《【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第3章《一元方程》竞赛专题复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第3章《一元方程》竞赛专题复习（76页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义1第第 3 章章一元方程一元方程3.1 一元一次方程3.1.1已知下面两个方程，325xx4367xaxxax有相同的解，试求的值a 解析本题解题思路是从方程中求出的值，代入方程，求出的值xa 由方程可求得，所以由题设，也是方程的解，根据方程解的定356xx 3x 3x 义，把代入方程时，应有3x ，43336373aa ，73331812aa所以，418a 142a 3.1.2解方程：2222axbabxaxbxa b解析本题将方程中的括号去掉后产生，但整理化简后可以消去，也就是说，原方程2x2x 实际上仍然是一个一元次方程 将原方程整理化简得，22222
2、2222abxa ba xb xxa b即222abxab当时，即时，方程有唯一解220abab ；222ababxabab当时，即或若，即，时，方程无解；若220ababab 0abab0ab ，即时，方程有无数多个解0abab 评注含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围，解这类方程时，需要从方程有 唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论3.1.3若，解方程1abc 2221111axbxcx ababcbcac 解析因为，所以原方程可变形为1abc 222111abcxbxcx ab bca bcbcbcbcac 化简整理为2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义2，212111bxc
3、xbcbcac，21211bxbcxbcbcabcbb，2111bcbxbcb所以，为原方程的解1 2x 评注像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大 大简化3.1.4已知关于的方程x5814225xax且为某些正整数时，方程的解为正整数，试求正整数的最小值aa解析由原方程可解得914210ax因为为正整数，所以应是大于的整数所以，即a9 10x142914210x 71579x 又因为为正整数，要使为整数，必须是 10 的倍数，而且为使最小，所以应取x9 10xxax160x 所以9160142210a 所以满足题设的正整数的最小值为 2a评注本题实际上是求的最
4、小正整数解914210ax3.1.5已知关于的方程有两个不同的解，求的值x32axxb200543ab解析一元一次方程或者有一个解，或者有无数个解，或者无解，本题中的一元一次方程 有两个解，所以我们可以证明它有无数个解，进而可以确定、ab设方程的两个不同的解为、，则有1x2x，1132axxb，2232axxb，得21212a xxxx因为，所以12xx2a 把代入式，得2a 3b 所以， 200520054311ab 2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义33.1.6已知关于的方程无解，求的值x2132axxa解析将原方程变形为由已知该方程无解，所以232axa230,20.aa 解得，所以即
5、为所求3 2a 3 2a 3.1.7已知关于的方程有无限多个解，求、的值x233125axbxxab解析原方程变形为231253abxa23120,530,aba 解得，5 3a 26 9b 3.1.8为何正数时，方程的解是正数？k2225k xkkxk解析按未知数整理方程得要使方程的解为正数，需要x2225kk xkk22250kkkk不等式的左端2222525kkkkkkk因为，所以只要或时上式大于零，所以当或时，原方程的解是20k 5k 2k 2k 5k 正数，所以或即为所求5k 02k3.1.9若、是正数，解方程abc3xabxbcxca cab解析原方程两边乘以，得到方程abc3ab
6、 xabbc xbcac xcaabc移项、合并同类项得，0ab xabcbc xabcac xabc因此有 0xabcabbcax因为，所以，于是0a 0b 0c 0abbcac，0xabc2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义4即为原方程的解xabc3.1.10设为正整数，表示不超过的最大整数，解方程n xx 221232nnxxxn x解析由于是整数，是整数，所以必为整数，故，所以原方程可化 x2212nn x xx为，2212342nnxxxxnx合并同类项得，2211232nnn x故有221122n nnnx所以，为原方程的解1xn n3.2 一元二次方程3.2.1若方程与方程至少有
7、一个相同的实数根，求实数的值210xbx 20xxbb解析假定这个相同的实数根为，则将它代入两个方程，得到两个关于、的等0xx0xb式，视它们为关于、的方程组，即可求出的值0xbb设是两个方程相同的根，则有0xx，2 0010xbx 2 000xxb两式相减，得，即0110bxb 0110bx所以或1b 01x 当时，两个方程都是这个方程无实根，故不合题意1b 210xx 1b 当时，代入式中任何一式，都可解得所以所求的的值为 201x 2b b3.2.2已知实数，且满足，求的ab21331aa23131bbbabaab值2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义5解析、是关于的方程abx21313
8、0xx的两个根，整理此方程，得，2510xx 由于，2540 5ab 1ab 故、均为负数因此abbababaabababab 222223abababababab 3.2.3已知是方程的一个根，求的值a2200810xx 2 2200820071aaa解析因为是所说方程的根，所以，故a2200810aa ，220081aa 由此得到2 2200820071aaa2008200812007200811aaa2111aaaaa 2008112007aaa求也可用下面的方法：因，将两边同除以，易得到11aa 0a 2200810aa a，12008aa 故11120082007aaaa 3.2.4
9、三个不同实数、使得方程和有一个相同的实数abc210xax 20xbxc 根 ，且使得方程和也有一个相同的实数根，求的值s20xxa20xcxbrabc 解析因为方程和有一个相同的实数根 ，所以210xax 20xbxcs ，210sax ，20sbsc两式相减得1csab又方程和也有一个相同的实数根，所以20xxa20xcxbr ，20rra ，20rcrb2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义6两式相减得（显然）1abrc1c 于是，故也是方程的根，所以1rs r210xax 210rar 由和得，或者（此时，无实根，舍去），所以，210rar 20rra1r 1a 210xx ，于是110
10、a 10cb3abc 3.2.5对于一切不小于 2 的整数，关于的一元二次方程的两个nx22220xnxn根记作、，求的值na2nbn223320072007111 222222ababab解析由根与系数的关系数得，所 2nnabn22nna bn 2224nnnnnnaba bab2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义722224nn ，21n n 则11 2221nnabn n ，1 11 21nn 223320072007111 222222ababab 1111111 2233420072008 1 111003 2 220084016 3.2.6已知互不相等的实数、满足，求 的值abc
11、111abctbcat解析由得，代入得1atb1bta1btc，整理得11ttac210ctactac又由可得，代入式得1cta1acat ，即，又，所以，所以220ctatac210catca210t 1t 验证可知：，时，时1 1ba1aca1t 1 1ba 1aca 1t 因此，1t 3.2.7如果、都是质数，且，求的值ab2130aam2130bbmba ab解析当时，；ab2ba ab当时，、为方程的两个根，所以因为、都是质数，故abab2130xxm13abab 、的值只可能是和 11，所以ab2112125 21122ba ab3.2.8已知三个关于的一元二次方程x ，20axb
12、xc20bxcxa20cxaxb恰有一个公共实数根，求的值222abc bccaab解析设是它们的公共实数根，则0x2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义8，2 000axbxc2 000bxcxa2 000cxaxb把上面三个式子相加，得，2 0010abcxx因为，所以，于是2 2 00.0131024xxx 0abc333222333abababcabcbccaababcabc33ab ababc3.2.9设实数 和 满足方程，并且 和 的积不等于 1，st2199910ss 299190ttst求的值41sts t解析因为，所以，第一人方程可以变形为：0s 21199190ss又因为，所以，、 是一元二次方程的两个不同的实根，所以1st 1 st299190xx，199ts 119ts 即，199sts 19ts所以41994519stsss ts 3.2.10已知方程的两个根、也是方程的根，求、2310xx 620xpxqp的值q解析利用一元二次方程根的概念，用、表示和，再结合、之间的关系（这里pq用到韦达定理），从而可解出、pq由条件，可知，即，于是2310 231645431334433
