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1、 2016 年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动交流课案课 题：3.1.1 方程的根与函数的零点教 材：人教 A 版高中数学必修 1【教材分析教材分析】本节课的内容是人教版教材必修 1 第三章第一节，属于概念定理课。 “函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点” ，第二节：“用二分法求方程的近似解” 。第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数零点就是方程的实数根，即( )yf x( )0f x 函数的图象与轴的交点的横坐标” ；三是引导学生发现连续函数在某个区间上( )yf xx存在零点的判定方
2、法：如果函数在区间上图象是连续不断的一条曲线，并( )yf x,a b且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，( )( )0f af b( )yf x,a b,ca b使得，这个也就是方程的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节( )0f c c( )0f x 课的教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。【教学目标教学目标】1.理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。2.通过体验零点概念的形成过程、探究零
3、点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。3.通过本节课的学习，学生能从“数” “形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌 握“数形结合”的方法。 【学情分析学情分析】1.1.学生具备的知识与能力学生具备的知识与能力(1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与轴的交点横坐标之间的关系。x(2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。2.2. 学生欠缺的知识与能力学生欠缺的知识与能力(1)超越函数的相关计算及其图象性质.(2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出来.【重点难点重点难点】重点：零点的概念；零点存在的判定方法。难
4、点：方程的根与函数零点的关系（体现函数与方程的关系） ，零点存在判定方法的探究及 应用（体现判定方法：条件、结论、应用） 。 【教学策略教学策略】引导学生用联系的观点理解有关内容，从二次函数入手，使学生了解函数零点的概念及零点存在的判定方法，降低难度，便于接受。通过问题引出研究对象，通过探究生成新知，通过应用巩固新知。 本节学习的主要载体是函数图象。为了使学生构建一个从具体到抽象的过程，除了二 次函数图象外，应用几何画板作出了部分函数的图象，通过观察加深对定理的理解，提高 课堂效率。注重学生的学习体验，精心设置一个个问题，并以此为主线，由表及内、由浅 入深，逐步突破重点和难点。【教学流程教学流
5、程】教学环节教学环节教师活动教师活动预设学生活动预设学生活动设计意图设计意图借鉴历史将数学史融 入教学之中 知识之谐 情感之悦一一创设情境创设情境激发兴趣激发兴趣问题问题 1 1：方程是否0322 xx有实根？若有，有几个？观察、思考， 试用已知判断一元二次方程的根个数的方法 解决回顾旧知识，引出新概念二二回顾旧知回顾旧知引入概念引入概念一元二次方程的根与一元 二次函数的图象之间的关 系方程0322 xx有两个实根，11x31x函数 32)(2xxxf图象与轴有个交点，x2)0 , 1()0 , 3(从熟悉的情境中发现新知识xyOxyc ed ba O一般函数的图象与方程的 根的关系方程的根就
6、是函数图象与轴交点的横坐标x将结论由特 殊推广到一 般对于函数，我们)(xfy 把使的实数叫0)(xfx做函数的零点。)(xfy 方程是否有解等价于函数0)(xf是否存在零点)(xfy 函数的零点是数不是点观察归纳形成概念辨析讨论，深化关系方程有实数根函数的图象与轴有交点)(xfy x函数有零点)(xfy 问题问题 2 2：你能从下列函数图象中分析出函数有几个零点吗？你能给你的同桌画一个函 数图象，让他分析一下函 数的零点个数？函数图象与轴有几个交点，函数就有几个x 零点利用函数图 象直观的特 点，进一步 突破函数零 点与方程根 相互转化这 一难点。加 深学生对方 程的根与函 数零点的理 解。
7、问题问题 3 3：请找出函数的零点32)(2xxxf在哪个区间内？并讨论区 间端点函数值的符号关系。找到零点，1 3 所在的区间，随着 区间的扩大，端点 函数值的符号由异 号变成同号给学生提供 探究情境,让 学生自己发 现并归纳结 论三三 探究判定探究判定 提炼方法提炼方法观察下图，思考上述规律 是否具有一般性？，上有零点0)()(bfaf,ba，上有零点0)()(efaf,ea，上有零点0)()(cfaf,ca，上无零点0)()(dfcf,dc从二次函数 拓展到一般 函数，让学 生归纳出函 数零点存在 的条件。xyba OxybaO问题问题 4 4：若函数在上满)(xf,ba足，则0)()(
8、bfaf在内一定有零)(xf),(ba点吗？利用具体图 像，通过观 察、对比， 加深对函数 必须连续的 理解 正例巩固 反例强化探究发现零点存在判定的 方法零点存在的判定方法：条件：函数的图象在上连续；)(xf,ba；0)()(bfaf结论：在内存在零点)(xf),(ba归纳总结判 定方法，揭 示本质及时应用 巩固新知 跟踪训练1.函数的零点是 . 12)(xxf2.判断函数在下列区xxxxf384)(23间内是否有零点？(1) (2) ) 1 , 1()2 , 1 (分层训练 体现变式问题问题 5： 在此判定中，结论能推条件吗？即若在)(xf内存在零点，是否),(ba一定要有？0)()(bf
9、af反例强化判定解析零点存在的判定方法主要用来判定函数在某个区间上是否存在零点，且此判定不可逆用通过辨析， 体现思维的 深刻性四四 应用判定应用判定 掌握方法掌握方法强化零点存在的判定方法的理解求函数的零点的个数62ln)(xxxf利用已学知 识解决问题， 提高学生解 决问题的能 力。xybaO存在性探究：利用零点存在性定理探索函数的零点个数，所在区间。62ln)(xxxf不同的学生可能找到不同的区间零点存在性 定理的初步 应用，为二 分法埋下伏 笔 唯一性探究：判定函数的单调性用定义证明在上单调)(xf), 0( 复合函数法图象法培养学生养 成严密的思 维习惯，严 谨的学习态 度。几何画板画
10、出函数的图象62ln)(xxxf函数的图象是否与轴62ln)(xxxfx有且只有一个交点？几何画板作图证实。0x强化学生对 函数零点的 直观认识本节课我们学习了哪些知识？掌握了哪些方法？体会了哪些思想？知识：零点的概念，方程的根与函数零点的关系。连续函数零点存在性定理。方法：数形结合（数缺形时少直观，形缺数时难入微） ，等价转化思想：特殊到一般，具体到抽象开放式小结，使不同的学生有不同的学习体验和收获. 引导学生主动建构，形成知识体系；五五概括总结概括总结分层作业分层作业作业布置必做题：第 88 页 第 1（1）第 2 题（4） ；第 92 页第 2 题选做题：第 2 题（2） （3） ；思考
11、:若函数在某个区间内有零点,)(xfy 如何求出这个零点?根据不同层次学生的学习能力，分层布置作业.拓展学生的自主发展空间.板书设计板书设计3.1.1 方程的根与函数的零点1.零点的概念2.函数零点方程的根函数图像与轴交x点的横坐标。3.零点存在定理：条件：函数的图象在上连续；)(xf,ba；0)()(bfaf结论：在内存在零点)(xf),(ba4.问题解析5.课堂练习6.小结7.作业函数的零点与方程的根函数的零点与方程的根教学设计点评教学设计点评函数的零点与方程的根是解释方程与函数的联系，用函数的观点来研究方程，将局部放入整体中研究，进而对整体和局部都有一个更深层次的理解，为后面二分法求方程
12、近似解与解不等式等其他知识奠定基础，起着承上启下的作用。本节内容以函数图象为主要载体，通过本节课的学习研究，使学生从“数” “形”两个层面理解函数零点这个概念，突出“数形结合”的数学思想。田红月老师这节课的教学教学设计和实施教学中体现了以下几个方面的特点：一、紧扣教材和大纲要求，围绕教学目标，采用“问题探究应用”的教学模式，通过问题串引出研究对象，通过合作探究生成新知，通过应用巩固新知，以函数图象为主要载体，运用信息技术手段，并用几何画板作出了部分超越函数的图象，通过观察加深对定理的理解，使学生构建一个从具体到抽象的过程，提高了课堂效率，有效达成教学目标。二、充分体现以学生为主体的教学理念，学
13、生在小组合作中不仅获得了知识，还在学习体验中学会合作和分享，符合新课程理念的新要求，教学设计贴近学生，从学生熟悉的函数建构概念，进而引发学生对知识的应有和理解。精心设置问题链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，有效突破了重点难点。三、揭示数学的本质，在实施教学过程中指导学生学习方法，注重数形结合，化归与转化等数学思想的渗透，使学生对知识的掌握不仅仅停留在浅表，还在深层次的问题上有独立思考的时间和空间。总之，这节课比较准确地把握了学生的认知规律，数学的本质属性和数学教学的内在联系，理解准确，思路流畅，层次分明，设计紧凑，问题引领，关注过程，注重思维，是一节教学有效度很高的课。建议在后期的教学中继续探索，并能适当降低语速，以期使每一个学生都能完全参与到教学体验中来。
