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1、直线与圆锥曲线的位置关系课堂教学设计民本中学 沈洪生一、教学目标1、通过类比直观判断直线与圆的位置关系的方法即距离法，判断直线与圆锥曲线的三种位置关系，距离法转化为方程组解来研究直线与圆锥曲线的位置关系；2、在探究的过程中运用数、形结合和方程组解的思想，以运动的观点去观察、思考、分析直线与圆锥曲线的位置关系，从而提高解决问题的能力；3、在解答直线与圆锥曲线的相关问题中，体会解决直线与圆锥曲线位置关系问题的一般步骤与方法；4、体验在问题解决过程中，养成严谨的科学研究的学习习惯，感受数学学习的愉悦。二、教学重点和难点重点：用代数的方法（对方程组解的讨论）研究直线与圆锥曲线的公共点问题，来判断直线与
2、圆锥曲线的位置关系，学会弦长公式的应用。学会直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法,注意数、形结合思想的渗透; 非封闭曲线,尤其是双曲线与直线位置关系的讨论; 难点：理解用方程思想解决直线与圆锥曲线的位置关系,感悟方程组的解的个数等于直线与圆锥曲线公共点的个数.充分运用新旧知识的迁移,从数与形两方面深刻理解相关结论,构建完整的知识体系；在掌握共性的(方程法)基础上,注意个性(距离法),防止负迁移，做到特殊问题能特殊处理。三、教材分析本节课是平面解析几何的核心内容之一。本节内容是直线与圆锥曲线的位置关系 的第一节课,着重是学会如何判断直线与圆锥曲线的位置关系,体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类
3、比归纳等数学思想方法,优化解题思维,提高解题能力。这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。这节复习课还是培养数学能力的良好题材,所以说是解析几何的核心内容之一。 本节内容在高考中的地位：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能。数学思想方法分析：本节复习课在教学中力图让学生动手操作,自主探究,发现共性,类比归纳,总结解题规律.同时还需要强化学
4、生的分类讨论的数学意识以及寻找分类讨论标准的方法。四、学情分析在教学中要特别重视学法的指导。在此之前，学生已学习了直线的基本知识，圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质，这为本节复习课起着铺垫作用。本节内容是直线与圆锥曲线的位置关系的第一节课，着重是学会如何判断直线与圆锥曲线的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。因为本班的学生逻辑思维有了较好基础,注意力能够集中较长时间,学习目的明确,内驱力是主要的学习动力。以建构主义理论为指导,采用着重于学生探索研究的启发式教学方法,结合师生共同讨论、归纳。在课堂结构上,根据学生的认
5、知水平设计了： 1.本节要点扫描；2.引出主题,精讲例题；3.能力训练,总结结论,强化认识；4.变式延伸,进行重构这四个层次的学法；它们环环相扣,层层深入,从而顺利完成教学目标。从学生的认知基础看，遵循学生的认知规律,体现由特殊到一般,采用循序渐进的启发式教学原则。可以预先由学生通过自主探究直线与圆、直线与椭圆位置关系的判断, 在解题过程中体会解决的数学方法,再由教师引导,自然过渡到直线与双曲线、直线与抛物线的位置关系如何判断；激发学生的学习兴趣。同时基于本节课的特点：运算量比较大；应着重采用：点拨思路,发散思维,小组分类讨论的教学方法。 五、教学过程教学环节教学内容 教师活动 学生活动 设计
6、意图复习引入通过复习直线与圆的位置关系的回答，类比得出直线 与圆锥曲线 的位置lC关系为：相交、相切、相离。通过观察图形：直观判断直线与圆的位置关系类比判断直线与圆锥曲线的位置关系。 观察图形：直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。类比到直线与圆锥曲线 的位置关系，C即：相交、相切、相离。从交点的个数相交（二个）、相切（一个） 、相离（0个）的特征。通过运用类比的方法，激发学生的探究热情。通过观察图形，教会学生如何判断直线与圆锥曲线的位置关系，其中有一种方法：数形结合的方法。用代数的方法来分析直线与1、探究直线与圆锥曲线0:CByAxl的三种位置关系的充),(f要条件？2、讨论总结得出由
7、0),(yxfCBA消去 得思考老师提出的问题：直线与圆锥曲线 的位置关系的判断。 是否可以转C化为直线方程与圆锥曲线方程有无公共点或有几个公共点的问题。个别回答问题，在教师的帮助下反思；进一步问：“直线与双曲线、抛物线有一个公共点”时是否一定能够推出“直线与双曲线、抛物线相切”呢？学生独立思考，培养学生的独立思考能力以及思维的严密性。 （1）观察图形中的直线与圆锥曲线的位置关系：（2）可C以利用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，消去某个变量（x 或 y）后，所得的方程根的情况来研通过运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。圆锥曲线的位
8、置关系02cbxa相 离相 切相 交时 0)3(214,2a 究。讲练平台题目：已知直线 ： 与双曲线 ：l1kxyC32x问题 1：若 k=2，判断直线 与双曲线l的位置关系？若相交，求直线 被双曲线所截得的线段长；若不相交，说明理由。问题 2：若直线 与双曲线 只有一lC个公共点，求 k 的取值范围。问题 3：若直线 与双曲线 有两个不同的公共点，求 k 的取值范围。变式一：（1）过点 与双曲线)21,0(M只有一个公共点的直线有2yx几条? （2）过点 与双曲线)1,0(恒有公共点，求yx的取值范围。变式二：直线 与双曲线1:kxyl右支交于不同的两22C点 A、B （1）求实数 的取值
9、范围；k（2）是否存在实数 ，使得以线段为直径的圆经过双曲线 的右焦C点 ？若存在，求出 的值；若不存F在，说明理由。变式三：已知曲线 的方程为 )(1)4(22 Rkykx（1）若曲线 是双曲线，且有一条C渐近线的倾斜角是 ，求此双曲线06方程；（2）满足（1）的双曲线上是否存在两点 关于直线 对称，QP、 1:xyl若存在，求出 的直线方程，若、不存在，说明理由。变式训练就是改变条件或结论，通过多角度分析、比较、联系，去深刻理解问题的结构和解决策略。问题1：斜率一定判断直线 与双曲线的位l置关系。联立方程组，解方程解得个数？根据前面分析讨论的结论，在老师的指导下引导学生积极思考，共同讨论，
10、寻求问题解决的方法学生讨论后回答，然后老师引导完善、归纳并在黑板上板书 。 由实例得出本节主要的知识点是:将直线与圆锥曲线的方程联立起来,消去或 ,结合 的情况,求解实题中的问题。在讲解例题时,不仅在于怎样解,更在于为什么这样解，而及时对解题方法和规律进行概括,有利于发展学生的思维能力.在题中:怎样使计算更加简单是关键点。归纳总结出解决直线与圆锥曲线的位置关系，两方程一定，位置关系就确定。知道如何求弦长问题、公共点问题、存在性问题，掌握它们的一般方法、一般步骤。由学生通过变式训练是对学生进行数学技能和思维训练的重要方式，它不仅能激活学生的创新思维，有效地培养学生思维的深刻性、广阔性、独创性和灵
11、活性，而且能迅速提高学生分析问题、解决问题的能力 ；再由教师引导, 直线与圆、直线与椭圆位置关系的判断,自然过渡到直线与双曲线、直线与抛物线的位置关系如何判断,激发学生的学习兴趣。同时基于本节课的特点，运算量比较大,应着重采用点拨思路,发散思维,小组分类讨论的教学方法。拓展圆锥曲线当 m 为何值时，方程无解、有一解、x312两解。教师设计以下问题：1、利用数形结合；2、利用代数方程。进行分别讨论。组织学生讨论思考回答。学生思考体会利用数形结合很难解决；利用代数方程解决，但根据图形特点，x,y 注意范围。拓展直线与圆锥曲线 位置C关系有利于培养学生的创新能力。 ，C思 考归纳小结从知识，方法两个
12、方面来对本节课的内容进行归纳总结。让学生谈本节课的收获，并反思存在的疑惑。学生总结 ：如何判断直线与圆锥曲线的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法。鼓励学生大胆发表自己的想法，培养学生归纳和反思的能力布置作业讲义 学生对所学知识进一步巩固提高，针对学生素质的差异进行分层训练,既使学生掌握基础知识,又使学有余力的学生有所提高,从而达到拔尖和“减负”的目的。学生课外自主进行变式练习。通过作业使学生进一步巩固本节课所学内容。同时通过课后思考让学生延伸到课外探究为后续学习打下基础。六、板书设计一 、 复 习1、 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 ：相 交 d0d=r
13、 =0dr 0 =0 02、 直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系 ：oy x3、 直 线 与 双 曲 线 的 位 置 关 系 ：oy x oy x（ 1）（ 4）（ 3）（ 2）（ 1） 观 察 图 形 中的 直 线 与 双 曲 线 的位 置 关 系（ 2） 可 以 利 用 直线 方 程 与 双 曲 线 方程 组 成 的 方 程 组 ，消 去 某 个 变 量 （ x或 y） 后 ， 所 得 的方 程 根 的 情 况 来 研究 。oy x题 目 :已 知 直 线 与 双 曲 线1:kxyl 13:2yxC问 题 1:若 k=2时 ,判 断 直 线 L与 双 曲 线 C的 关 系 ,若 相 交
14、 ,求 直 线 L被 双 曲 线 C所 截得 的 线 段 长 ;若 不 相 交 , 说 明 理 由 .问 题 2:若 直 线 与 双 曲 线 只 有 一 个 公 共 点 ,求 k的 值问 题 3:若 直 线 与 双 曲 线 有 两 个 不 同 的 公 共 点 ,求 k的 取 值 范 围过 点 的 直 线 与 双 曲 线 恒 有 公 共 点 , 求 的取 值 范 围 . 上210M)0(2yx变 式 一 ：变 式 二 :直 线 与 双 曲 线 右 支 交 于 不 同 的 两 点 A、 B （ 1） 求 实 数 k的 取 值 范 围（ 2） 是 否 存 在 实 数 k， 使 得 以 线 段 AB为
15、 直 径 的 圆 经 过 双 曲 线 C的 右 焦 点 F？若 存 在 ， 求 出 k值 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 。xyl 1:2Cl二 、 习 题 选 讲 :二 、 习 题 选 讲 几 何 画 板几 何 画 板变 式 三 :已 知 曲 线 C的 方 程 为 )(1)4(22 Rkykx(1)若 曲 线 C是 双 曲 线 ， 且 有 一 条 渐 近 线 的 倾 斜 角 是 60， 求 此 双 曲 线 方 程1解 ： （ 1） 原 方 程 可 化 为 ：方 程 表 示 双 曲 线 的 充 要 条 件 是 ： 41k0kk或或即 ,41,422 kbax轴 上 ， 且时 ， 双 曲
16、 线 焦 点 在或当 6,3ab解 得由 一 条 渐 近 线 的 斜 率 为 ,1,401 22kbkayk 轴 上 ， 且时 ， 双 曲 线 焦 点 在当 )(6,3舍解 得由 一 条 渐 近 线 的 斜 率 为 kba7,1276yx上 7:2x上小 结小 结变 式 三(2) :满 足 (1)的 双 曲 线 上 是 否 存 在 两 点 P、 Q关 于 直 线对 称 ， 若 存 在 ， 求 出 PQ 的 方 程 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 。 1xy解 ： 若 存 在 ， 设 直 线 PQ的 方 程 为 ：726yxmmxy消 去 y 得 : )(072423,00yxM则）（的 中 点 是、设 0,21123 的方 程解 得上 ， 所 以在 直 线 mml所 以 存 在 满 足 条 件 的
