -0.1200 - 0.1600i -0.0999 - 0.0951i Columns 7 through 12 -0.0800 - 0.0600i -0.

5、0641 - 0.0399i -0.0519 - 0.0277i -0.0426 - 0.0199i -0.0355 - 0.0148i -0.0300 - 0.0113i Column 13 -0.0256 - 0.0088i （2）h,w=freqs(b,a) 该调用格式将计算默认频率范围内200 个频率点的系统频率响应的样值，并赋值给 返回变量h，200 个频率点记录在w中。 （3）h,w=freqs(b,a,n) 该调用格式将计算默认频率范围内n个频率点的系统频率响应的样值，并赋值给返 回变量h，n个频率点记录在w中。 （4）freqs(b,a) 该调用格式并不返回系统频率响应样值，而

6、是以对数坐标的方式绘出系统的幅频响 应和相频响应。例如运行如下命令： a=1 0.4 1; b=1 0 0; freqs(b,a) 运行结果如图 5-1 所示。图 5-1 对数坐标的系统幅频及相频响应曲线38 下面通过具体例子说明函数freqs()求解系统频响的方法 例 5-1：理想低通滤波器在物理上是不可实现的，但传输特性近似于理想特性的电路却 能找到。图 5-2 是常见的用 RLC 元件构成的二阶低通滤波器 （一般说来， 阶数越高， 实 际滤波器的特性越能接近于理想特性）。设HL8.0，FC1.0，2R， 试 用 MATLAB的 freqs()函数求解该系统频率响 应并绘图。 解：根据原理

7、图，容易写出系统的频率响应 为：RLjLCjH211)(，将L，C，R的值代入)( jH的表达式，得)(2)( 14.0)(08.01)(jejH jjjH其中：4208.011)( jH208.014.0arctan)(实现求解该系统响应的程序为： b=0 0 1; %生成向量 b a=0.08 0.4 1; %生成向量 a h,w=freqs(b,a,100); %求系统频响特性 h1=abs(h); %求幅频响应 h2=angle(h); %求相频响应 subplot(211); plot(w,h1); grid xlabel(角频率 (W); ylabel(幅度); title(H(j

8、w) 的幅频特性 ); subplot(212); plot(w,h2*180/pi); grid xlabel(角频率 (w); ylabel(相位 (度); title(H(jw) 的相频特性 ); 运行结果如图 5-3 所示。 由图 5-3 可见，当从 0 开始增大时，该低通滤波器幅度从1 降到 0，c约为 3.5； 而)(从 0降到 -180，与理论分析结果一致。LCRe(t)V0(t)图 5-2 RLC 二阶低通滤波器电路图39 2、实验内容 图 5-4 所示的电路为最平坦幅度型二阶低通滤波器。试用MATLAB 程序画出系统响应 )(1)(2)( jUjUjH的幅度响应及相频响应，

9、并与理论分析的结果进行比较。)( jH的截止频率?0三、连续信号的采样与重构1、信号采样 图 5-5 给出信号采样原理图图 5-3 RLC 二阶低通滤波器的幅频特性及相频特性2F U1(t)11U2(t)2H 图 5-4 二阶低通滤波器电路图)(tfs)(tsT)(tf 相乘图 5-5 信号采样原理图40 由图 5-5 可见，)()()(ttftfsTs，其中，冲激采样信号)(tsT的表达式为：nssTnTtt)()(（5-8）其傅立叶变换为nssn)(， 其中ss T2。 设)( jF，)( jFs分别为)(tf，)(tfs的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得nssnsssnjF

10、TnjFjF)(1)(*)( 21)(（5-9）若设)(tf是带限信号， 带宽为m，由式（5-9）可见，)(tf经过采样后的频谱)( jFs就是将)( jF在频率轴上搬移至,02nsss处 （幅度为原频谱的sT1倍） 。 因此，当ms2时，频谱不发生混叠；而当ms2时，频谱发生混叠。应该指出的是，实际信号中，绝大多数都不是严格意义上的带限信号，这时根据实 际精度要求来确定信号的带宽m。 例 5-2：当采样频率ms2时，称为临界采样，取mc。下列程序实现对信号)(tSa 的采样及由采样信号恢复)(tSa（见信号恢复小节）。wm=1; wc=wm; Ts=pi/wm; ws=2*pi/Ts; n=

11、-100:100; nTs=n*Ts; f=sinc(nTs/pi); Dt=0.005;t=-15:Dt:15; fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs*ones(1,length(t); t1=-15:0.5:15; f1=sinc(t1/pi); subplot(211); stem(t1,f1); xlabel(kTs); ylabel(f(kTs); title(sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号 ); subplot(212); plot(t,fa) xlabel(t); ylabel(fa(t); ti

12、tle(由 sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号重构sa(t); grid; 程序运行结果如图5-6 所示。 注意Sa(t)=sinc(t/pi) 41 2、信号重构 设信号)(tf被采样后形成的采样信号为)(tfs，信号的重构是指由)(tfs经过内插处理后，恢复出原来信号)(tf的过程。又称为信号恢复。若设)(tf是带限信号，带宽为m， 经采样后的频谱为)( jFs。 设采样频率ms2，则 由 式 （ 5-9 ） 知)( jFs是 以s为 周 期 的 谱 线 。 现 选 取 一 个 频 率 特 性ccsT jH 0)(（ 其 中截 止频 率c满 足2scm）的 理想 低 通滤 波器

13、 与)( jFs相乘，得到的频谱即为原信号的频谱)( jF。显然，)()()(jHjFjFs，与之对应的时域表达式为)(*)()(tfthtfs（5-10） 而nss nssnTtnTfnTttftf)()()()()()()()(1tSaTjHFthccs将)(th及)(tfs代入式（ 5-10）得图 5-6 临界采样信号及信号恢复42 nscscsccssnTtSanTfTtSaTtftf)()()(*)()(（5-11）式（5-11）即为用)(snTf求解)(tf的表达式，是利用MATLAB实现信号重构的基本关系式，抽样函数)(tSac在此起着内插函数的作用。例 5-3：设 tttSat

14、fsin)()(，其)( jF为：101 )( jF即)(tf的带宽为1m，为了由)(tf的采样信号)(tfs不失真地重构)(tf，由时域采样定理 知采 样 间 隔msT，取7.0sT（ 过采 样 ） 。 利 用 MATLAB的抽样 函 数tttSinc)sin()(来表示)(tSa，有)/()(tSinctSa。据此可知：nscscsccssnTtSincnTfTtSaTtftf)()()(*)()(（5-12）为了比较由采样信号恢复后的信号与原信号的误差，计算两信号的绝对误差。 MATLAB 实现此过程的程序如下： wm=1; wc=1.1*wm; Ts=0.7*pi/wm; ws=2*p

15、i/Ts; n=-100:100; nTs=n*Ts; f=sinc(nTs/pi); Dt=0.005;t=-15:Dt:15; fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs*ones(1,length(t); error=abs(fa-sinc(t/pi); t1=-15:0.5:15; f1=sinc(t1/pi); subplot(311); stem(t1,f1); ylabel(f(kTs); title(sa(t)=sinc(t/pi)的采样信号 ); subplot(312); plot(t,fa) ylabel(fa

16、(t); title(由 sa(t)=sinc(t/pi)的过采样信号重构sa(t); grid; subplot(313); plot(t,error); ylabel(error(t); title(过采样信号与原信号的误差error(t); 结果如图 5-7 所示，由图 5-7 可知，两信号的绝对误差error已在 10-6数量级，说明 重构信号的精度已经很高。43 将上述程序稍加改动，令1m，mc，5.1sT（欠采样），其余不变。改动后程序运行结果如图5-8 所示。 由图 5-8 可见，绝对误差 error已大为增加， 其原因是因采样信号的频谱混叠，使得 在c区域内的频谱相互“干扰”所致。图 5-7 过采样信号、重构信