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1、2017-20182017-2018 学年人教学年人教 A A 版高中数学必修版高中数学必修 2 2全册知识导航学案全册知识导航学案目目 录录第一章空间几何体第一章空间几何体1.11.1 空间几何体的结构空间几何体的结构1.21.2 空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图和直观图1.31.3 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积第二章点直线平面之间的位置关系第二章点直线平面之间的位置关系2.1.12.1.1 平面平面2.1.22.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系2.1.32.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关
2、系2.1.42.1.4 平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系2.2.12.2.1 直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定2.2.22.2.2 平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定2.2.32.2.3 直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质2.2.42.2.4 平面与平面平行的性质平面与平面平行的性质2.3.12.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定2.3.22.3.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定第三章直线与方程第三章直线与方程3.13.1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率3.23.2 直线的方程直线的方程3.33.3 直线的交点坐标与距离公式直
3、线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程第四章圆与方程4.14.1 圆的方程圆的方程4.24.2 直线圆的位置关系直线圆的位置关系4.34.3 空间直角坐标系空间直角坐标系人教 A 版 2017-2018 学年高中数学必修 2 知识导航学案11.11.1 空间几何体的结构空间几何体的结构知识梳理知识梳理1.一般地,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.2.一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的多面体叫做棱锥.它是以底面多边形的边数为标准进行划分的.空间最简单的几何体是三 棱锥.3 以
4、矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱,旋 转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于轴的边旋转而成 的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.4.圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转所形成的面所 围成的几何体.棱台和圆台可分别看作是由棱锥和圆锥被平行于底面的平面所截而得到的. 棱台和圆台统称为台体.5.以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体,简称球.半 圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径.6.正方体的集合记为 A,
5、长方体的集合记为 B,直棱柱的集合记为 C,棱柱的集合记为 D, 则四个集合之间的关系是 ABCD.知识导学知识导学要学好本节内容,可从直观感知已学过的正方体、长方体等空间几何体的整体结构入手,去 抽象一般空间几何体的结构特征.本节是立体几何的基础课,掌握空间几何体的结构特征,将 为我们学习空间点、线、面的位置关系奠定坚实的基础.除了按照教材介绍的方法认识圆柱、圆锥外,还可以类比棱柱、棱锥来认识圆柱、圆锥.当 圆台的上底逐渐变小,半径趋近于零时,圆台趋向于圆锥;当圆台上底逐渐变大,半径与下底 半径相同时,圆台变为圆柱.同样的,棱台也有相同的变化规律.对于球体,除了从旋转体的角度认识球的结构特征
6、外,还可通过类比圆的结构特征,给出 球的结构特征及有关概念,如球心、半径、直径等.学习本节知识的基本方法是:直观感知、操作确认.通过感受大量空间实物及模型,掌握 柱、锥、台、球的结构特征.疑难突破疑难突破1.棱柱的特点.剖析剖析: :(1)棱柱的特点总结起来主要有:两个互相平行的面是底面;侧棱互相平行且相等; 侧面是平行四边形;与底面平行的截面是与底面全等的多边形;与侧棱平行的截面是 平行四边形;我们学习的棱柱中,底面都是凸多边形.人教 A 版 2017-2018 学年高中数学必修 2 知识导航学案2如果棱柱的一个底面水平放置,则铅垂线与两底面的交点之间的线段或距离,叫做棱柱 的高.棱柱有两个
7、本质特征:一是有两个面互相平行,二是其余各面每相邻两个面的公共边都 互相平行.(2)我们常用表示底面各顶点的字母表示棱柱,也可利用对角线表示棱柱.棱柱是多面体中最简单的一种,学习棱柱,应首先从观察我们身边常见的一些几何体入 手,如三棱镜、长方体、螺杆的顶部等,通过概括共同特点得出棱柱的结构特征.其次可通过变式训练,深化对棱柱结构特征的认识,如观察长方体,能作为棱柱底面的有 几对？过长方体的底边截去长方体的一角,所得几何体是不是棱柱？有两个面互相平行,其 余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？再次,可从运动变化的观点去认识其结构特征,即棱柱可看成一个多边形上各点沿着相 同的方向移动相同的距离而
8、得到的空间部分.2.棱锥的特点.剖析剖析: :(1)棱锥有两个本质特征:一是有一个面是多边形;二是其余各面都是有一个公共顶点 的三角形,此处一定要注意有一个公共顶点.(2)如果棱锥的底面水平放置,则顶点与过顶点的铅垂线和底面的交点之间的线段或距离,叫 做棱锥的高.(3)棱锥的特点总结起来主要有:底面是多边形;其余各面是有一个公共顶点的三角形; 侧面的公共边相交于顶点;三棱锥的所有面都是三角形,所以,四个面都可以看作底.(4)棱锥也是多面体,三棱锥是最简单的空间几何体之一.学习棱锥可从观察一些常见的棱锥 模型和图片出发,观察组成这些几何体的面,形成对棱锥的直观认识,概括出它们的共同本质 特征,从
9、而导出棱锥的概念.加深对棱锥概念的理解,可从制作棱锥模型入手去认识棱锥,还可通过利用截面分割棱 柱入手去认识棱锥,还可通过变式训练去认识,如有一个面是多边形,其余各面都是三角形的 几何体一定是棱锥吗？3.柱、锥、台之间的关系怎样？剖析剖析: :依棱台概念可知,棱台是由棱锥用平行底面的平面截得的几何体,所以检测几何体是否 为棱台,关键是延长侧棱看各延长线是否交于一点.将棱台各侧棱延长后交于一点,即产生棱锥.故棱台也可以看作是用平行于底面的平面 去截棱锥而夹在平面与底面之间的部分几何体.将棱柱一底面缩小为一个点即得棱锥,将棱锥用平行底面的平面去截可得棱台.因此,常将棱 台问题转化为棱锥问题来解决.
10、棱台和圆台统称为台体,它们都是由平行于锥体的底面的平面而截得的.因此,有关台体 的问题常常转化为锥体的问题来解决.由定义上可以知道,台体的分类方法与锥体的分类方人教 A 版 2017-2018 学年高中数学必修 2 知识导航学案3法完全相同,因此,我们可以在认识锥体与台体的关系的基础上,通过自己的探究,获得对台 体的结构特征的认识.人教 A 版 2017-2018 学年高中数学必修 2 知识导航学案41.21.2 空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图和直观图知识梳理知识梳理1.“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物体的前面向 后投影所得的图形称为正视图,自左向
11、右投影所得的投影图称为侧视图,自上至下投影所得 的投影图称为俯视图.用这三种视图即可刻画空间物体的集合结构,这种图称之为三视图.2.我们经常用斜二测画法画出几何体的直观图,用此方法画直观图,关键是掌握水平放 置的平面图形的画法,它的步骤是:(1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O,画直观图时,把它们画成对应 的 x轴与 y轴,两轴交于点 O,且使xOy=45(或 135),它们确定的平面表示 水平面.(2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x轴或 y轴的线段.(3)已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于 y
12、轴的线段,长度为 原来的一半.3.空间几何体的直观图和三视图有着密切的联系,我们能够由空间几何体的三视图得到 它的直观图,同时,也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图.4.从投影角度看,三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间 图形.5.平行投影的投影线互相平行,而中心投影的投影线相交于一点.知识导学知识导学要学好本节内容,首先应复习初中学过的简单空间图形的三视图,在此基础上能画出空 间简单图形组合体的三视图,进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能.三视图画法的要点是:正、俯视图长对正;正、侧视图高平齐;俯、侧视图宽相等.用斜二测画法画水平放置的平面图形的关键是确定多
13、边形的顶点.因为多边形顶点的位 置一旦确定,依次连结这些顶点就可画出多边形来,因此平面多边形水平放置时,直观图的画 法就可归结为确定点的位置的画法.疑难突破疑难突破1.什么叫三视图？三视图是根据什么原理画出来的呢？剖析剖析: :三视图是从三个不同的方向看同一个物体而得到的三个视图.为了使空间图形的直观 图更能直观、准确地反映空间图形的大小,往往需要把图形向几个不同的平面分别作投影, 然后把这些投影放在同一个平面内,并有机地结合起来表示物体的形状和大小.通常,总是选 取三个两两互相垂直的平面作为投射面,如图 1-2-1,一个投射面水平放置,叫水平投射面, 投射到这个平面内的图形叫俯视图.一个投射
14、面放置在正前方,叫直立投射面,投射到这个平 面内的图形叫正视图.和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面,通常把这人教 A 版 2017-2018 学年高中数学必修 2 知识导航学案5个平面放在直立投影的右面,投射到这个平面内的图形叫侧视图.图 1-2-1 是一个长方体的 三视图,正视图是一个矩形,表示长方体的长度和高度;它的俯视图也是一个矩形,它表示长 方体的长度和宽度;它的侧视图同样也是一个矩形,它表示长方体的宽度和高度.把这三个投 影图放在一个平面内,如图 1-2-2 就是一个三视图.图 1-2-1 图 1-2-2(1)正视图反映物体的主要形状特征,是三视图中最重要的视图;俯视
15、图要与正视图对正;侧 视图要画在正视图的正右方,高度方向要与正视图平齐,俯视图与侧视图共同反映物体的宽 度,宽度要相等.(2)三视图的排列规则是:先画正视图,俯视图安排在正视图的正下方,长度与正视图一样,侧 视图安排在正视图的正右方,高度与正视图一样.(3)当物体形状复杂时,三视图还不足以反映它的大小和形状,还需要更多的投射平面,或者 分解成几部分分别画三视图.要掌握空间图形的三视图,首先要掌握平行投影与正投影这两个概念.平行投影:已知 图形 F,直线 l 与平面 相交(如图 1-2-3).过 F 上任意一点 M 作直线 MM平行于 l,交平面 于点 M,则点 M叫做点 M 在平面 内关于直线
16、 l 的平行投影(或象).如果图形 F 上的 所有点在平面 内关于直线 l 的平行投影构成图形 F,则 F叫做图形 F 在 内关于直 线 l 的平行投影.平面 叫做投影面,l 叫做投影线.平行投影的性质:当图形中的直线或线段不平行于投影线时:a.直线或线段的平行投影仍是直线或线段;b.平行直线的平行投影是平行或重合的直线;c. 平行于投射面的线段,它的投影与这条线段平行且等长;d.与投射面平行的平面图形,它的投 影与这个图形全等;e.在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的 比.图 1-2-3正投影:在物体的平行投影中,如果投射线与投射面垂直,则称这样的平行投影为正投影人教 A 版 2017-2018 学年高中数学必修 2 知识导航学案6(如图 1-2-4).图 1-2-4容易知道,正投影除具有平行投影的性质外,还有如下性质:a.垂直于投射面的直线或线 段的正投影是点.b.垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部
