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1、班级 姓名 学号 39第十章第十章 曲线与曲面积分曲线与曲面积分 习题习题 101 1、计算下列对弧长的曲线积分 (1)+Lyxdse,22其中 L 为圆周,222ayx=+直线xy =及x轴在第一象限中所围成图形的边界。 解：+= BOABOALOA：0=y，ax 0 1 022=+aaxOAyxedxedle AB：taxcos=，taysin=，40 t aaAByxaeadtedle44022 =+BO：xy =，ax220 12220222=+aaxBOyxedxedle 所以 aaLyxaeedle4) 1(222+=+(2) Ldly,2其中 L 为摆线的一拱)20)(cos1
2、(),sin(=ttayttax。 解：+=202222222sin)cos1 ()cos1 (dttatatadly L=20223cos1)cos1 (2dtttaa 32032053 15256)25cos401 2cos245 2cos45(82sin8atttadtta=+=2、求半径为a，中心角为2的均匀圆弧(线密度为)的重心。 解：将中心角的平分线放在极轴上，圆心在极点，由对称性，重心坐标中0=y sincosaadttadtadsdsx xLL= 则均匀圆弧(线密度为)的重心坐标为)0,/sin(a ABO班级 姓名 学号 40 3、设螺旋形弹簧一圈的方程为)20( ,sin,
3、cos=tktztaytax它的线密度,),(222zyxzyx+=，求它关于z轴的转动惯量。 解： )43(32)()(2422222022222222kakaadtkatkaadsyxI Lz+=+=+=习题习题 102 1 、 设L是 曲 线teytexttsin,cos=上 从t=0到t=的 一 段 ， 计 算dyyxdxxy L)2()2(+。 解： + Ldyyxdxxy)2()2( +=0)cos(sin)sin2cos()sin)(coscos2sin(dttteteteetttetetttttt) 1(233202=edtet2、计算,)()(dyxydxyx L+其中 L
4、是 (1) 抛物线xy =2上从点(1，1)到点(4,2)的一段弧； (2) 曲线1, 1222+=+=tyttx上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。 解： （1）积分曲线L：2yx =，21 y，则 +=+21222)()()(dyyyyyydyxydxyx L334)21 31 21()2(212342123=+=+=yxydyyyy （2）积分曲线L：1, 1222+=+=tyttx，10 t，则 +=+1022222) 121() 14)(112()()(dtttttttttdyxydxyx L332)229 35 25()29510(102341023=+=+=ttttdtttt
5、 班级 姓名 学号 413、,) 1(dzyxydyxdx+其中是从点(1，1，1)到点(2，3，4)的一段直线。 解： 积分曲线L方程为31 21 11=zyx， 其参数方程为tx+=1，ty21+=，tz31+=，且10 t，则 +=+ 10)31 (3)21 (2)1() 1(dttttdzyxydyxdx 13)67()614(10210=+=+=ttdtt 4、一力场同沿横轴正方向的常力F所构成，试求当一质量 m 的近地点沿圆周222Ryx=+按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功。 (提示： 先求F的坐标表达式，再由功的计算公式计算)。 解：若力场是由力jyxQiyx
6、PFrrr),(),(+=所构成的，沿曲线L所做的功为 += LdyyxQdxyxPW),(),( 本题的力iFFrr=，积分曲线的参数方程为tRxcos=，tRysin=，且20 t，则 |sin|20FRtdtRFdxFW Lrrr=5、把对坐标的曲线积分dyyxQdxyxP L),(),(+化为对弧长的曲线积分，其中 L 为沿上半圆周xyx222=+从点(0,0)到(1,1)。 解：在积分曲线L上任意点),(yx处的切线方向向量为)22,2(xy，那么切向量的方向余弦为 22) 1(yxy+， 22) 1(1yxx+，由第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系，则 +=+ LLdsyxQyx
7、PdyyxQdxyxP)cos),(cos),(),(),( += += LLdsyxQxyxPxxds yxyxQxyxyP),()1 (),(2( ) 1(),()1 (),(222班级 姓名 学号 42 习题习题 103 1、利用格林公式计算下列曲线积分。 (1)dyyxdxyx L)653()42(+，其中 L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)，和(3,2)的三角形正向边界； 解：被积函数满足格林公式的条件，积分曲线所围成的 积分区域为D，则 dyyxdxyx L)653()42(+=Ddxdyyyx xyx)42()653( 12232144= Ddxdy (2) dymyedx
8、myyexxL)cos()sin(+，L 是由)0,(aA沿曲线2xaxy=到(0,0)的上半圆周。(提示：补直线段 y=0 从(0,0)到)0,(a使成为闭曲线)。 解： 为了利用格林公式， 在x轴上添加一条直线1L：0=y， 其方向是从点(0,0)到)0,(a使成为闭曲线，则 = +11LLLL=+1220)sin()cos(0,L yaxyxxx dxdxdyymyye xmye8)2(21)sincos(2 20y,22maamdxdymyeyeaxyxxx=+= +2 、 证 明 曲 线 积 分dyyxexdxyxeyyL)2()2(2+与 路 径 无 关 ， 并 计 算dyyxex
9、dxyxeyy)2()2(2)1 , 2()0, 1 (+的值 证明：因为yyxexexyxexy yy+=+=+)2(12)2(2 ，且被积函数一阶偏导连续，则 曲线积分与路径无关。那么如图选取积分路径 :AC1=x，10y；21, 1:=xyCB。则 dyyxexdxyxeyy)2()2(2)1 , 2()0, 1 (+eeedxexdyyey4131) 12() 12(2110=+=+=xoy)0, 3(A)2, 3(BxOy)0, 1 (A) 1, 2(B) 1, 1 (C班级 姓名 学号 433、确定的值，使dyyyxdxxyxBA)56()4(42134+=与路径无关，并求 A，B
10、 分别为(0,0)，(1,2)时的值。 解：要使曲线积分与路径无关，只要 yxyx xyyx +=)4()56(34421即 22212) 1(6xyyx= 则， 3=。现在积分路径选择AC和CB（如图） ，其中10, 0:=xyAC； 20, 1:=yxCB dyyyxdxxyxBA)56()4(42134+=579321651)56(2042104=+=+=dyyydxx 4、证明： （1）在整个xoy平面上，不存在),(yxu，使得22yxydyxdxdu+=； 证明：因为函数22yxx +和22yxy+，在点)0, 0(无定义，即函数22yxx +和22yxy+在整个xoy平面上不具有
11、一阶连续偏导，不存在),(yxu，使得22yxydyxdxdu+= （2）在整个xoy平面除去x的正半轴及原点外的区域 D 上，存在),(yx，使得22yxydyxdxd+=，并求一个),(yx。 证明：令22),(yxxyxP+=，22),(yxyyxQ+=，则 xyxQyxxy yyxP =+=),()(2),(222函数),(yxP和),(yxQ以及一阶导函数都为初等函数，则它们在单连通区域D上连续，那么存在),(yx，使得22yxydyxdxd+=。 又 )ln(21)( 21),(22 222222yxdyxyxdyxydyxdxyxd+=+=+=，可以取 )ln(21),(22yx
12、yx+= xy)0, 1 (C)2, 1 (BA班级 姓名 学号 44 5、设有一变力在坐标轴上的投影为82,2=+=xyYyxX，这变力确定了一个力场。证明质点在此场内移动时， 场力所做的功与路径无关。 (提示： 场力jxyiyxFrrr)82()(2+=) 解：若力场是由力jyxQiyxPFrrr),(),(+=所构成的，沿曲线L所做的功为 += LdyyxQdxyxPW),(),( 本题的力场jxyiyxFrrr)82()(2+=，则场力所做的功为 += LdyxydxyxW)82()(2由于函数82,2=+=xyYyxX在整个平面上具有一阶连续偏导，且 yyxyxxy +=)(2)82
13、(2则场力所做的功与路径无关。 习题习题 104 1、计算下列对面积的曲面积分： (1) dszyx)342(+ ，其中为平面1432=+zyx在第一卦限的部分； 解： =+=+dsdszyxdszyx4)432(4)342( 6143221 3614)34(2140, 0, 13222=+=+yxyxdxdy (2) xds其中为上半锥面22yxz+=被圆柱面)0(22=+aaxyx所割下的部分。 解：积分曲面的方程为22yxz+=，其在xoy面上的投影域为axyxD+22:。积分元素dxdydxdyzzdsyx2122=+=，则 3cos02282cos22ardrrdxdxdyxdsaD=班级 姓名 学号 452、求抛物面壳) 10)(2122+=zyxz的质量，此壳的面密度为z= 解：所求质量为 =zdsM 其中积分曲面的方程为) 10)(2122+=zyxz，其在xoy面上的投影域2:22+ yxD，又积分元素dxdyyxds221+=，则 +=DdxdyyxyxzdsM22221)(21+=+=2023 22202320)1 (31121
