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1、 韦达定理的应用及推广韦达定理的应用及推广 一、一、韦达定理概述韦达定理概述 根据记载，在韦达那个年代，有一个角落们的比例是数学家提出了一个 45 次方程各国 数学家挑战各国数学家挑战。法国国王便将这个充满挑战的问题交给了韦达，韦达当即就 得出了一个正根，再由他研究了一晚上时间就得出了 23 个正根（另外的 22 个负根被他舍 了） ，消息传开，让当时整个数学界都为之震惊。在他阶梯式发现方程的根似乎与某些系数 有关联，因此他就对此进行了一系列的研究，在不久以后发现了伟大的韦达定理。 韦达定理：在一元二次方程2+bx+c=0（a）中，当时，则原方程的两根 0 2 4 满足以下规律1+ 2= 12
2、= ?韦达定理的逆定理：如果 x1，x2满足，那么 x1，x2是一元二次方程1+ 2= 12= ?2+bx+c=0（a）的两个根 0二、二、韦达定理的证明韦达定理的证明1.求根公式法：根据将2+bx+c=0（a）配方得到的x1,2可得 0= 2 421+ 2= +2 42+ 2 42= 2 2= 1 2=（ +2 42 2 42）=2 （2 4)42=442= 2.同解方程法 ： 若2+bx+c=0（a）的两根为 x1，x2，那么知道2+bx+c= 0)( 1)( 2左边=2 1 2+ 12= 2 (1+ 2) + 12比较系数知： x1+ x2=，x1= (1+ 2)= 12= 2与韦达定理
3、有关的推论：|1 2|=2 4|三、三、韦达定理的应用韦达定理的应用1.已知为一元二次方程2+bx+c=0的两根(1)求、 2+ 2，3+ 3，12+12， （2）求以和以1、1为根的方程(2+ + 1)、(2+ + 1)为根的方程解(1)：由韦达定理知 + = =? 2+ 2= ( + )2 2 =222=2 22+ =( + )3 3( + )=33+32= 3+ 33 =12+12=2+ 222=2 22222 22= =|（ ）2|=|2+ 2 2|=|2 222 |2 42=2 4|解(2)：由韦达定理知 + = = ?2+ + 1 + 2+ + 1 =2 22 + 2 =2 2 +
4、 222(2+ + 1)(2+ + 1) =22+ 2 + 1 +2 22=2+ 2+ 2 2 此方程为22(2+ 22 2 ) + (2+ 2+ 2 ) = 02. 证明恒等式： + 1 1+ + 12=(1+ 2)(1+ 2) 12( 1 1+ 22)证明：设,则2+Ax+B=0 的两根1+ 2= 12= 1、2为方程2 1= A1 B22= A2 B? + 1 1= A1 B 1 1 + 12= A2 B 1 2? + 11+ + 12= (1+ 1) ( 1 1+ 12) + 11+ + 12= (1+ 2)(1+ 1) 12( 1 1+ 12)3.已知 A、B 是方程的两个实数根42
5、 4 + + 4 = 0适当选取实数 a 的值，问能否使的值等于1( 2)( 2)5 4求使的值为整数的整数 a222+22解:此必为一元二次方程，那么 a-16a(a+4)=-64a01 0 = 162 0由韦达定理知 + = 1 = + 44?若( 2)( 2)= 54 9AB - 2(A + B)2=5 49 + 44 2 =54 52a = 36a + 36 = 9 0又 = 9 0 无满足条件的解 原式=2（ + ）3 3( + ) 1 + 44 3 =4 + 43 + 12 + 4= 1 16 + 4所以 a+4 被 16 整除 所以 a+4=且 1、 2、 4、 8、 16 0所
6、以满足条件的 a=-3，-5，-2，-6，-8，-12，-20 4.求证：不存在整数 a、b、c 使得方程都有两个整数根。2+ + = 0与方程（ + 1）2+( + 1) +( + 1)= 0解:反证法，若存在满足条件的 a、b、c 则由韦达定理知【1】和 【2】显然 a 与(a+1)必为一奇一偶1+ 2= 12= ?3+ 4= + 1 + 1 34= + 1 + 1?（1）当 a 为偶数时， （a+1）必为奇数，由【1】知 b、c 必为偶数，那么（b+1） 、 （c+1） 必为奇数，由【2】知两数之和为奇数两数之积也为奇数，但若两数之和为奇数， 那么必为一奇一偶，那么他们的乘积为偶数，与奇
7、数相矛盾 （2）当 a 为奇数时， （a+1）必为偶数，由【2】知(b+1)、(c+1)必为偶数，那么 b、c 必为 奇数，由【1】知两数之和为奇数两数之积也为奇数，同上知不存在这样的整数 综上所述，不存在这样的 a、b、c 5已知方程,证明：此方程有两个实数根，其中一根大2 3 + 2 2= 0,为实数且 0于 1，另一根小于 1。 解： = （ 3）2 4(2 2)= 1 + 42 0 且 方程有两个不相等的实数根，设他们为1,21 2由韦达定理知 1+ 2= 3 12= 2 2?(1 1)(2 1)= 12(1+ 2)+ 1 = 2 2 3 + 1 = 2 2 0 又 0 (1 1)(2
8、 1) 0 49 12因为 n 为正整数，所以 n 必为 1,2,3,4 经验证，当 n=1,2,3 时完全平方数；当 n=4 时，不为原方程为 所以2 16 60 = 01= 6,2= 10（,）= (6,10)四、韦达定理的推广四、韦达定理的推广 高次方程中的韦达定理：一元三次方程中的韦达定理，像上文中的同解方程法一样3+b+cx+d=0（a）的三设2 0根为1,2,3 易知 3+ 2+ + = ( 1)( 2)( 3)左右分别展开得:3+ 2+ + = 3 （1+ 2+ 3）2+ (12+ 23+ 31) 123比较系数得: 1+ 2+ 3= 12+ 23+ 31= 123= 依此类推也
9、可知在高次方程中一般情况下，如果一元 n 次方程+ 1 1+ 2 2+ + 1 + 0= 0( 0)的根为1,2,3那么再由同解方程法并展开比较系数后有如下结论：1+ 2+ 3+ + = 112+ 23+ 1= 2123+ 235+ 345+ 2 1= 3 123 1=( 1)0?这就是高次方程中韦达定理的形式。 应用：已知() = 3+ + 1为一个三次多项式，()也是一个三次多项式，满足（0）= 1，且() = 0的三个跟恰好是()=0 的三个跟的平方，求 g(9)的大小。解：3+ 02+ + 1 = 0 由韦达定理知1+ 2+ 3= 0 12+ 23+ 31= 1 123= 1?21+ 2 2+ 2 3= (1+ 2+ 3)2 2(12+ 23+ 31)= 0 2 1 = 2212 2+ 2 22 3+ 2 12 3=(12+ 23+ 31)2 2 123（1+ 2+ 3）= 1 2 （ 1） 0 = 1(123)2= 1所以原方程为()= 3+ 22+ 1 那么（9）= 93+ 2 92+ 9 1 = 899
