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1、高中数学必修高中数学必修 5 全册导学案全集全册导学案全集1.1.1 正弦定理学习目标 1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题学习过程 一、课前准备试验：固定ABC 的边 CB 及B，使边 AC 绕着顶点 C 转动思考：C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 AB 的长度随着其对角C 的大小的增大而 能否用一个等式把这种关系 精确地表示出来？ 二、新课导学 学习探究探究 1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在 RtABC 中，设 BC=a，AC=b
2、，AB=c， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，又， sinaAcsinbBcsin1cCc 从而在直角三角形 ABC 中， sinsinsinabc ABC(探究 2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD=，则， sinsinaBbAsinsinab AB同理可得， sinsincb CB从而sinsinab ABsinc C类似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立请你试试导.新知：正弦定理正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相
3、等，即sinsinab ABsinc C试试：（1）在中，一定成立的等式是（ ）ABCA B.sinsinaAbBcoscosaAbBC. D.sinsinaBbAcoscosaBbA（2）已知ABC 中，a4，b8，A30，则B 等于 理解定理理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 存在正数 k 使， ，；sinakAsinckC（2）等价于 ，sinsinab ABsinc Csinsincb CBsina Asinc C（3）正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如； sin sinbAaBb 已知三角形的任意两
4、边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如； sinsinaABbsinC （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形解三角形 典型例题例 1. 在中，已知，cm，解三角形ABC45A 60B 42a 变式：在中，已知，cm，解三角形ABC45B 60C 12a 例 2. 在6,45 ,2,ABCcAabB C中，求和变式：在3,60 ,1,ABCbBcaA C中，求和三、总结提升 学习小结1. 正弦定理：sinsinab ABsinc C2. 正弦定理的证明方法：三角函数的定义，还有 等积法，外接圆法，向量法.3应用正弦定理解三角形：已知两角和一边；已知两边和其中
5、一边的对角 知识拓展，其中为外接圆直径.sinsinab AB2sincRC2R学习评价学习评价 自我评价自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1. 在中，若，则是（ ）.ABCcos cosAb BaABCA等腰三角形 B等腰三角形或直角三角形C直角三角形 D等边三角形2. 已知ABC 中，ABC114，则 abc 等于（ ）.A114 B112 C11 3D2233. 在ABC 中，若，则与的大小关系为（ ）.sinsinABABA. B. ABABC. D. 、的大小关系不能确定A
6、BAB4. 已知ABC 中，则= sin:sin:sin1:2:3ABC : :a b c5. 已知ABC 中，A，则603a = sinsinsinabc ABC 课后作业 1. 已知ABC 中，AB6，A30，B，解此三角形1202. 已知ABC 中，sinAsinBsinCk(k1)2k (k0)，求实数 k 的取值范围为1.1.2 余弦定理学习目标 1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题学习过程 一、课前准备复习 1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = 复习 2：在ABC 中，已知，A=45，C=
7、30，解此三角形10c 思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学 探究新知问题：在中，、ABCAB、的长分别为、.BCCAcab AC ，ACAC同理可得： ，2222cosabcbcA2222coscababCcabABC新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们 的夹角的 的积的两倍思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：， ，222 cos2bcaAbc理解定理理解定理（1）若 C=，则 ，这时90cosC 222cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是
8、余弦定理的特例（2）余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角试试：（1）ABC 中，求3 3a 2c 150B b（2）ABC 中，求2a 2b 31c A 典型例题例 1. 在ABC 中，已知，求和3a 2b 45B ,A Cc变式：在ABC 中，若 AB，AC5，且 cosC，则 BC_59 10例 2. 在ABC 中，已知三边长，求三角形的最大内角3a 4b 37c 变式：在ABC 中，若，求角 A222abcbc三、总结提升 学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2
9、. 余弦定理的应用范围： 已知三边，求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边 知识拓展在ABC 中，若，则角是直角；222abcC若，则角是钝角；222abcC若，则角是锐角222abcC学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1. 已知 a，c2，B150，则边 b 的长为（ ）.3A. B. C. D. 34 23422 2222. 已知三角形的三边长分别为 3、5、7，则最大角为（ ）.A B C D60751201503. 已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x，则 x 的取值范
10、围是（ ）.A Bx5 513x13C 2x Dx5554. 在ABC 中，|3，|2，与的夹角为 60，则AB ACAB AC|_AB AC5. 在ABC 中，已知三边 a、b、c 满足，则C 等于 222bacab课后作业 1. 在ABC 中，已知 a7，b8，cosC，求最大角的余弦值13 142. 在ABC 中，AB5，BC7，AC8，求的值.AB BC 1.1 正弦定理和余弦定理（练习）学习目标 1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形学习过程 一、课前准备复习 1：在解三角形时已知三边求角，用 定理；已知两边
11、和夹角，求第三边，用 定理；已知两角和一边，用 定理复习 2：在ABC 中，已知 A，a25，b50，解此三角形622二、新课导学 学习探究探究：在ABC 中，已知下列条件，解三角形. A，a25，b50； 62 A，a，b50； 650 6 32 A，a50，b50.62思考：解的个数情况为何会发生变化？新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）bab ab aba a一 一 一 a,b一 A一 一 一 一 一一 一 一 一一 一 一 一 一一 一abCH=bsinA0，d0，前n项和有最小值，可由0，且0，求得n的值奎屯王新敞新疆nana1na（2）利用：由，利用二次函数配方法求得最大（
12、小）值时n的值.nS2 1()22nddSnan 动手试试练 1. 已知，求数列的通项.232nSnnna练 2. 有两个等差数列 2，6，10，190 及 2，8，14，200，由这两个等差数列的公共 项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和. 三、总结提升 学习小结1. 数列通项和前 n 项和关系；nanS2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法. 知识拓展等差数列奇数项与偶数项的性质如下：1若项数为偶数 2n，则；SSnd偶奇1(2)nnSanSa奇偶2若项数为奇数 2n1，则；1nSSa奇偶1nSna偶1(1)nSna奇.1Sn Sn 偶奇学习评价 自我评价 你完成本
13、节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1. 下列数列是等差数列的是（ ）.A. B. 2 nan21nSnC. D. 221nSn22nSnn2. 等差数列中，已知，那么（ ）.na1590S8a A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 3. 等差数列的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（ ）.naA. 70 B. 130 C. 140 D. 1704. 在小于 100 的正整数中共有 个数被 7 除余 2，这些数的和为 .5. 在等差数列中，公差 d，1 2100145S则 .13599.aaaa课后作业 1. 在项数为 2n+1 的等差数
