《全国通用版2019版高考数学总复习专题三三角函数3.3三角恒等变换与解三角形精选刷题练理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国通用版2019版高考数学总复习专题三三角函数3.3三角恒等变换与解三角形精选刷题练理（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13.33.3 三角恒等变换与解三角形三角恒等变换与解三角形命题角度 1 利用正弦定理和余弦定理解 三角形 高考真题体验对方向 1 1.(2018 全国17)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5. (1)求 cosADB; (2)若DC=2,求BC.2解 (1)在ABD中,由正弦定理得. = 由题设知,5 45=2 所以 sinADB=.2 5由题设知,ADB0, 2sin B=cos A,即 cos-B =cos A. 2A(0,),-B 0, 2 2 -B=A,即A+B= .C= . 2 2 2(2)设BD=x,CB=a.ABC=,ACB=, 3 2AC=a,
2、AB=2a,AD=2a+x.3SACD= ACADsin A1 2=a(2a+x),1 2 31 2=3 43即a(2a+x)=3. 在BCD中,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BCBDcosDBC, 即x2+a2+ax=3. 联立可解得x=a=1. 即BD=1.命题角度 2 解三角形中的最值与范 围问题 高考真题体验对方向(2013 全国17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B. (1)求B;7(2)若b=2,求ABC面积的最大值. 解 (1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B. 又A=-(B+C),
3、故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. 由,和C(0,)得 sin B=cos B,又B(0,),所以B= . 4(2)ABC的面积S= acsin B=ac.1 22 4由已知及余弦定理得 4=a2+c2-2accos. 4又a2+c22ac,故ac,当且仅当a=c时,等号成立.42 -2因此ABC面积的最大值为+1.2新题演练提能刷高分 1 1.(2018 四川资阳 4 月模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(sin A-sin B)=c(sin C-sin B). (1)求A. (2)若a=4,求b2+c2的取值范围.
4、解 (1)根据正弦定理,得(a+b)(a-b)=c(c-b),即a2-b2=c2-bc,则,即 cos A= .2+ 2- 22=1 21 2由于 016, 所以b2+c2的取值范围是(16,32. 2 2.(2018 山东烟台一模)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,(b-c)(sin B+sin C)=a(sin A-sin C). (1)求B的值; (2)若b=3,求a+c的最大值. 解 (1)在ABC中,由正弦定理得,(b-c)(b+c)=a(a-c),即b2=a2+c2-ac,由余弦定理,得 cos B=.2+ 2- 22=1 28B(0,),B= . 3(2)由(1)知
5、,9=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac.于是=ac2,解得a+c6,( + )2- 93 + 2当且仅当a=c=3 时,取等号.所以a+c的最大值为 6. 3 3.(2018 辽宁大连一模)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,且 2bcos B=acos C+ccos A. (1)求B的大小; (2)求ABC面积的最大值. 解 (1)由 2bcos B=acos C+ccos A,可得 2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin B,sin B0,cos B=,B= .1 2 3(2)方法一:由b=2,B=,根据余弦定理可得ac=a
6、2+c2-4, 3由基本不等式可得ac=a2+c2-42ac-4, 所以ac4,当且仅当a=c时,等号成立.从而SABC= acsin B4,1 21 23 2= 3故ABC面积的最大值为.3方法二:因为, = = =2 3 2=4 3所以a=sin A,c=sin C,4 34 3S= acsin B=sin Asin Csin B1 21 24 34 3=sin Asin-A =cos 2A-+,4 3 32 32 3 32 33 3当 2A-=0,即A=时,Smax=,2 3 33故ABC面积的最大值为.34 4.(2018 贵州凯里模拟)已知在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,
7、c,m m=(2cos C,acos B+bcos A),n n=(c,-1),且 m mn n. (1)求角C; (2)若c=3,求ABC周长的最大值. 解 (1)m mn n,92ccos C-(acos B+bcos A)=0. 由正弦定理得 2sin Ccos C-(sin Acos B+cos Asin B)=0.即 2sin Ccos C-sin(A+B)=0.2sin Ccos C-sin C=0. 在ABC中,03,3t1+,所以若小张 9 点半出发,则无法乘上这班客轮.1 6(2)在ABC中,cosBAC=-,sinACB=,4 55 5所以ACB为锐角,sinBAC=,cosACB=.3 52 5 5所以 sin B=sin180-(BAC+ACB)=sin(BAC+ACB)=sinBACcosACB+cosBACsinACB=.3 52 5 54 55 5=2 5 2513由正弦定理得, = 所以BC=15,10 7 3 5 2 5 2535所以小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为f(v)=v2+v+50)15 35 (12=15v+1+152+1=165(v(0,30),351250 351 250 35当且仅当v=,即v=10 时,f(v)min=165(元).1 250 35所以若小张由岛C直接乘小艇去B市,其费用至少需 165元.35
