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1、1 泛函分析期末复习题和答案（2005-2006 年度）此为答案复习题在后面1、 所有元素均为0 的 nn 矩阵2、 设 E 为一线性空间，L 是 E 中的一个子集，若对任意的x，y L，以及变数 和均有xyL，则 L 称为线性空间E 的一个 子空间 。子空间心室包含零元素，因为当和 均为 0 时， xy0L，则 L 必定含零元素。3、 设 L 是线性空间E 的子空间， x0EL，则集合x0+L=x0+l，lL 称为 E 中一个 线性流形。4、 设 M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x，yM，以及 1， 0， 0的 和，都有 xyM，则称 M 为 E 中的 凸集 。5、 设 x，y 是线
2、性空间E 中的两个元素，d(x，y)为其之间的 距离 ，它必须满足以下条件：（1）非负性： d(x，y)0，且 d(x，y)0 x=y （2）对称性： d(x，y)=d(y，x) （3）三角不等式： d(x，y)d(x，z)+d(y，z) for every x ，y，zE n 维欧几里德空间常用距离定义：设 x=x1， x2，xnT，y=y 1y2，ynT d2(x，y)=(21|nii ixy)1/2d1(x，y)=1|nii ixydp(x， y) = (1|n p ii ixy)1/pd(x，y)= 1max |iiinxy6、距离空间 (x，d)中的点列 xn 收敛到 x0是指 d(
3、xn，x0)0(n)，这时记作0limn nxx，或简单地记作xnx07、设 |x|是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数 ，其须满足以下条件：（ 1）|x|0，且 |x|0iff x=0 （ 2）|x|=|x|，为常数（ 3）|x+y|x|+|y|，for every x ，yE 8、设 E 为线性赋范空间， xn n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何 0，总存在自然数 N，使得当 nN ，mN 时，均有 |xm-xn|，则称序列 xn是 E 中的基本列。若E 的基本 列的收敛元仍属于E，则称 E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。9、有限维
4、的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。11、L2（a，b）为定义在 (a， b)上平方可积函数空间，即设f(t)L2（a，b） ，2|( ) |baftdt。当 L2（a，b）中内积的定义为（f，g）=_ ( )( )baf t g t dt(其中f(t)， g(t)L2（ a，b）)时其为 Hilbert 空间。2 12、算子表示一种作用，一种映射。 设 X 和 Y 是给定的两个线性赋范空间，集合 DX，若对 D 中的每一个x，均有 Y 中的一个确定的变量y 与其对应， 则说这种对应关系确
5、定了一个算子T，记为 y=T(x) ，y 为 x 的像， x 为 y 的原像。13、算子的范数：设T 为有界线性算子，则对一切xD(T) ，使不等式 |Tx|YM|x|X的正 数 M 的下确界称为T 的范数， |T|=sup|Tx|/|x|，|x|0。直观的理解就是|x|的最大放大率。14、 根据线性算子零空间的定义：对线性算子T： EE1， 必有 T0=0， 则称集合 x E|Tx=0为 T 的零空间，它是E 的线性子空间，并不一定是值域E1的子空间。15、如果存在一正常数M，使得对每一个x D(T) ，都有 |Tx|YM|x|X，则称 T 为有界算子。无界算子： 设算子 T：C10，1C0
6、，1定义为： (Tx)(t)=x(t)，则 T 是线性算子，若视C10，1为 C0， 1的子空间，则T 是无界的。16、设 Tn=L(X ， Y)，TL(X ，Y) ，如果对任何一个x X，均有 |Tnx-Tx|0(n)，则Tn弱收敛于 T。17、 L(X ， Y) 是 BANACH空间。*18 、压缩映像原理又叫BANACH不动点定理，其具体内容如下：设X 为 BANACH空间，F 为 XX 的算子，且D(F)R(F) ，如果 x*X，满足 F(x*)=x*，称 x*为 F 的不动点。设集合 QD(F)，如果存在常数q(0，1)使得对任何x，xQ，有 |F(x)-F(x)|q|x-x|，称
7、F 为 Q 上的压缩算子，q 为压缩系。压缩映像原理：设算子F 映 BANACH空间 X 的闭子集Q 为其自身且F 为压缩算子，压缩系为q， 则算子 F 在 Q 内存在唯一的不动点x*， 若 x0为 Q 内的任意点， 作序列 xn+1=F(xn)，n=0，1，2，则 xnQ，xnx*，而且有估计|xn-x*| q/(1-q)|F(x n)-F(x0)|。简单地说即赋范空间的完备子集上压缩映射存在唯一的不动点，且该不动点可由该完备子集上的任一点作为初始值用迭代法得到。19、设 X 是实数域上的线性赋范空间，D 是 X 的线性子空间，f:DR，如果 f 满足：对任何 ，R，x， yD，f(x+ y
8、)=f(x)+ f(y) ，则 f 是 D 上的一个线性泛函，或者说由 XR 的算子为泛函。泛函f 的范数定义如下：|f|=|f|=sup|f(x)|(|x|=1)=sup(|f(x)|/|x|)(|x|0)=sup|f(x)|(|x| 1)，并且有 |f(x)|f|x|。20、定义在整个线性赋范空间X 上的所有有界线性泛函的全体构成的空间L(X ，R)称为空间 X 的共轭空间，又叫对偶空间，其是完备的。21 、 弱 收 敛 ： X为 线 性 赋 范 空 间 ， xnX ， x0 X ， 如 果 对 任 何 一 个f x*均 有0li m()()nnfxfx，则称 xn 弱收敛于 x0。弱收敛
9、不一定强收敛，强收敛一定弱收敛。22、泛函的GATEAUR 微分：设 X 为线性赋范空间，x0X，f(x) 的 x0及其领域内有定义，如果对任意hX，极限：000()()lim tf xthf xt存在，则称f(x) 在 x0处对方向h 存在GATEAUR 导数，记为0(, )f xh。又称为泛函f(x) 在 x0处对于方向h 的一阶变分。23、0(, )f xh称为泛函f(x) 在x0处对于方向h 的一阶变分。令0( )(),tf xth则 00)( )(0)(0)lim(, ) ttf x ht。24、0xxdggdt3 25、应变能密度：0()()ijklklijijWd: 应变余能密度
10、：0()ijijijcijWd: 其关系如下图所示：26、有限元方法的本质是： 有限元 =瑞兹法 +具有局部紧支集的分片插值函数。27、,1 ( )(),()2iijiiiiji jj iVVSu xWdVf u dVP u dsuu，其中 ( )u x为系统的总势能，()ijVWdV为应变能， 后两项为外力势能，fi为体积力分量，iP为给定S边界上的外力。最小势能原理：在所有满足边界条件(iiuuon Su)和必要的连续性条件的位移场中，系统的总势能最小，即对所有可能的位移，真实位移使得系统势能( )u最小。其基本的未知函数是位移场ui，其应该满足：(1)单值、连续，满足适当的可微性，应该满
11、足小位移应变关系，,1/ 2()iji jj iuu。(2)必须满足本质边界条件。边界位移连续条件，即：iiuuon uS。推导与证明过程如下：把 取一阶变分： =()ijiiiiijiiiiVVsVVs ijWWdVf u dVpu dsdVfu dVP u ds其中：,(1/ 21/ 2)1/ 21/ 2()ijijijiji jj iVVV ijiji jijj iiji jijijijjiVVVVWdVdVuudVu dVu dVu dVuu dV而,()()uijijijijijjiijjiVsssudVu n dsnu dsnu ds由于在 su上iiuu为已知，则uijjisnu
12、 ds=0 所以 =,ijjiijjiiiiisVVsnu dsu dVf u dVp u ds由=0 得,0ijjifon ijjinpon uS4 即极值点满足应力平衡条件，则其是真实的位移。下面证明此极小值是的最小值：设正确解是ui，其它满足位移边界条件的容许位移是ui*，则 ui*=u i，+ui，则ij*= ij+ij，由此得到：*= +2其中 =0，2=()ijVWdV0，所以 * ，则极小值即是最小值。证明完毕。28、系统的总余能( )()uccijiijjVsWdVun ds，其中第一项为系统的应变余能，第二项与给定位移有关。最小余能原理即对满足,0ijjifin 和ijjin
13、pon uS的应力场 (满足适当的光滑性)，真实的位移场使系统的总余能最小。其基本未知函数是应力场ij，对其要求为,0ijjifin ijjinpon uS证明如下：对()c取一阶变分：()( )uij cijiijjVs ijWdVun ds，其中,1/ 2()()c ijijijijj iiji jijiijjiijjVVVVVV ijWdVdVuudVudVudVudV由高斯定理可知：,()iijjiijjVsudVun ds在 边 界 面S上 ，i jjinp是 已 知 的 ， 所 以0ijjinP，则,() uiijjiijjVsudVun ds同理，由于,0ijjif，其中fI是给
14、定的，所以在内，,ijj=0。由以上推导可得：( )()uciiijjsuun ds，由极值条件()c=0，得iiuu，在uS上。这就说明了()c取得极值时的ij既满足外力已知的边界条件，也满足位移已知的边界条件，所以是正确解，是真实的位移场。下面证明该位移场对应的极小值是最小值：设外力已知边界条件下的应力分量为* ij，* ijijij*( )()()()uuccijiijjcijijiijijjVsVsWdVun dsWdVun ds5 *2()()()()cccc，其中2()()0ccijVWdV，所以()c*()c，所以这个极小值是最小值。证明完毕。29、Hellinger-Reiss
15、ner 混合变分原理：以位移和应力作为独立变分的函数，真实的位移场和应力场使系统的总势或总余能最小。证明：构造余能泛函：,()()()ucijiijjiij jiiijjiVsVsWdVun dsf dVnP dV变分得：,()()()()() uij ji jijijjiiiiijiijjiiiijjVVsssdVfdVdSnP dSun ds依ij的对称性，得,1/ 2()i jiji jj iij。则,()1/ 2()ijji jijij ji jj iijVVdVdV由=0 的驻值条件可得：,1/ 2()ijji jj i,0i jjifin ii=0 ijjinP=0 on siiuon us取iiu，iiu，则余能泛函变为下面形式：* ,()()()ucijijjiiiijjijjiiVssWf u dVun dsnP u dV，由以上计算过程可知，由泛函*的驻值条件给出的,ijiu必定满足平衡方程，应力应变关系，应变位移关系， 外力和位移的边界条件，所以它们是正确解，是真实的应力场和位移场。可以证明，当以ui*=u i，+ui和* ijijij代入以上泛函，得*，*，即真实的位移场和应力场使余能泛函取得
