线代经验分享(习题全解)

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1、线性代数经验分享线性代数也是比较难的一门学科,希望大家重视起来。分数不是最重要的,基础学 好才是关键。学好线性代数对我们软件学院的同学也是非常重要的。所以我想分享我的 经验,告诉大家重点在哪儿,重点值得多花点时间去理解和记忆。 线性代数中的概念不少,但是不需要死记,考试一般只考计算,不会考记概念的破 题目。 书上的题目不多,如果有时间的话建议全部做完,我会在每一节的下面提供题目的 答案,基本上是全部有的,可能还会包括对一些例题的解释,供参考,有疑问可以私聊 QQ2802482801 我还提供了一些自己写的代码,没什么用处,仅仅给感兴趣的人随意看看而已。下面是正文:第 1 章 矩阵与行列式1.1

2、 矩阵及其计算1.1.1 的概念很多,需要掌握的事矩阵、行向量、列向量、主对角线、次对角线、对角阵、 单位矩阵、上三角阵、下三角阵、阶梯矩阵。 其中阶梯矩阵是最难理解的。这些概念理解就好,不会专门考的。 注意,不同型的零矩阵是不同的。 改错:第 4 页第 6 个矩阵的第一行有打印错误1.1.2 矩阵的线性运算是非常简单的,应该没什么问题。1.1.3 矩阵的乘法,非常非常重要。 第 5 页最后一行说 1 阶矩阵是一个数,其实不一样,但是为了方便本书都不做区分。 注意第 6 页下面,(1)交换律不成立,(2)AB=O 不能推出 A=O 或 B=O,(3)消去 律不成立。 第 7 页下面的运算规律需

3、要理解并熟记。 矩阵多项式是高等代数的内容,不用管它。1.1.4 矩阵的转置也非常重要。对阵矩阵也是常见的概念,不过反对称很少看到。1.1.5 不学1.1.6 很少用到例题和习题1.2 行列式 行列式的内容和本书其他章节联系不多,因为行列式的应用比矩阵少很多。 这一节的内容很多,而且说实话,课本写的有点混乱,或者说有点复杂。 总之,只要知道行列式怎么计算,掌握计算的技巧就好。 注意一点,行列式的加法和矩阵的加法是不一样的。1.2.1 中的概念比较难,不过没什么用,注意一下 tr 即可1.2.2 首先注意到所以这里面的行列式的定义不用管(反正我不是很理解),只要理解定理 1.4 就好。 实际上定

4、理 1.4 也没什么用,基本上被 1.2.4 中的内容代替了。 定理 1.3 和定理 1.5 比较重要,计算行列式时常用的技巧。1.2.3 行列式展开定理是计算行列式最常用的方法。 其实计算行列式基本上就 2 种方法,一种是 1.2.3 节的方法,一种是 1.2.4 节的方法。 在下面 2.3 节里面有写求行列式的代码。1.2.4 非常重要! 讲的是用排列的奇偶性来定义行列式的方法,相对 1.2.2 来说比较简单,而且用来推导行列 式的性质比较方便。 第 4 目行列式的性质都是用排列的奇偶性推导出来的,不难,需要理解推导过程,不然很难 掌握怎么应用。 改错:39 页下面 D=那个大行列式里面写

5、错了例题和习题1.3 克拉默法则 1.3 和 2.5 和 3.3 都是在讨论系数矩阵和方程组的解的关系,这 3 节内容联系紧密。 克拉默法则的表达式并不重要,重要的是如何用它推导出定理 1.11 和 1.12 和 1.13习题 1.3习题 1改错:第 6 题的题干有一点点问题,3 条直线的方程用大括号括起来是不合适的第 2 章 矩阵的初等变换与线性方程组2.1 初等行变换比较重要,因为它是一种基本运算,就像小学学的加减乘除一样。 初等变换是把一个矩阵变成另外一个矩阵,变换前后的 2 个矩阵关系非常密切, 我们用“等价”这个概念来描述。习题 2.1其实一点都不难,就是计算有点繁琐。 可以发现初等

6、变换的步骤和解线性方程组的消元法是完全对应的。2.2 矩阵的标准形 这一节只有 1 个定理:非零矩阵都用初等变换可以化成标准形。 在后面 2.4 节我们会学到,r 是可以算出来的,是唯一的,故标准形是唯一的。 后面也会看到化成标准形的好处。现在只要学会怎么化就可以了。通用解法一共分成 3 步:(1)化成阶梯形矩阵(2)化成规范阶梯形矩阵(3)化成标准形 化成阶梯形矩阵和规范阶梯形矩阵的结果都可能有很多种,不同的方法得到的形式不一样。假设矩阵是 m*n 的(本文档中默认) (1)化成阶梯形矩阵(阶梯形矩阵除了上面的 r 行之外,全部是 0)先交换列,使得第一列不全为 0,再交换行,使得11a不为

7、 0再把第 1 行除以11a,使得11a=1,再用行变换使得1 ia=0递归调用上面的方法把第 2 至 m 行,第 2 至列化成阶梯形矩阵。 (2)化成规范阶梯形矩阵:只需要用列变换的第(iii)个即可 (3)化成标准形 先用列变换的第(iii)个,使得矩阵中只有 r 个数不为 0 再用(ii)全部变为 r 个 1,最后交换行和列即可下面是用 3 个函数实现 3 个步骤的代码#include “stdafx.h“ #include using namespace std;int m, n; void display(double *l) cout m n; double *l = new do

8、uble*m+1; for (int i = 1; i lij; f1(l, 1); display(l); f2(l); display(l); f3(l); display(l); system(“pausenul“); return 0; 手算和计算机算有 3 大区别:1,计算机中的是 double,没有我们用分数来表示的准确,甚 至出 bug,2,计算机算的过程不灵活,计算方法和顺序是固定死的,所以经常出现难算的 除法,手算的时候会灵活很多,3,在很多地方,计算机的计算并不是完全按照初等变换的 顺序处理数据,和二维动态数组在计算机中的存储有关。上面就是完整的通用解法,然而实际上为了简化

9、运算,我们经常不按照上面的顺序,看具体 情况灵活变换,如习题 2.2 习题 2.22.3 初等矩阵与逆矩阵 定理 2.3 有点抽象,在线性代数中没什么用。 伴随矩阵和逆矩阵很重要,考试有时候直接考求伴随矩阵和逆矩阵。 51 页的性质也都比较重要。 求逆矩阵有 2 种方法,54 页中间通过初等行行变换的方法要方便很多。下面的代码包含了求行列式的值,求伴随矩阵,求逆矩阵 3 个功能 #include “stdafx.h“ #include #include using namespace std;int m; void display(double l20)/输出矩阵 for (int i = 1

10、; i m ) if (m = 20) cout lij;/输入矩阵 computeAdjointMetrix(l, adjointMetrix);/计算伴随矩阵 cout nul“); return 0; 定理 2.7 和 2.8 不会考,但是它是通过初等行行变换的方法可以求逆矩阵的原理。 53 页倒数第三行的 AE 需要解释一下,可逆矩阵都是等价于同阶 E 的,这个定理用目前学 到的知识是可以推出来的。我以前成功过,不过现在已经大二了,不记得具体步骤了,只记 得有点麻烦。这个就忽略掉,学到后面自然就明白了,至于有没有逻辑循环,学到后面自然 也明白了。习题 2.3像 T2 这种题目一定要非常

11、注意,计算乘法的时候,哪个矩阵在左边,哪个在右边这 2 个题目比较难,但是很重要,希望大家最起码一定要理解这个解答过程。2.4 矩阵的秩 57 页写到,对于行阶梯矩阵,它的秩等于非零行的行数。 定理 2.10 又指出,等价的 2 个矩阵的秩相等,即初等变换不改变矩阵的秩。 所以求矩阵的秩可以先把矩阵化成行阶梯矩阵,然后秩就等于非零行的行数。 前面 2.2 中出现的 r 就是秩。习题 2.4T1 找例子的时候我发现一个问题,虽然初等变换不改变行列式的值是否为 0 ,但是会改 变子式的值是否为 0,所以找例子的时候不能先用初等变换化简。 T2 的理由我就不写了,学到后面用另外的方法求秩就知道了。(

12、在 3.1 节)2.5 线性方程组有解的判定定理 定理 2.13 可以换一下说法,把非齐次三个字去掉。 不管是解齐次方程还是非齐次方程,都只能用行初等变换。 其实用列初等变换也可以解方程,但是要记录每一次的换元规则,非常非常麻烦。习题 2.5习题 2 改错:T2 最后四个字“的标准形”改成“成为 A 的标准形” 补充:T4 可交换指的是满足 AB=BA 这个等式。T2 答案不唯一,我给出的这 6 个矩阵和书后面的答案不一样,都可以。甚至 L 和 t 的值可 能都不唯一,这个我就不清楚了。 T3 没有用行变换的方法是因为,三阶矩阵求伴随矩阵是很方便的,而且 A 和 B 里面都有 2 个 0,所以

13、计算很简单。有一个小技巧,B 的第一行乘以 B*的第一列就直接得到了|B|.第 3 章向量的线性相关性与向量空间3.1n 维向量 重点在于线性相关的概念,还有线性表示的概念,这 2 个是互通的。(定理 3.1) 定理 3.2 是后面定理 3.5 的一个特例。3.1.3 目的内容比较多,不是很常用,只有等价和最大无关组(也叫极大无关组)这 2 个概 念比较重要。 3.1.4 目非常重要,用向量组来定义秩是非常方便的,可以解决好多问题。 定理 3.5 指明,最大无关组的数目就是矩阵的秩,没有说明是行向量组还是列向量组,其实 根据定理的证明过程可以看出来,不管是行向量组还是列向量组,秩都等于矩阵的秩

14、。 后面的证明定理 1.5 的过程要全部写出来也是很繁琐的,所以说这一段没什么用。习题 3.13.2 n 维向量空间 这一节比较抽象,我们非数学专业的对这个要求不高,只要知道,满足向量加法和数乘的就 是向量空间就好了。比较重要的是,什么是标准正交基,如何进行施密特正交化过程。习题 3.2此处 T4 可以忽略,我个人认为这个题目本身是犯了逻辑循环的毛病的。3.3 线性方程组的解 这一节是一个分水岭。 前面 3 章讲的是矩阵和行列式以及线性方程组,也就是一些基本运算和基本变换。 其中,线性方程组的内容分散到了 1.3 节和 2.5 节和 3.3 节,也就是每一章的最后一节。 这一节可以算是一个总结

15、,把 1.3 节和 2.5 节的内容都涵盖进来了。 所以这一节非常重要,必考。 后面 2 章讲的是特征值、对角化和二次型,也就是矩阵的内在性质和高级应用,有点难。 内容上,基本上是建立在前面 2 章的基础之上的。 如果已经忘了,赶紧复习复习!改错: P79 最下面,应该是定理 2.12 而不是 2.10 P80 第四行,应该是列数而不是行数。 P85 例 3.11 的证明里面第一行,x 应该是列向量而不是行向量。 (我不太确定,有不同意见的欢迎私聊我)习题 3.3此处需要说明的是,基础解系是不唯一的,所以通解的形式也是不唯一的(书上 85 页有讲)改错:T8(2)的第三个方程掉了一个+4x习题

16、 3T4 的第二行这个变换,非常整齐而且对称(离散数学中的对称,不是几何中的对称) 在数学的各个分支中,这种变换都被称为反演。T7 到 T10 这 4 个题目的难度很大,可以说是本书中最难的题目,因为用到了太多的定理, 综合性比较强,后面 2 章的题目并没有这么难,不用太担心。 T7 曾经是我们的一次考试的题目,当时因为时间关系,我没有做出来。当时我随便写了一 点推理,其实并不对,但是这个题目我还是得了全部的分数。9 个月之后的现在,我再次做 这个题目,如果不是笔记本上面有这个定理(下面的拓展题)真的做不出来。第 4 章和第 5 章的内容是非常有效的工具,以后做项目的时候就会发现,矩阵、特征值等知 识的运用远远比你大一的时候想象的要多的多! 因为这 2 章是揭示矩阵的内在性质的, 而我 们存储数据的时候用矩阵用的太多太多了, 通过分析特征值等性质, 会获得大量关于我们研 究的对象的有用信息。第 4 章 特征值与矩阵对角化4.1 正交矩阵与正交变换对于 P92 的 4 个性质,我稍微说下证明方

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