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1、 第一次习题课 第一次习题课 作业 1 二、设作业 1 二、设,A B C是三个随机事件，试用是三个随机事件，试用,A B C的运算关系表示下列各事件： 1的运算关系表示下列各事件： 1A发生，发生，B与与C不发生； (不发生； (ABC, , ABC ) 2) 2A与与B发生， 发生， C不发生; (不发生; (ABC, , ABC ) 3) 3A，B，C中至少有一个发生; (中至少有一个发生; (ABC, ,ABC+, ,SA B C) 4) 4A，B，C都发生; (都发生; (ABC) 5) 5A，B，C都不发生; (都不发生; ( ABC ) 6) 6A，B，C中不多于一个发生; (中
2、不多于一个发生; ( ABBCAC) 7) 7A，B，C中不多于两个发生; (中不多于两个发生; (SABC, ,ABC) 8) 8A，B，C中至少有两个发生; (中至少有两个发生; (ABBCAC) 9. ) 9. A，B，C中恰有一个发生. ( 中恰有一个发生. ( ABCABCABC) (参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P2,例 2) ) (参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P2,例 2) 三、三、写出下列随机试验的样本空间 3记录一个班级一次考试的平均分数（以百分制记分） ； 写出下列随机试验的样本空间 3记录一个班级一次考试的平均分数（以
3、百分制记分） ； |0,1,2,100 ,mSmnn=?其中其中m表示班级所得总分，表示班级所得总分，n表示班级总人数; 六、试用事件运算公式证明下列各式： 1表示班级总人数; 六、试用事件运算公式证明下列各式： 1 AABABBAB=； 证明 由于 =； 证明 由于 ()ABBAB BABBBAB= ()ABA SBASABAAB= 所以 所以 AABABBAB= 22()()ABABABBAABAB= 证明 由于 证明 由于 ()()ABBAABBA= ()()()()()()ABABABABABABAABBAB=ABBA= 所以 所以 ()()ABABABBAABAB= 作业 2 五、从
4、 5 双不同的鞋子中任取 4 只，这 4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一 双的概率是多少？恰有两只配成一双的概率？(参考概率论与数理统计辅导，陕 西教育出版社，2009.6，P8,例 15) 七、朋友聚会，其中有作业 2 五、从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，这 4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一 双的概率是多少？恰有两只配成一双的概率？(参考概率论与数理统计辅导，陕 西教育出版社，2009.6，P8,例 15) 七、朋友聚会，其中有a位男士，位男士，b位女士，大家随机的围绕圆桌就坐，求 甲、乙两个人坐在一起（即座位相邻）的概率(参考概率论与数理统计辅导， 陕西教育出版社，2009.6，P6,例
5、 9) 九、 设位女士，大家随机的围绕圆桌就坐，求 甲、乙两个人坐在一起（即座位相邻）的概率(参考概率论与数理统计辅导， 陕西教育出版社，2009.6，P6,例 9) 九、 设,A B为两件事且为两件事且( )0.6P A = =，( )0.7P B = =， 问 1. 在什么条件下， 问 1. 在什么条件下()P AB 取到最大值，最大值是多少？2. 在什么条件下取到最大值，最大值是多少？2. 在什么条件下()P AB取到最小值，最小值是多 少？(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P3,例 3) 取到最小值，最小值是多 少？(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2
6、009.6，P3,例 3) 十一、两艘船都停泊在同一个码头，这个码头不能同时停泊两艘船，它们 可能在一个昼夜的任何时刻到达设两艘船停靠的时间分别是 1 小时和 2 小时， 求有一艘船要靠位必须等待一段时间的概率 解 设第一艘船停靠的时间是 1 小时，且到达的时刻为十一、两艘船都停泊在同一个码头，这个码头不能同时停泊两艘船，它们 可能在一个昼夜的任何时刻到达设两艘船停靠的时间分别是 1 小时和 2 小时， 求有一艘船要靠位必须等待一段时间的概率 解 设第一艘船停靠的时间是 1 小时，且到达的时刻为x，第二艘船停靠 的时间是 2 小时，且到达的时刻为，第二艘船停靠 的时间是 2 小时，且到达的时刻
7、为y.那么 .那么 ( , )|024,024Sx yxy= ( , )|024,024,01Ax yxyxy= ( , )|024,024,02x yxyyx 那么所求概率 那么所求概率 2211 22 2(24 1)(242)1391241152APS+= =的面积 的面积十二、在十二、在(0,1)中随机地取两个数，求它们乘积不大于中随机地取两个数，求它们乘积不大于1 4的概率. 解 设的概率. 解 设, x y在在(0,1)中随机地取两个数，那么中随机地取两个数，那么( , )|01,01Sx yxy=， 1( , )|01,01,4Ax yxyxy=. 从而所求概率 . 从而所求概率
8、APS=的面积 的面积11 41111ln40.597444dxx=+=+十四、 某人一次写了十四、 某人一次写了n封信， 又分别在封信， 又分别在n个信封上写了个信封上写了n( (2n )个收信人的地址 （不 重复） . 如果他随机地将这)个收信人的地址 （不 重复） . 如果他随机地将这n封信装入封信装入n个信封中. 试求 1. 这个信封中. 试求 1. 这n封信中没有一封信装对的 概率；2. 恰好封信中没有一封信装对的 概率；2. 恰好m封信装对的概率. 封信装对的概率. (参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社， 2009.6，P13,例 23) 作业 3 十一、将两信息分别编码为(
9、参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社， 2009.6，P13,例 23) 作业 3 十一、将两信息分别编码为A和和B传递出去，接收站收到时，传递出去，接收站收到时，A被误收作被误收作 B的概率为 0.02， 的概率为 0.02， B被误收作被误收作A的概率为 0.01，信息的概率为 0.01，信息A与信息与信息B传送的频繁 程度为传送的频繁 程度为, 1:2若接收站收到的信息为若接收站收到的信息为A，问原发信息是，问原发信息是A的概率是多少？ 的概率是多少？ 解 设解 设1B为 发 出 信 息为 发 出 信 息A，2B为 发 出 信 息为 发 出 信 息B，A为 收 到 信 息为 收 到
10、信 息A， 则， 则1212,BBS B B+= ，且，且1(|)1 0.020.98P A B= =，2(|)0.01P A B=，12()3P B=，21()3P B=. 由贝叶斯公式得所求概率由贝叶斯公式得所求概率 11 1 112220.98()()1963()21()()()()1970.980.0133P A BP BP B AP A BP BP A BP B=+十二、已知男人中有 5是色盲患者，女人中有 0.25是色盲患者，今从 男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概 率是多少？ 十二、已知男人中有 5是色盲患者，女人中有 0.25是色盲患者，今从
11、男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概 率是多少？ 解 设解 设1B为男性，为男性，2B为女性，为女性，A为色盲患者。因为色盲患者。因1212,BBS B B+=且且1(|)0.05P A B=，2(|)0.0025P A B=，11()2P B=，21()2P B=. 由贝叶斯公式得所求概率由贝叶斯公式得所求概率 11 1 1122()()0.05 0.520()()()()()0.05 0.50.0025 0.521P A BP BP B AP A BP BP A BP B=+十三、有两箱同种类的零件，第一箱装 50 只，其中 10 只一等品；第二箱 装 30
12、 只，其中 18 只一等品. 今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两 次，每次任取一只，作不放回抽样. 试求 1.第一次取到一等品的概率；2. 第 一次取到一等品的条件下，第二次取到也是一等品的概率. (参考概率论与数理 统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P19,例 36) 作业 4 七、常言道：“不怕一万，就怕万一”，“久以走黑路，就要碰见鬼”， “若要人不知，除非己莫为”，请用概率论的知识解释这一现象. 解 设小概率事件为十三、有两箱同种类的零件，第一箱装 50 只，其中 10 只一等品；第二箱 装 30 只，其中 18 只一等品. 今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两 次
13、，每次任取一只，作不放回抽样. 试求 1.第一次取到一等品的概率；2. 第 一次取到一等品的条件下，第二次取到也是一等品的概率. (参考概率论与数理 统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P19,例 36) 作业 4 七、常言道：“不怕一万，就怕万一”，“久以走黑路，就要碰见鬼”， “若要人不知，除非己莫为”，请用概率论的知识解释这一现象. 解 设小概率事件为A，( )P A=，事件，事件iA表示事件表示事件A在第在第i试验发生，而且试验发生，而且iA相互独立，相互独立，()iP A=，1,2,in=?. 那么在那. 那么在那n次试验中，次试验中，事件为事件为A至少发生一次的概率 至少发生一
14、次的概率 1212()1()1 (1)nnnP AAAP A AA= = ? 所以 所以 12lim()lim1 (1) 1n nnnP AAA =? 这表明小概率事件不论在一次试验中发生的概率如何小，但不断重复进行这一 试验，这个小概率事件迟早会发生. 九、甲、乙、丙三部机床独立工作，而由一名工人照管，某段时间内它们 不需要工人照管的概率分别为 0.9，0.8 及 0.85. 求 1. 在这段时间内有机床需 要工人照管的概率；2. 机床因无人照管而停工的概率；3.恰有一部机床需要工 人照管的概率？(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P23, 例 44) 十、设一个系统由
15、 5 个元件组成（如示图）. 元件这表明小概率事件不论在一次试验中发生的概率如何小，但不断重复进行这一 试验，这个小概率事件迟早会发生. 九、甲、乙、丙三部机床独立工作，而由一名工人照管，某段时间内它们 不需要工人照管的概率分别为 0.9，0.8 及 0.85. 求 1. 在这段时间内有机床需 要工人照管的概率；2. 机床因无人照管而停工的概率；3.恰有一部机床需要工 人照管的概率？(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P23, 例 44) 十、设一个系统由 5 个元件组成（如示图）. 元件 1，2，3，4，5 正常工 作的概率为正常工 作的概率为p p，且每个元件都各自独立工作，求系统能正常工作的概率. 解 设
