排列组合复习概要

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1、排列组合与二项式定理排列组合与二项式定理（一） 主要公式、性质与概念：1；)(1()2)(1(nmmnnnnAmn )()!(!nmmnnAmn)()!( !nmmnmn PPCm mm nm n2；)(nmCCmn nm n)1 (1 1nrCCCr nr nr n 3；!)!1(!nnnn)1 (1 121nrCCCCCr nr nr rr rr r 4二项式定理：nn nrrnr nn nn nnbCbaCbaCaCba 110)(其中称为展开式第项的二项式系数，第项称为通项：r nC1r1r，要注意区分展开式中第项), 2 , 1 , 0(1nrbaCTrrnr nr 1r的二项式系数

2、与第项的系数的不同意义。1r5nn nr nnnnCCCCC2210 131202 n nnnnCCCC展开式中，当 n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大；nba)( Tn12当 n 是奇数时，中间两项、的二项式系数最大。Tn 21Tn121（二）排列组合应用题解法举要 排列组合应用题千变万化，其解题思路却离不开十六个字： “分步相乘，分类相加；有序排列，无序组合。 ”合理地分类正确地分步是应用加法原理和乘法 原理的关键，分清是否与顺序有关是区别排列、组合的依据。在十六字“原则”的指导下，按思考方 式，分间接法和直接法两种，后一种常用的解法有以下 10 种： 1、特殊位置、特殊元素法； 2、

3、捆绑法； 3、插空档法； 4、先选后排法； 5、插 隔板法 6、住旅店法； 7、查字典法； 8、分类选取法； 9、平均分组法； 10、对称性法。（三）排列组合的综合问题1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的。较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列。排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧。2、排列组合的常见模型有“捆绑法” 、 “插空法” 、错位法“、

4、 ”分组分配“等。集合是常用的工具之一。为了将抽象问题具体化，可以从特殊情形着手，通过画格子，画树图等帮助理解。“正难则反”是处理问题常用的策略。3、典型例题例例 1 1、有 6 本不同的书，按下列方式分配，分别有多少种分配方式？(1).按一组 1 本，一组 2 本，一组 3 本分成三组；(2).按一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本分成甲、乙、丙三人；(3).均分成三组；(4).均分成甲、乙、丙三人。解题思路分析：本题是分组分配问题，是排列组合的混合题。处理此类问题的关键是正确判断组间是排列还是组合问题即是有序还是无序。（1）由于各组内元素不同，所以组间无法交换，属组间组合问题，其分法种

5、数由分步计数原理得：N=C61C52C33=60（种）（2）本题分成三组后，分配给甲、乙、丙三个不同的人，属于组间排列问题。第一步分组，方法有 C61C52C33，第二步分配，方法有 A33种，由分步计数原理，分法种数为：N=C61C52C33A33=360（种） （3）因分组后，组与组交换不形成新的方法，属于组间组合问题，在分组基础上去序即可，分法共有：N=153 32 22 42 6 ACCC评注：此题属“均匀分组”题型，其分法种数是在分组的基础上，除以组数的排列数。（4）此题与（1）题题型相同，分法种数：N=C62C42C22=90（种）评注：注意（3） 、 （4）两种题型的差异。例例

6、2 2、有 9 名同学排成两行，第一行 4 人，第二行 5 人，其中甲必须站在第一行，乙、丙必须站在第二行，问有多少种不同的排法？解题思路分析：法一：从特殊位置着手。第一步排第一行：从甲、乙、丙外的 6 人中选出 3 人与甲排第一行，有C63A44种排法；第二步排第二行，将其余 5 人排在第二行，有 A55种排法，由分步计数原理，共有N=C63A44A55（种）排法。法二：从特殊元素着手，第一步甲排第一行，有 A41种排法；第二步排乙、丙于第二行，有 A52种排法。因排两行与排一行本质相同，故第三步排所剩 6 人，有 A66种排法，由分步计数原理，共有排法：N=A41A52A66种评注：解法一

7、体现了先组合再排列的原则，这是处理排列、组合问题的常用思路。例例 3 3、将 4 个不同的球放入 4 个不同的盆子内（1）共有几种放法？（2）恰有一个盆子未放球，共几种放法？（3）恰有一个盆子内有 2 球，共几种放法？（4）恰有两个盆子内未放球，共有几种放法？解题思路分析：（1）把球作为研究对象，事件指所有球都放完。因每一只球都有四种放法，故由分步计数原理，共有 44=256（种） ；（2）问题即为“4 个球放入三个盆子，每个盆子内都要放球，共有几种放法？”第一步是把 4 只球分成 2，1，1 三组，共有 C42种放法；第二步把 3 组球放入三个盆子中去（作全排列） ，有 A43种；由分步计数

8、原理，共有 N=C42A43（种）评注：第二步应是 A43，而不是 A33，因还要选从四个盆子中选三个盆子，然后作全排。（3）仔细审题，认清问题的本质。 “恰有一盆子内入 2 个球”即另三个盆子放 2 球，也即另外 3个盆子恰有一个空盆，因此， “恰有一个盆子放 2 球”与“恰有一个盆子不放球”是等价的。（4）先取走两个不放球的盆子，有 C42种取法；其次将 4 球分两类放入所剩 2 盆；第一类均匀放入，有 C42C22种放法；第二步按 3，1 分组放入，有 C43C11A22种放法。故有N=C42(C42C22+C43C11A22)=84（种） 。例例 4 4、现有印有 0，1，3，5，7，

9、9 六个数字的六张照片，如果允许 9 可以作 6 使用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数（首位数不为零） 。解题思路分析：从特殊元素着手，对三位数是否合 9 或 0 分类讨论。第一类，9 在内，0 不在内。先从除 0，9 外的四个数字中取两个，再将三个数作全排列，因 9 可以作 6 用，最后还要乘以 2（在每一种情况下，把 9 看成 6，得一个新数） ，由分步计数原理，共有 C42A33A22种；第二类，9 和 0 同时在内。先从除0，9 外的四个数字中选 1 个，再排 0，9 及取出的数字，最后再将 9 作 6 使用，共有 C41A21A22=32（种）；第三类，所取数字中不含

10、 9，再根据是否含 0 讨论，有 A43+C42A21A22=48（种） 。由分类计数原理共有 72+32+48=152（种） 。例例 5 5、用 0，1，2，3，4 五个数字组成各位数字不重复的五位数，若按由小到大排列，试问：（1）42130 是第几个数？（2）第 60 个数是什么？解题思路分析：（1）要知道 42130 是第几个数，只要知道比它小的有几个数，就基本解决了。根据数的大小比较的原则，比 42130 小的数可以分成如下几类：1，2，3型的；40，41型的；420型的；4200型的。各类的数分别有 C31A44，C21A33，C11A22，C11A11个，所以比 42130 小的数

11、有C31A44+C21A33+C11A22+C11A11=87 个，42130 是第 88 个。（2）万位 1 的数，即 1型的数，有 A44=24 个；万位为 2 的，同样有 A44=24 个；万位为 3 的也有 24 个，所以第 60 个数是万位为 3 的这一类数中的第 12 个数，再具体分类：30型的有 A33=6 个；31型的有 A33=6 个所以，第 12 个数是 31型的数中最大的一个即为 31420。评注：此类题型称为字典式排列问题，解题的关键在于根据题意正确地进行分类，分类的关键是采用类似查字典的方法，从高位向低位，一位一位地考察各位上所取数字的可能性。例例 6 6、5 个成年

12、人，2 个小孩，排成一排，两头都是成年人，每个小孩两边都是成年人，且其母女俩一定要相邻的排法有多少种？解题思路分析：某母女俩一定相邻，同时与这个女孩相邻的还应有一个成年人，因此第一步从除这位母亲以外的4 个成年人中选 1 人，准备排在这个女孩旁边，有 C41种选法；第二步选出的这个人与那位母亲排在女孩两侧，有 A22种方法；第三步，把“母女、另一成年人”这个三人小组看成一个整体（因为小组左右位置全是成年人，所以可以看成一个成年人） ，与其余 3 个人做全排列，有 A44种方法；第四步，让另一个小孩插入四个成年人之间的三个间隔中的一个，有 A31种方法。由分步计数原理，共有C41A22A44A2

13、1=576（种）方法。评注：前边已强调先满足特殊元素成特殊位置的方法，本题的条件较多，因此优先考虑的应是条件最强的要求，或者是谁最特殊就优先满足谁，这样有利于把问题简化。如本题构成特殊的 3 人小组后，问题就转化为“4 个成年人与 1 个排成一排，两头必是成年人的排法有多少？”例例 7 7、在一块并排 10 垄的田地中，选择 2 垄分别种植 A、B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄，则不同的种植方法共有多少种？解题思路分析：“不小于”意味着大于或等于，由此进行分类讨论：第一类，A、B 间隔 6 垄，有（1，8） ， （2，9） ， （3，

14、10）三种，每一种 A、B 交换，共有 C31A22种；第二类，A、B 间隔 7 垄，有（1，9） ， （2，10）两种，每种 C21A22种；第三类，A、B 间隔 8 垄，有（1，10）一种，再交换 A、B，有 A22种。由分类计数原理，共有 C31A22+C21A22+A22=12（种）例例 8 8、由-1，0，1，2，3 这五个数中选三个不同的数组成二次函数 y=ax2+bx+c 的系数。（1）开口向上的抛物线有几条？（2）开口向下的抛物线有几条？（3）开口向上且不过原点的抛物线有多少条？（4）与 x 轴的正、负半轴各有一个交点的抛物线有多少条？（5）与 x 轴负轴至少有一个交点的抛物线

15、有多少条？解题思路分析：（1）a0，b、c 可任意选，有 C31A42=36（条） ；（2）a0 且 c0，共有 C31C31C31=27（条） ；（4）ac0，c0 时，a、b、c 有C11、C31、C31种选法， 共有 C31C31C11+C31C31C11=18（条） ；（5）“与 x 轴负半轴至少有一个交点”包含三种情形：第一类，与 x 轴正负半轴各有一个交点，由（4）知共有 18 条；第二类，过原点与 x 轴负半轴有一个交点，c=0，ab0，a、b 有 A32种选法；第三类，与 x 轴负半轴有两个不同交点，则0ac0ab0c b=3，a、c1，2，有 A22条由分类计数原理，共有 18+A32+A22=26 条