《【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第21章《不定方程》竞赛专题复习含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第21章《不定方程》竞赛专题复习含答案（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义1第第 21 章章 不定方程不定方程21.1 二元一次不定方程二元一次不定方程21.1.1求不定方程的正整数解2xy解析解析 因为，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是3 12 4225322, ,xn yn 其中可以取一切正整数n21.1.2求的整数解11157xy解析解析 1 将方程变形得715 11yx因为是整数，所以应是 11 的倍数由观察得，是这个方程的一组整数解，x715y02x 01y 所以方程的解为为整数215 ,1 11 ,xtyt t解析解析 2 先考察，通过观察易得11151xy， 1141531 所以，114715377 可取，从而
2、028x 021y 为整数2815 ,21 11 ,xtyt t评注评注 如果、是互质的整数，是整数，且方程abcaxbyc有一组整数解、则此方程的一切整数解可以表示为0x0y00,xxbtyyat 其中，1，2，3，0t 21.1.3求方程的非负整数解62290xy解析解析 因为(6，22)=2，所以方程两边同除以 2 得2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义2 31145xy由观察知，是方程14x 11y 3111xy的一组整数解，从而方程的一组整数解为 00454180,45145,xy 所以方程的一切整数解为18011 ,453 .xtyt 因为要求的原方程的非负整数解，所以必有1801
3、10,4530.tt由于 是整数，由、得 15 16，所以只有15，16 两种可能ttt t 当15 时，15，；当16 时，4， 3所以原方程的非负整数解是t x 0y t x y 15,0,xy 4,3.xy 21.1.4求方程的所有正整数解719213xy解析解析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数 的方法使系数变小，最后再用观察法求解 用方程719213xy的最小系数 7 除方程的各项，并移项得213 193530277yyxy因为、是整数，故也是整数，于是有再用 5 除此式的两边得xy35 7yu573yu3732 55uuyu 令 (
4、整数)，由此得32 5uv253uv由观察知，是方程的一组解将代入得代入得=25于1u 1v 1u 2y 2y x是方程有一组解，所以它的一切解为025x 02y 2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义32519 ,27 .xtyt 0, 1, 2,t 由于要求方程的正整数解，所以25190,270.tt 解不等式，得 只能取 0，1因此得原方程的正整数解为t25,2,xy 6,9.xy 21.1.5求方程的整数解3710725xy解析解析 因为，10723733371 334 33841 为用 37 和 107 表示 1，我们把上述辗转相除过程回代，得 1=33-84=37-4-84=37-9
5、4=37-9(37-33)=933-837 =9(107-237)-837=9107-2637 =37(-26)+1079,由此可知，是方程的一组整数解于是126x 19y 371071xy,02526650x 025 9225y 是方程的一组整数解所以原方程的一切整数解为3710725xy是整数650107 ,22537 ,xtyt t21.1.6求方程的整数解92451000xyz解析解析 设，即，于是原方程可化为9243xyt38xyt351000tz38,351000.xyttz 用前面的方法可以求得的解为是整数38 ,3 ,xtuytu u的解为是整数20005 ,10003 ,tv
6、zv v消去 ，得t2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义4是整数6000815 ,200035 ,10003 ,xuvyuvzv , u v21.1.7求方程的整数解23723xyz解析解析 设，则23xyt23,723.xyttz对于，是一组特解，从而的整数解为0xt 0yt是整数3 ,2 ,xtuytu u又，是方程的一组特解，于是的整数解为02t 03z 是整数3,27 ,zvtv v所以，原方程的整数解为、是整数273 ,272 ,3.xvuyvuzv uv21.1.8求方程组的正整数解57952,35736xyzxyz 解析解析 消去，得 z210zy易知，是它的一组特解，从而的整数
7、解为04x 02y 是整数4,22 ,xtyt t代入原方程组，得所有整数解为是整数4,22 ,2.xtytzt t由，得0x 0y 0z ，12t 所以0，1，故原方程组的正整数解为t 2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义54,2,2;xyz 3,4,1.xyz 21.1.9求方程的正整数解的组数351306xy解析解析 因为，所以，是一组特解于是方程的整数130651435233yyxy0x 43701y 解为是整数4375 ,13 .xtyt t由43750,130.tt 得.1437 35t 所以1，2，87故原不定方程有 87 组正整数解t 21.1.10某国硬币有 5 分和 7 分
8、两种，问用这两种硬币支付 142 分货款，有多少种不同的方法? 解析解析 设需枚 7 分，枚 5 分恰好支付 142 分，于是xy75142xy所以1427222855xxyx由于142，所以20，并且由上式知因为(5，2)=1，所以，从而7xx5|21x 5|1x 1，6，11，16的非负整数解为x 1,6,11,16,27;20;13;6.xxxxyyyy 所以，共有 4 种不同的支付方式 评注评注 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少， 可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程21.1.11今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三
9、只，用 100 个钱买 100 只鸡，问公 鸡、母鸡、小鸡各买了多少只? 解析解析 设公鸡、母鸡、小鸡各买、只，由题意列方程组xyz153100,3 100.xyzxyz 化简得.159300xyz-得148200,xy即74100.xy2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义6解得于是的一个特解为所以的所有整741xy1,2.xy 74100xy00100,200.xy 74100xy数解为是整数1004 ,2007 ,xtyt t由题意知，所以，0xy100z 01004100,02007100.tt 解得2550, 241428.77tt 故.425287t 由于 是整数，故 只能取 26，
10、27，28，而且、还应满足ttxyz 100xyz所以 txyz264187827811812812484即可能有三种情况：4 只公鸡，18 只母鸡，78 只小鸡；或 8 只公鸡，11 只母鸡，81 只小鸡；或 12 只 公鸡，4 只母鸡，84 只小鸡21.1.12小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得 9 分，套中小猴一次得 5 分，套中小狗一次得 2 分小 明共套 10 次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次小明套 lO 次共得 61 分，问：小鸡至 少被套中几次? 解析解析 设套中小鸡次，套中小猴次，套中小狗次，则根据题意得xyz95261,10.xyzxyz 我们要求这个方程组的正整数解
11、消去：从中减去2 得，于是z7341xy417 3xy由可以看出从而的值只能是 1，2，3，4，5将写成41 7x x，21323xyx由于是整数，所以必须是 3 的倍数从而只有 2、5 两个值满足这一要求y2x但时，不是正整数在时，是本题的解2x 9y 1z 5x 2y 3z 2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义7因此小鸡被套中 5 次 评注评注 本题问“小鸡至少被套中几次?”实际上却只有一个解， “至少”两字可以省去21.1.13今有浓度为 5、8、9的甲、乙、丙三种盐水分别为 60 克、60 克、47 克，现要配制 成浓度为 7的盐水 100 克，问甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克
12、? 解析解析 设甲、乙、丙盐水分别各取克、克、克，配成浓度为 7的盐水 100 克，依题意有xyz100,589700.xyzxyz 其中，060，047060xyz 解方程组可得2004 ,3100.yxzx 由0200460,0310047.xx 得3549x又，和，均满足题设，故甲种盐水最少可用 35 克，最35x 60y 5z 49x 4y 47z 多可用 49 克21.2 勾股数勾股数21.2.1满足方程的一切基本勾股数、（为偶数)，都可表示为以下形式：222xyzxyzy，22xpq2ypq22zpq其中、为正整数，(，)=1，、一奇一偶pqpqpqpq 解析解析 设正整数、满足(
13、，)=1，、一奇一偶，则pqpqpqpq 2222222xypqpq42242224pp qqp q2222pqz所以一切形如的正整数、都是方程的解下面证明这样的、是基本勾xyz222xyzxyz股 数设，由于、一奇一偶，所以是奇数，由，于是是奇数又由, ,x y zdpq22pq22|d xpqd，得，即，同理因为是奇数，所以，22|d pq 2222|dpqpq2|2dp2|2dqd2|dp2|d q于是由得，所以这就证明了由确定的、是一组基22|,dpq,1p q 22,1pq1d xyz本2018 年初中数学竞赛辅导专题讲义8勾股数反过来，设、是一组基本勾股数，且是偶数，和都是奇数，则和都是整xyzyxz2zx 2zx数设，则存在正整数和，使,22zx zxdab，2zxda2zxdb,1a b 于是，zd baxd ba由于，所以，即,1z x 1d ,122zx zx由得222xyz2222yzx zx这就可推出上式中右面两个因式都是平方数设，
