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1、全国初中数学竞赛试题及参考答案汇编【2000-2011】12000 年全国初中数学竞赛试题解答一、选择题（只有一个结论正确）1、设的平均数为 M，的平均数为 N，N，的平均数为 P，若，则 M 与 P 的大小关系是（ ）。（A）MP；（B）MP；（C）MP；（D）不确定。答：（B）。M，N，P，MP，即MP0，即 MP。2、某人骑车沿直线旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又原路返回千米（），再前进千米，则此人离起点的距离 S 与时间 t 的关系示意图是（ ）。答：（C）。因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后 S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返
2、回的一段路程， 唯图（C）正确地表述了题意。3、甲是乙现在的年龄时，乙 10 岁；乙是甲现在的年龄时，甲 25 岁，那么（ ）。（A）甲比乙大 5 岁；（B）甲比乙大 10 岁；（C）乙比甲大 10 岁；（D）乙比 甲大 5 岁。答：（A）。由题意知 3（甲乙）2510，甲乙5。全国初中数学竞赛试题及参考答案汇编【2000-2011】24、一个一次函数图象与直线平行，与轴、轴的交点分别为A、B，并且过点（1，25），则在线段 AB 上（包括端点 A、B），横、纵坐 标都是整数的点有（ ）。（A）4 个；（B）5 个；（C）6 个；（D）7 个。答：（B）。在直线 AB 上，横、纵坐标都是整数的
3、点的坐标是14N，255N，（N 是整数）在线段 AB 上这样的点应满足14N0，且255N0，N5，即 N1，2，3，4，5。5、设分别是ABC 的三边的长，且，则它的内角A、B 的关系是（ ）。（A）B2A；（B）B2A；（C）B2A；（D）不确定。答：（B）。由得，延长 CB 至 D，使 BDAB，于是CD，在ABC 与DAC 中，C 为公共角，且 BC:ACAC:DC，ABC DAC，BACD，BADD，ABCDBAD2D2BAC。6、已知ABC 的三边长分别为，面积为 S，A1B1C1的三边长分别为，面积为 S1，且，则 S 与 S1的大小关系一定是（ ）。（A）SS1；（B）SS1
4、；（C）SS1；（D）不确定。全国初中数学竞赛试题及参考答案汇编【2000-2011】3答：（D）。分别构造ABC 与A1B1C1如下：作ABCA1B1C1，显然，即 SS1；设，则，S10，则 S110010，即 SS1；设，则，S10，则，S110，即 SS1；因此，S 与 S1的大小关系不确定。二、填空题7、已知：，那么_。答：1。，即。8、如图，在梯形 ABCD 中，ABDC，AB8，BC6，BCD45，BAD120，则梯形 ABCD 的面积等于_。答：666（平方单位）。作 AE、BF 垂直于 DC，垂足分别为 E、F，由BC6，BCD45，得 AEBFFC6。由BAD120，得全国
5、初中数学竞赛试题及参考答案汇编【2000-2011】4DAE30，因为 AE6 得 DE2，ABEF8，DC286142，。9、已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有_个。答：5。当时，；当时，易知是方程的一个整数根，再由且是整数，知，；由、得符合条件的整数有 5 个。10、如图，工地上竖立着两根电线杆 AB、CD，它们相距 15 米，分别自两杆上 高出地面 4 米、6 米的 A、C 处，向两侧地面上的 E、D；B、F 点处，用钢丝绳 拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳 AD 与 BC 的交点 P 离地面的高度为_ 米。答：2.4 米。作 PQBD 于 Q，设 BQ米，QD米，PQ米，由
6、ABPQCD，得及，两式相加得，由此得米。即点 P 离地面的高度为 2.4 米。（注：由上述解法知，AB、CD 之间相距多远，与题目结论无关。）11、如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为（15，6），直线恰好将矩形 OABC 分成面积相等的两部分，那么_。全国初中数学竞赛试题及参考答案汇编【2000-2011】5答：。直线通过点 D（15，5），故 BD1。当时，直线通过，两点，则它恰好将矩形 OABC 分成面积相等的两部分。12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了 6.4，使得利润 率增加了 8 个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是_。（注：100）答
7、：17。设原进价为元，销售价为元，那么按原进价销售的利润率为100，原进价降低 6.4后，在销售时的利润率为100，依题意得：1008100，解得1.17，故这种商品原来的利润率为10017。三、解答题13、设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根。（1）若，求的值。（2）求的最大值。解：因为方程有两个不相等的实数根，所以，。根据题设，有。全国初中数学竞赛试题及参考答案汇编【2000-2011】6（1）因为，即。由于，故。（2）。设上是递减的，所以当时，取最大值 10。故的最大 值为 10。14、如上图：已知四边形 ABCD 外接圆 O 的半径为 2，对角线 AC 与 BD 的交点
8、为E，AEEC，ABAE，且 BD2，求四边形 ABCD 的面积。全国初中数学竞赛试题及参考答案汇编【2000-2011】7解：由题设得 AB22AE2AEAC，AB:ACAE:AB，又EABBAC， ABEACB，ABEACB，从而 ABAD。连结 AD，交 BD 于 H，则BHHD。OH1，AHOAOH211。，E 是 AC 的中点，。15、一幢 33 层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳 32 人，而且 只能在第 2 层至第 33 层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼 梯感到 1 分不满意，往上走一层楼梯感到 3 分不满意。现在有 32 个人在第一层， 并且他们分
9、别住在第 2 至第 33 层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这 32 个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接 从楼梯上楼）解：易知，这 32 个人恰好是第 2 至第 33 层各住 1 人。对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所 住的层数。事实上，设住第层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，。交换两人上楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分别考虑如下：设电梯停在第层。当时，若住第层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为。当时，若住第层的人乘电梯，而住第 层
10、的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为。全国初中数学竞赛试题及参考答案汇编【2000-2011】8当时，若住第层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。当时，若住第层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。当时，若住第层的人乘电梯，而住第 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。今设电梯停在第层，在第一层有人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为
11、：当27，6 时，316。所以，当电梯停在第 27 层时，这 32 个人不满意的总分达到最小，最小值为 316 分。全国初中数学竞赛试题及参考答案汇编【2000-2011】92001 年 TI 杯全国初中数学竞赛试题一、 选择题（30 分）1.化简)2(2)2(2234nnn ，得（ ） 。（A）8121n(B) 12n(C) 87(D)47答案：C2.如果cba,是三个任意整数，那么2,2,2accbba（ ） 。（A）都不是整数 （B）至少有两个整数 （C）至少有一个整数 （D）都是整数答案：C3.如果ba,是质数，且, 013, 01322mbbmaa那么ba ab的值为（ ） 。（A）
12、22123（B）222125或 （C）22125（D）222123或答案：B4.如图，若将正方形分成k个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k的值为（ ） （A）6 （B）8 （C）10 （D）12全国初中数学竞赛试题及参考答案汇编【2000-2011】10答案：B5.如图，若 PA=PB，APB=2ACB，AC 与 PB 交于点 D,且 PB=4，PD=3，则 ADDC等于（ ） 。 （A）6 （B）7 （C）12 （D）16 答案：B6.若ba,是正数，且满足)111)(111(12345ba，则ba和之间的大小关系是（ ） 。（A）ba （B）ba （C）ba （D）不能
13、确定答案：A二、 填空题（30 分）7.已知：2323,2323yx。那么22yx xy_。答案：9708.若,28,1422xxyyyxyx则yx 的值为_。答案：6 或-79.用长为 1，4，4，5 的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于_。答案：36或 10 10. 销售某种商品，如果单价上涨m，则售出的数量就将减少150m。为了使该商品的销售总金额最大，那么m的值应该确定为_。全国初中数学竞赛试题及参考答案汇编【2000-2011】11答案：2511. 在直角坐标系xOy中，x轴上的动点 M（x，0）到定点 P（5，5） 、Q（2，1）的距离分别为 MP 和 MQ，那么当 MP+MQ
14、 取最小值时，点 M 的横坐标x_。答案：2512. 已知实数ba,满足2222, 1baabtbaba且，那么 t 的取值范围是_。答案：313t三、 解答题（60 分）13. 某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击 10 次。在第 6、第 7、第 8、第 9 次射击中，分别得了 9.0 环、8.4 环、8.1 环、9.3 环。他的前 9 次射击所得的平均环数高于前5 次射击所得的平均环数。如果他要使 10 次射击的平均环数超过 8.8 环。那么他在第10 次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到 0.1 环）14. 如图，已知点 P 是O 外一点，PS、PT 是O 的两条切线，过点 P 作O 的割线PAB，交O 于 A,B 两点，并交 ST 于点 C。全国初中数学竞赛试题及参考答案汇编【2000-2011】12求证：)11(211 PBPAPC. 答案：P，A，C，B 四点成调和点列（德站解答）15. 如图，已知圆 O 的两条半径 OA 与 OB 互相垂直，C 为弧 AmB 上的一点，且222BCOBAB，求OAC的度数。omAB全国初中数学竞赛试题及参考答案汇编【2
