《【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第7章《三角函数》竞赛专题复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第7章《三角函数》竞赛专题复习（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义1第 7 章三角函数71 锐角三角函数711比较下列各组三角函数值的大小： （1）与；sin19cos70 （2）与；cot65cos40 （3），和cos1tan46sin88cot38 解析解析（1）利用互余角的三角函数关系式，将化，再与比大小cos70sin20sin19因为，而cos70cos 9020sin20 ，sin19sin20 所以sin19cos70 （2）余切函数与余弦函数无法化为同名函数，但是可以利用某些特殊的三角函数值，间接比较它们的大小，再将，分别与，比大小32cot60cos4532 cot65cos40cot60cos45因为
2、，3cot65cot603 3cos40cos453 所以，cot60cos45 所以cot65cos40 （3），显然，均小于 1，而，均大于 1再分别比较与tan451 cos1sin88tan46cot38cos1 ，以及与的大小即可sin88tan46cot38因为，所以cos38cot 9052tan52 tan52tan46tan451 因为，cos1cos 9089sin89 所以，sin88sin891 所以cot38tan46cos1sin88 评注评注比较三角函数值的大小，一般分为三种类型： （1）同名的两个锐角三角函数值，可直接利用三角函数值随角变化的规律，通过比较角的大
3、小来确 定三角函数值的大小 （2）互为余函数的两锐角三角函数值，可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数，比较其 大小 （3）不能化为同名的两个三角函数，可通过与某 些“标准量”比大小，间接判断它们的大小关系，常选择的标准量有：0，1 以及其他一些特殊角如 ，的三角函数值304560 712 化简求值： （1）；tan1tan2tan3tan89（2）；21tan 7sin83 （3）；2222tansin tansin （4）；12sin11 cos11cos79sin79 2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义2（5）若求的值tan32sinsin 13sincos 解析（1） 原式=t
4、an1tan2tan3tan44tan45cot44cot43cot3cot2cot1 tan1cot1tan2cot2tan44cot44tan45 1 111 （2）原式222cos 7sin 71cos7cos71cos 7cos7 （3）原式2 2 4422422 2 2sinsinsinsincos1sinsinsin1cossincos （4）原式=2sin11cos11sin11cos11sin11cos11sin11cos110 （5）原式2222sincossinsincossin 13sincossincos3sincos 2222tantan336 tan13tan313
5、 319 评注评注同角三角函数关系式以及互余两角三角函数关系式，在三角式变形、化简、求值及证明中是 重要的依据 713试证明在锐角三角形中，任何一个角的正弦大于其他两个角的余弦 解析解析在锐角三角形里，显然有，所以有90AB 9090AB 由于在范围内，当增加时，其正弦值是增加的，于是我们知090A道sinsin 90cosABB同理可以证明其他的五组 714下列四个数中哪个最大： A Btan48cot48sin48cos48 C Dtan48cos48cot48sin48 解析解析显然，0cos481因此有：0sin4810cos481，sin48sin48tan48cos48 cos48
6、cos48cot48sin48 所以最大A 715设为锐角，且满足，求xsin3cosxxsin cosxx解析解析我们将代入，得到，并且是锐角，因此sin3cosxx22sincos1xx210cos1x x所以1cos10x 3sin10x 因此3sin cos10xx 716在中，证明：是锐角，并计算的ABC3CA 27BC 48AB 2 Acos2A 值2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义3解析解析若，则，于是，矛盾290A45A3135CA 180ABC 为计算，必须构造出一个以为其一锐角的直角三角形如图，过作交于，使cos2A2 ACCDABD ，则ACDA 32BCDAAA AB
7、CDE又CDBAACD =2 ABCD 所以，27BDBC ，21ADABBD 21DCAD作于，则，故BECD丄E21 2CEDE217cos2cos5418CEABCEBC717已知，求的值sincos2sincos解析解析由两边平方得sincos2 22sincos2又，所以22sincos1 ，12sincos2 得1sincos2评注评注（1）当已知与之间和或差的值时，常常考虑运用转化问题sincos22sincos1 （2）总结此题解答过程，该问题实际上是读者都熟悉的问题：已知，求的值2ab221abab这里用三角函数式、来替代、，变化了一下问题的形式因此，在解题时，弄清问题sin
8、cosab 的本质是非常重要的718已知为实数，且、是关于的方程的两根求的msincosx2310xmx 44sincos 值解析解析由根与系数的关系知则有1sincos32244227sincossincos2 sincos9719设、是一个直角三角形的两个锐角，满足求及的值AB2sinsin2ABsin AsinB解析解析由于，故由互余关系得90ABsinsin 90cosBAA因此条件即为2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义4，2sincos2AA将上式平方，得，221sincos2sincos2AAAA由正、余弦的平方关系，即有，所以12sincos2AA ，2223sincossin
9、cos2sincos12sincos2AAAAAAAA 因、均为正数，故因此由上式得sin Acos Asincos0AA，6sincos2AA由、得，故62sin4A62cos4A62sin4B评注评注本题也可如下解答：由得，2sincos2AA两边平方，得，221sincos2cos2AAA因，代入上式并整理，得22sin1cosAA ，212cos2cos02AA解得因，故只有由此及得26cos4Acos0A 62cos4A62sin4A7110若存在实数和，使得xy222225sincos , 4 3cossin , 4xyaxya 求实数的所有可能值a解析解析把两式相加，得，解得，或
10、（舍去） 2358aa1a 8 3a 当时，满足方程故1a 4x 6y 1a 7111已知关于的一元二次方程x的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数的值22211120mxmxm解析解析设方程的两个实根、分别是直角三角形的锐角、的正弦则1x2xABCAB，222222 12sinsinsincos190xxABAAAB又，12211 2mxxm1212 2x xm2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义5所以2 222 111212211242122mxxxxx xmm化简得，解得或 23检验，当时，224230mm1m 1m ；22114820mm当时，23m 22114820mm所以
11、23m 评注本题是三角函数与一元二次方程的综合，基本解法是利用韦达定理和列方程求22sincos1 解要注意最后检验方程有无实数根7112已知方程的两根是直角三角形的两个锐角的正弦，求2450xxkk解析解析根据韦达定理，有12125, 4.4xxkx x 并且由于其两根是直角三角形的两个锐角的正弦，所以又有22 121xx于是有2 222 121212512244kxxxxx x 解得9 8k 7113若直角三角形中的两个锐角、的正弦是方程的两个根；AB20xpxq（1）那么，实数、应满足哪些条件？pq（2）如果、满足这些条件，方程的两个根是否等于直角三角形的两个锐角、pq20xpxqA的正
12、弦？B解析解析（1）设、是某个直角三角形两个锐角，、是方程的两个根，ABsin AsinB20xpxq则有240pq由韦达定理，,又，于是，sinsinABp sinsinABqsin0A sin0B 0p 0q 由于所以，sinsin 90cosBAAsincosAAp sincosAAq所以，22sincos1sincos12pAAAAq 即221pq2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义6由得，则21240qpq1 2q故所求条件是，0p 102p221pq（2）设条件成立，则，故方程有两个实根：24120pqq ，2412 22ppqpq2412 22ppqpq由知，又，12pq1212
13、12qqqp 所以，故01212pqpq 0又，故2222221pq01所以，、为直角三角形两个锐角的正弦评注评注一般地，有，即在中，sin 90coscos 90sinRtABC90C，sincosABcossinAB7114已知方程的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试24210xmxm求的值m 解析解析设题中所述的两个锐角为及，由题设得AB241160 , 1coscos , 2coscos.4mmmABmAB 因为，故cossinBA2, 1cossin , 2cossin , 410mAAmAmmA 可取任意实数式两边平方，并利用恒等式，得22sincos1AA2 21cossin12sincos4mAAAA 2018 年初中数学竞赛辅导专题讲
