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1、第八届全国振动理论及应用学术会议论文集，上海，2003 年 11 月 结构动力失稳的一个实用判别准则 结构动力失稳的一个实用判别准则 邓长根，周毅锋 （同济大学，上海 200092） 摘摘 要： 要： 本文提出了一种基于总能量的结构动力失稳实用判别准则。 该准则适用于存在不稳定屈曲后平衡路径的结构，实现了结构静力失稳判别到动力失稳判别的自然过渡。这一准则集成到杆系结构非线性动力稳定性分析程序中，其正确有效性得到了 Williams 刚架动力稳定性分析算例的验证。 关键词： 关键词： 动力失稳；判别准则；有限元法；实用方法 A Practical Discriminant Criterion f
2、or Structural Dynamic Instability DENG Chang-gen, ZHOU Yi-feng (Tongji University, Shanghai 200092) Abstract: Based on structural total energy, a practical discriminant criterion for structural dynamic instability is proposed. This criterion is applicable to structures with unstable postbuckling equ
3、ilibrium paths, achieving the natural transition from discriminating static instability to discriminating dynamic instability. The criterion is integrated into a nonlinear dynamic stability analysis program for skeletal structures, and its validity is confirmed by an example of the Williams frame. K
4、ey words: dynamic instability; discriminant criterion; finite element method; practical method 1 引言引言 近年来，在结构工程领域，越来越多的学者关注结构在动力荷载下的稳定性。纵观国内外的文 献资料，虽然已经发表了不少有关结构动力稳定性研究的论著，但是仍然有一些难题有待解决。例 如，结构在地震、风荷载等任意动力荷载作用下的动力稳定性问题非常复杂，仍然没有得到比较好 的解答，动力稳定性判别准则是难点之一。由于结构的动力稳定性受到荷载形式、结构形式等因素基金资助：国家自然科学基金资助项目(5957800
5、2) 作者简介：邓长根(1962 )，男，江西南城人，教授，博士生导师，工学博士 1 的影响，因此，建立普遍适用的动力稳定性判别准则非常困难。 本文针对具有屈曲后不稳定平衡路径的结构，提出了一种基于结构总能量的动力稳定性实用判 别准则。首先，从最简单的单自由度保守系统非线性自由振动模型出发，通过数学力学推导，得出 了一种同时适用于结构静力稳定性和动力稳定性问题的能量判别准则。 主要步骤如下： (1) 在某一静 力荷载作用下，确定结构在不稳定屈曲后平衡路径上的平衡位置，计算此时对应的结构势能，以此 作为结构动力失稳临界总能量。 (2) 在相同的静力荷载作用下， 计算或估算结构在自由振动过程中的
6、总能量(势能动能)最大值，将其与临界总能量比较，来判断结构是否丧失了动力稳定性。接着，把 该准则推广到在冲击荷载、简谐荷载和随机荷载等外部激励作用下的结构动力稳定性判别。最后， 简介了相应的杆系结构非线性动力稳定性分析程序，并给出了一个简单的算例。 2 单自由度保守系统的动力稳定性单自由度保守系统的动力稳定性 以侧支倒臂(Propped cantilever)1模型(图 1)为例， 推导单自由度 保守系统的动力稳定条件。 模型图中弹簧的刚度为k； 刚性杆件长度 为l；初始缺陷为(刚性杆的初始位置与竖直方向的夹角)，此时弹 簧内力为零，弹簧对杆件端部不施加任何作用力；竖向外荷载为P； 在杆端有一
7、集中质量m，忽略杆件质量；地面上有水平激振；不考虑阻尼的影响。 gx & &2.1 静力稳定条件静力稳定条件 侧支倒臂在任意状态下的无量纲总势能(应变能+外力势能，以初始位置为参考点)函数为2： ()(21( , )sinsincoscos2u pupu) = =+ (1) exaayBA mPuxglk图 1 侧支倒臂模型 Fig.1 The propped cantilever model 其中 u 为转角位移(以下简称为位移)，为初始缺陷，/pP kl=为无量纲荷载。 根据最小势能理，得到侧支倒臂模型的无量纲静力平衡方程： ()sinsincossin0uupu=u (2) 由静力平衡方
8、程(2)可以得到无量纲荷载 p 和转角位移 u 的关系式： sin1cosinspuu=(3) 图 2 为侧支倒臂在初始缺陷0.05=时的静力平衡路径图。 图中是一个临界点， 对应的荷载mSmp为临界荷载，对应的位移为临界位移。当mumuu0mppp=。 eebecebbueccueceb2.2 动力稳定条件动力稳定条件 侧支倒臂模型非线性自由振动问题的无量纲动力平衡方程为2： ()202sinsincossin0d uuupds+=u (5) -15-10-50510150.00.10.20.30.40.5u,e(10-4)eu曲线=0.01u曲线(2) (p0=pm=0.931)u曲线(1
9、) (p0=0.900； 在点处，cS220u bc0bhh0bhh=0bhh0bhhh0p，鞍点的势能为判别系统在振动时是否稳定的临界势能。现将动力稳定条件归纳如下： cS(1) 时，动力稳定，初始平衡点为中心，相轨线是围绕中心的闭曲线，系统在初始平衡点邻域的振动是稳定的； 0chh综上所述，非线性保守系统任一时刻振动状态的稳定性判别，关键是确定系统相轨线的鞍点， 它对应着势能取极大值的静力平衡点，并且势能极大值等于系统的初始总能量h0。 3 多自由度系统动力失稳的能量判别准则多自由度系统动力失稳的能量判别准则 3.1 保守系统动力失稳的能量判别准则保守系统动力失稳的能量判别准则 对于具有屈
10、曲后不稳定平衡路径的个自由度的结构， 设n(T 0012,np) =PK为给定荷载水平0p时的荷载列向量，为节点初始位移列向量，为节点位移列向量，为临界节点位移列向量，(T010200,nuuu=UK)()T12,nu uu=UK(T12,cccncuuu=UK00tddt=UU&为节点初始速度列向量，ddt=UU&为节点速度列向量，为结构初始总体刚度矩阵，K为结构总体刚度矩阵，为临界点处的结构总体刚度矩阵，M为结构总体质量矩阵。 0KcK4 结构动力失稳临界总能量定义为结构在给定荷载水平下静力屈曲后不稳定平衡位置处的总势能(应变能+外力势能)： ch0PcUT cc01 2cch =U K
11、UP UT c (12) 结构振动初始状态的总能量定义为结构在初始状态的动能、应变能和外力势能的总和： 0hTT 000000011 22h =+U MUU K UP U&T 0 (13) 结构振动过程中的总能量定义为结构在振动过程中的动能、应变能和外力势能的总和： hTT 011 22h=+U MUU KUP U&T)(14) 由保守系统的能量守恒定律可得：。保守系统动力失稳的能量判别准则为： 0(hhC=常数0chh (15) 如果满足判别式(15)，结构动力失稳。如果不满足判别式(15)，结构保持动力稳定。综上所述， 某一结构在保守力作用下，根据结构在静力作用下的稳定性分析结果和结构振动
12、的初始状态，按照 动力失稳的能量判别准则就可以判断结构是否会动力失稳。 这就大大方便了结构动力稳定性的评判。 3.2 非自治系统动力失稳的能量判别准则非自治系统动力失稳的能量判别准则 为了把上述适用于保守系统的动力失稳判别准则推广到非自治系统,本文提出以下假设：外部激 振输入使结构不断地振动，当结构在振动过程中的总能量首次达到上文定义的动力失稳临界总能量 时，外部激振停止作用。这一时刻称为临界时刻，这种外部激振称为能量阈值截断激振，简称为截断激振。这种截断激振不考虑外部激振对结构动力稳定性可能有利的作用，是导致结构在幅值相 同、初始波形相同的一类外部激振作用下最早发生动力失稳的一种波形。对于实
13、际的地面激振(地震 波)输入,其激振输入随时都可能中止,所以本文的这一假定是合理的。当外部激振停止作用后,结构进 入了自由振动状态，是一个保守系统，因此上文提出的能量准则就可以顺利地推广到非自治系统。 ch综上所述,在截断激振假设下，结构动力失稳的能量判别准则为：在外部激振(简谐荷载、随机荷 载)作用下， 当结构振动时的总能量大于等于结构动力失稳临界总能量时， 结构将发生动力失稳： hchchh (16) 4 动力稳定性分析程序和算例动力稳定性分析程序和算例 作者编制了杆系结构非线性动力稳定性分析程序，并集成了上述动力失稳能量判别准则，可进 行杆系结构的静力稳定性分析、静力平衡路径跟踪、结构自
14、振频率分析、结构自由振动分析和外部 激励荷载作用下的动力时程分析。程序在对结构进行静力平衡路径跟踪时，考虑到弧长法的适用 性，也可以让用户选择不同的弧长法。程序能够顺利地度过临界点进行屈曲后平衡路径跟踪。 结构动力时程分析采用四阶龙格-库塔法的计算格式，能够较精确地计算出结构的动力响应。 应用该程序进行了一系列考题和算例分析， 图 5 所示的Williams刚架是其中一个算例。 计算数据 取自文献4，其中，弹性模量E= 7.2409104 N/mm2，B= 328.75 mm，H=15 mm，采用矩形截面， 截面面积A= 118.045672 mm2，截面高 6.172 mm， 截面惯性矩 I
15、= 374.7319 mm4，质点m=5 kg，作 用竖向荷载P。 对Williams刚架进行静动力分析时 不计杆件的质量，不考虑m的重力作用，考虑大 位移小变形；在动力分析时，考虑m的惯性力作 用，不考虑阻尼。 图 5 Williams 刚架模型图 Fig.5 The Williams frame model 首先对 Williams 刚架进行静力路径跟踪，其 荷载-位移曲线和荷载-总势能曲线如图 6 和图 7。 5 结构的临界荷载Pm=357.81 (N)，结构存在不稳定屈曲后平衡路径，可以运用上述动力失稳的能 量准则判别结构的动力稳定性。 01002003004000510152025 u(mm)P(N)0100200300400-1.0-0.50.00.51.01.52.0 e(N-m)P(N)图 6 荷载位移曲线 图 7 荷载总势能曲线 Fig.6 The load vs. displacement curve Fig.7 The load vs. total potential energy curve 然后对Williams刚架进行自由振动时程分析，定义vudu dt=&。取外荷载P=P0=156.98 (N)， 求出动力失稳临界总能量为。考虑以下两种有代
