《【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第20章《同余》竞赛专题复习含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第20章《同余》竞赛专题复习含答案（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义1第第 20 章章 同同 余余20.1.1(1)证明：任意平方数除以 4，余数为 0 或 1； (2)证明：任意平方数除以 8，余数为 0、1 或 4 解析解析 (1)因为奇数，222214411(mod4)kkk 偶数，222240(mod4)kk所以，正整数 21(mod4),;0(mod4),.nnn 偶偶为数为数(2)奇数可以表示为，从而21k 奇数22441411kkk k 因为两个连续整数、中必有一个是偶数，所以是 8 的倍数，从而k1k 41k k 奇数2811 mod8i 又，偶数(为整数)22224kkk若偶数，则k 2t224160 mo
2、d 8kt若奇数，则k 21t22244 211644(mod8)kttt所以，平方数 0 mod8 ,1 mod8 ,4 mod8 . 评注评注 事实上，我们也可以这样来证：因为对任意整数，有，1，2()，所以，a0a mod4，1()；又0，1，2，3，4()，所以，0，1，0a mod4a mod82a 4 mod820.1.2求证：一个十进制数被 9 除所得的余数，等于它的各位数字被 9 除所得的余数解析解析 设这个十进制数1210nnAa aa a aL因 101()，故对任何整数1，有mod9k1011 mod9kk因此1210nnAa aa a aL1 110101010nn n
3、naaaa L110mod9nnaaaaL2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义2即被 9 除所得的余数等于它的各位数字之和被 9 除所得的余数A 评注评注 (1)特别地，一个数能被 9 整除的充要条件是它的各位数字之和能被 9 整除(2)算术中的“弃 九 验算法”就是依据本题的结论20.1.3求证：(1)；19998 5517(2)；28 37n(3)100017 191解析解析 (1)因，所以551 mod8 ，1999551 mod8 ，199955171 17160 mod8 于是19998 (5517)(2)因为，所以，即2391(mod8)231(mod8)n237170 mod8n
4、 28 37n(3)因为，所以192 mod1744192161 mod17 ， 25025010004191911 mod17 于是100017 19120.1.4对任意的正整数，证明：能被 1897 整除n2903803464261nnnnA 解析解析 ，7 与 271 互质因为18977271，29035 mod78035 mod7，4642 mod72612 mod7所以，故 7|290380346426155220 mod7nnnnnnnnA A又因为，2903193 mod271，803261 mod271，464193 mod271所以2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义3290
5、3803464261nnnnA ，故 271|1932611932610 mod271nnnnA因(7，271)=1，所以 1897 整除A20.1.5证明：能被 7 整除2222555555552222解析解析 因为，55554 mod734641 mod7所以 22222222222205555444162 mod7因为 ，所以22223 mod7232 mod7231 mod755555555555502222333 92522633332 2 3 5 mod7于是，222255555555222225mod70 mod7即 222255557|5555222220.1.6求最大的正整数
6、，使得能被整除n1024312n 解析解析 因为，1024512256 11283131 33131 3 1 L而对于整数1，有k， 2231112 mod4kk 所以，式右边的 11 个括号中，(3+1)是 4 的倍数，其他的 10 个都是 2 的倍数，但不是 4 的倍数故 的最大值为 12n20.1.7求使为 7 的倍数的所有正整数21nn解析解析 因为，所以对按模 3 进行分类讨论3281 mod7n(1)若，则3nk； 3212181110 mod7knkk (2)若，则31nk 3212212 81knk ;2 111 mod7k (3)若，则32nk 23212214 81knk
7、4 113 mod7k 2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义4所以，当且仅当 3|时，为 7 的倍数n21n20.1.8设是正整数，求证：7 不整除n41n 解析解析 因为，所以144 mod7242 mod7341 mod7当时，3nk； 341411 12 mod7kn 当时，31nk； 341441415 mod7kn 当时，32nk 34141611613 mod7kn 所以，对一切正整数，7 不整除n41n 20.1.9今天是星期日，过天是星期几?1003解析解析 ，所以33271 mod7 333310033331334 mod7 因此，过天是星期四100320.1.10求被 50
8、 除所得的余数3326(25746)解析解析 ，2577 mod5033332577mod50又，所以27491 mod50 471 mod50 83347777 mod50即332577 mod50从而33257467463 mod50332626(25746)3mod50由于，所以于是532437 mod50 103491 mod50 2031 mod50262053333732129 mod50 故除以 50 所得的余数为 293326(25746 )20.1.11(1)求 33 除的余数；19982 (2)求 8 除的余数2171n2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义5解析解析 (1)
9、先找与同余的数因为1 mod33，52321 mod33 所以1021 mod33 199199810532222825 mod33 故所求的余数为 25(2)因为，所以71 mod8 ， 2121711 mod8nn 217126 mod8n 即余数为 620.1.12求除以 4 所得的余数5555512399100L解析解析 因为，所以520 mod4n52121 mod4nn5555512399100L213599500 mod4 L20.1.13形如，0，1，2，的数称为费马数证明：当2 时，的末位数字是221knF n nnF7解析解析 当2 时，是 4 的倍数，故令n2n24nt
10、于是212knF421161617 mod10ttt 即的末位数字是 7nF评注评注 费马数的头几个是，它们都是素数费马便03F 15F 217F 3257F 465537F 猜测：对所有的正整数，都是素数然而，这一猜测是错误的首先推翻这个猜测的是欧拉，他nnF证明了下一个费马数是合数有兴趣的读者可以自己去证明5F20.1.14已知，求被 9 除后所得商的个位数字是多少?1919191919 191 9191 919n L1 4 44 2 4 4 4 3 个n解析解析 因为1919191919 191 9191 919n L1 4 44 2 4 4 4 3 个19191919 2018 年初中
11、数学竞赛辅导专题讲义6191920224 mod9所以又的个位数字是 5，故被 9 除后所得商的个位数字是 59|4n 4nn20.1.15求的末两位数9992 解析解析 因为，10210 mod25 1021 mod25 ， 10010010211 mod25 1000210 mod25 所以的末两位数字只可能是 00、25、50、75，即的末两位数字只可能是10002110002 01、26、5l、76又是 4 的倍数，故的末两位数字只可能是 761000210002又，所以的末两位数字只可能是 38、88，而 4|88，438，故的末两位数字是99910002229992|9992882
12、0.1.16求所有的正整数，使得是一个立方数n2337nn解析解析 假设存在正整数、，使得，则，于是设mn23337nnm31 mod3m 31 mod3m ，则，易知不能被 3 整除，故不存在正整数，使得31mk223 (331)2kkknn22nnn是一个立方数2337nn20.1.17有一列数排成一行，其中第一个数是 3，第二个数是 7，从第三个数开始，每个数恰好是 前 两个数的和，那么，第 1997 个数被 3 除，余数是多少? 解析解析 该数列是： 3，7，10，17，27，44，71，115， 186，301，487，788， 除以 3 的余数分别是： 0，1，1，2，0，2，2，
13、1，0，1，1，2，0，2，2，1，余数刚好是按“0，1，1，2，0，2，2，1” 八个一循环 又 19975(8)，因此所求余数为 0mod20.1.18求的末位数字和的末两位数字，其中是大于 1 的正整数7777777kN个k解析解析 我们知道，求一个数的末位数字就是求这个数除以 10 的余数，求一个数的末两位数字就是求这个数除以 100 的余数为此，先设法求出中的 ，然后求出(，是整数)71(mod10)tt77atbab中的这样，问题归结为求被 10 除所得的余数b67 因为，2371 mod1073 mod10 偶，是正整数4471 mod1071 mod10m偶m2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义7而 66673 mod47311 mod4 偶所以，可设773 mod47743m于是774337773 mod10m所以，的末位数字是 3777考虑的末两位数字这时，由，得7772749 mod1003743 mod100471 mod100471 mod100n而，其中 是整数且 0于是77211777tkN个tt 217721211777313 m
