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1、第卷第期信号 处理产生相关时间序列的布朗桥方法及其应用危罗全朱洪波南京邮电大学通信与信息工程学院,南京摘要在对无线信道的仿真分析中,需要构造出具有一定统计特性和相关关系的时间序列。针对电磁波在无线信道中的传播特点,使用布朗桥过程产生相关时间序列,构造出建模相关散射无线信道特征参量的基本随机变量。对布朗桥过程产生时间序列的相关特性进行仿真分析,发现调整布朗桥过程中布朗运动的方差,可以改变该时间序列的相关特性。分别研究了由自由布朗桥过程和有约束布朗桥过程的时间序列产生基本随机变量的统计特性。结果表明,有约束布朗桥过程产生的随机变量的统计特性,与相应的约束条件密切相关低跳跃次数基本随机变量的概率密度
2、分布,显示出明显的局部偏好性。关扭词无线通信布朗桥时间序列无线信道一甲一叨】刊旧旧叱,山,八加衍沈,能衍衅毗 蜘功叫护加,叮司衍助衍成司欣】,助司”曰日。妞公以城阮,晚功助必肠己硕阮拳叨加记峪双祀,伽以议,耐训讯曰二,钾此山初初 初二蜘衍回一本质上这是一种有约束的随机建模方法,约束条件为具有特 引盲二二二万万二一二二一下二 二一汉了,爪一二三止一二汉曰定降碍物分布的散射环境。对这种情况的处理目前一般采产生具有特定统计特性的相关时间序列在许多问题中用间接方法,即直接给出一个反映该约束环境即传播环境有重要的应用价值。例如在无线信道研究领域,对信道冲激中的散射体分布的随机变量的先验分布,使用宽平椒非
3、相响应的研究,需要对多径分量到达的时延,以及每个多径分关散射初石,明。耽曰,叱简称的信道增益进行建模,其统计特性在不同的传播环境中非的假设直接求得由该散射环境衍生出来的其他随机变常不一样。文献 魂使用随机徽分方程产生具有特定统计特量的统计特性。但在许多室内传播环境中,分布的散射体无性的时间序列,对通信系统仿真具有重要的参考价值。但这法使用一个概率密度分布来完全描述。这时如果再采用引种方法缺乏与实际问题物理背景之间的联系,而实际问题的人先验分布的间接方法来处理就会失效,因此必须寻找新的物理背景在无线信道研究领城非常重要。目前已经开始在可以描述约束环境的随机变量,研究其各种统计特性。我们无线信道研
4、究中融合确定性建模方法和随机性建模方法,把满足一定约束条件的随机变量称之为有约束的随机变。收稿日期年月日修回日期拓年月日基金项目国家自然科学基金重点项目以抖小闭国家自然科学基金项目印教育部新世纪优秀人才支持计划一教育部博士点基金项目的第期产生相关时间序列的布朗桥方法及其应用言勺呢口二二 一约束条件对随机变量产生影响后,该随机变量具有特殊的、与该约束条件紧密相关的概率密度函数。由于超宽带无线信道特性已经被认为是在具有随机性特征的同时,还具有明显的确定性特征困,因此它在超宽带信道 的建模 中特别有用。目前研究包括超宽带信道在内的许多信道间题,都使用的假设。在最近针对超宽带信道特性的研究中,已经发现
5、信号多径分量信道增益之间具有一定的相关性,表明传播信道内存在相关散射,这与经典的窄带 宽带信道的的假设发生矛盾,。因此需要寻找能够描述相关散射特性的随机变量。本文使用布朗桥过程产生具有特定相关关系的时间序列,研究由该时间序列生成的基本随机变量的各种统计特性,包括概率密度函数和自相关函数。以这种方式构造的基本随机变量可以建模相关散射无线信道的特征参量,这对于研究超宽带无线信道的传播特性和信道建模工作具有重要参考价值。理论墓础布朗桥过程布朗桥过程在研究经验分布函数和经济数学中有着大量的应用。布朗桥过程定义如下定义满足下面随机微分方程的解“。是一个布朗桥过程有加印即仍 九图有跳的布朗桥过程样本函数三
6、维空间中的一个布朗桥样本可以由三个分别代表三个维度的一维布朗桥样本的组合产生。例如起点在,终点在,三维空间中的布朗桥随机样本如图所示。才“一 一,一雀 二下下严瓜汾乡武 二、户、一, 二一、二声、二护工 扩,一,户声福之艺、苏。厂,尸、 一户声。毕书铃山二,。卜,二“飞飞飞 砚一“一 口 、二二一“ 岌岌岌岌岌岌岌岌岌岌岌岌岌岌二二二二,匕,叮劣式中是一个标准布朗运动。布朗桥过程实际上是满足限制条件狡之,。二。,心,。二的随机过程,此处。是样本点。布朗桥过程与一 个布朗运动密切相关。布朗运动定义如下定义随机过程甲二。如果满足平二平二。有独立的平稳增量个七 。,平一浑,。当,二时,下称为标准布朗
7、运动。从式可以求出,卜卜李卜“专十一孔六二对每上式中几六“,是过程,即积分意义下的随机积分 “。文献证明它是一个软,且具有高斯性。起点和终点均在零点、有跳的布朗桥过程的一个样本函数如图所示。自由布朗桥过程当布朗桥过程样本的跳跃点完全随机决定时,把这种布朗桥过程定义为自由布朗桥过程。在无线信道的传播环境中,散射体呈现均匀分布时,可以用自由布朗桥过程对从发射机发出,接收机接收,经过次反射过程的电磁波进行建模川。图三维空间中低反射次数的布朗桥过程样本有约束布朗桥过程有约束布朗桥过程是对自由布朗桥过程样本函数进行约束的随机过程,约束条件为特定传播环境的几何描述,使得每次射线发生反射的点都在障碍物的表面
8、川。例如在一个室内环境或与室内环境相近的环境中,房间的个面、以及各个障碍物的表面,都是能够使光线发生反射、散射或绕射作用的面。在无线信道的传播环境中,存在特殊分布的散射体时,可用该过程对经过次反射过程的电磁波进行建模川。自由布朗桥过程中的布朗桥样本,如果同时满足以下三个条件,即为约束布朗桥过程的样本判断该路径的反射点是否在障碍物的表面上。反射点不在反射面上该条路径无效判断该路径在途中是否穿过了某个障碍物,穿过阵碍物的路径无效判断该路径在传播过程中发生的连续两次反射是否发生在某个障碍物的同一个表面上。如果发生此种情况,则该路径无效。满足以上约束条件的样本即可形成有约束布朗桥过程。可以看出,这三个
9、判据和射线追踪法中有效射线的判据非常相似。在实际有效路径选取过程中,随着反射次数的提信号处 理第卷高,约束条件会越来越严格,这种严格性体现为算法的计算成本呈指数增长。如果约束条件即传播环境中障碍物的坐标构成的集合记作,则有约束布朗桥过程定义如下“,。“,。二、,。,一李“,。,一 二、,。,二,从产生有约束布朗桥过程的过程来看可以发现,由该过程产生的随机样本,是自由布朗桥过程中的布朗桥样本的一个子集。因此,若记所有由有约束布朗桥过程产生的随机样本构成的集合为,所有由自由布朗桥过程产生的随机样本构成的集合为,显然继承了中样本的相关特性,但是其它统计特性已经发生变化。中元素的统计特性,与约束条件密
10、切相关不同的约束条件产生的集具有不同的统计特性,其统计特性可以通过数值仿真得到。布朗桥过程产生的时间序列布朗桥过程的样本在无线信道建模中特别有用,其内蕴的跳轨道可以描述经历次反射过程的电磁波,川。记有跳的维布朗桥样本为,。,其各个跳跃点构成一个集合,记作,。,二,川,该集合构成一个时间序列。两个或多个随机变量之间的相关性,可以使用其联合分布函数和单变量分布函数间的关系来判断 由某个随机变量离散采样得到的时间序列样本之间的相关性,可以由样本之间的自相关函数来判断。理论上相互独立的样本具有单位冲激的自相关函数”过某种映射规则,由基本随机变量可以构造出无线信道的一些特征参量。例如把当作电磁波在信道中
11、经过的路程长度,以及式样本所携带的跳跃信息,就可以构造出多径时延,多径抽头增益等,这对于无线信道的研究特别有用。通过式构造的基本随机变量,由于该式描述的函数是一个非线性映射,使得的概率密度分布不再具有高斯性 ,其样本之间的统计相关性也会发生变化。仿真结果与分析布朗桥过程产生时间序列的相关特性图为由图所示的布朗桥过程所生成时间序列的样本之间的自相关特性。从图可以看出,通过布朗桥过程生成的时间序列具有明显的相关性,这种相关性的大小由产生布朗桥过程的布朗运动的方差决定。由于当时间序列由自由布朗桥过程产生时,样本的跳跃点是完全随机的,因此在同样的方差条件下不同时间序列的凡变化较大 当时间序列由有约束布
12、朗桥过程产生时,样本的跳跃点受到约束,使得在同样的方差条件下不同时间序列的。的变化很小。人蓄,尹匆矛一一、龟产了、月布朗桥过程产生时间序列样本间的自相关系数即又详,以口任意一个随机变量的样本之间的自相关系数的估计值是从一组样本即离散采样得到的观察值、,二,中取相隔为的各对观察值并求其均值。每一个自相关系数有估计值,份一,仪“万丁目石气名一 劣苏,一写,“,土 ,一土、月一对进行归一化就可以得到该时间序列样本之间的自相关关系,记作。若本随机变,取布朗桥样本在维空间的距离作为变量,记作。由于为随机变量的非线性映射,因此式是随机的”,可以称之为基本随机变量。定义基本随机变量如下或二孟 瓜,“一,。左
13、其中,。为时间序列的样本。由于由时间序列通过函数映射而产生,因此构造不同布朗桥过程的时间序列可以产生不同的 式,得到具有不同统计特性的基本随机变量。通基本随机变的概率密度分布甚本随机变的统计特性由于在信道传播特性的建模中起主要作用的是低反射次数的电磁波,因此本文主要研究低跳跃次数的布朗桥过程样本。设布朗桥过程的起点在,终点在,记第期产生相关时间序列的布朗桥方法及其应用霎刁犷一一亨一一六了一一订一一交尸一基本随机变量样本之间的自相关函数图自由布朗桥过程构造基本随机变量的统计特性在三个维度上产生布朗桥过程样本的布朗运动方差向量为。进行统计分析时从的最小值到最大值间取个等分间隔。自由布朗桥过程令二,
14、二,样本总量为,二,解。自由布朗桥过程产生的样本构造的基本随机变量的概率密度分布如图。所示,样本的均值为,均方差为巧。观察人曲线,可以发现它不是严格的高斯分布,具有类似莱斯分布的规律。图给出了基本随机变量样本之间的自相关关系,易见在该样本之间不存在明显的相关性。解决实际问题时,通过改变布朗运动平样本方差的大小和布朗桥过程的跳跃次数,可以得到具有特定概率密度分布的基本随机变量。有约束布朗桥过程假设有约束布朗桥过程的约束环境如图所示,图中和分别表示有约束布朗桥过程的起点和终点。该图可以视作一个室内信道传播环境的几何描述,在一个封闭的环境中随机分布着个障碍物。当时,二,样本总量为,二,。在图。所示的
15、约束环境下,由有约束布朗桥过程产生样本构造的基本随机变量乙 的概率密度分布如图所示,样本的均值为的,均方差为。当时,二,样本总量为乃田,二,。在该约束环境下由有约束布朗桥过程产生样本构造的基本随机变量的概率密度分布如图所示,样本的均值为对,均方差为。比较图和图,可以发现二时基本随机变量的概率密度分布严重偏离高斯分布,显示出明显的局部偏好性,这些局部偏好与约束环境密切相关。二时概率密度分布也偏离高斯分布,不过偏离程度不十分严重。这说明在该约束环境中使用布朗桥过程对信道建模时,在高次反射时样本的空间取向是无序的。图为二时基本随机变量样本间的自相关关系。与图进行比较可以发现,有约束布朗桥过程产生样本
16、继承了自由布朗桥过程产生的样本之间的独立性,与前面小节中关于有约束布朗桥过程的分析相一致。讨论产生相关时间序列的常用方法有直接使用随机徽分方程构造“,把白噪声进行非线性变换,使用最小均方诊波器汇等,以此来构造具有相关特性的信道参。这些方法对通信系统仿真带来很大的方便,但都是唯象的和先脸的方法,缺乏与实际问题物理背景之间的联系。通过式或式描述的布朗桥过程或有约束布朗桥过程样本构造出的时间序列,它具有一些非常好的性质 首先,可以根据实际间皿的需要,通过改变布朗桥过程中布朗运动的方差,得到其有特定相关关系的时间序列。这个性质其他方法也能够其有。其次,由该方法生成的时间序列具有明确的物理意义。时间序列间的相关性体现了所传播信道内散射体
