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1、北京华夏天天教育科技有限公司1/82014 年北约综合性大学自主选拔录取联合考试年北约综合性大学自主选拔录取联合考试数学试题分析报告数学试题分析报告与2013年相比，北约2014年的语文、物理试题难度都有明显的提升，数学试题难易度相对稳定。2014年北约数学试卷的结构与2013年保持一致，都是6道选择加上4道解答；从考查内容看，发生了很大变化，侧重对于数学的基本思想和解题方法的考查侧重对于数学的基本思想和解题方法的考查，而不是偏题怪题而不是偏题怪题。北约的数学试题重视考察学生考察学生对于数学和数学化的深刻理解对于数学和数学化的深刻理解，重视思维的灵活性与开放的数学思考，直观、本质、发散性的思维
2、都会给解题带来很大的帮助。因此，北约的数学试题做起来如果感觉很繁琐， 说明往往已经偏离了命题人的基本想法， 需要寻找更好的解法。一、一、选择题选择题1设扇形圆心角为60，面积为6，将它围成一个圆锥，则此圆锥的表面积是（）A213B7C215D8【答案】【答案】 B【解析】【解析】设扇形的半径为 R，由题意得6636060RRS扇形，扇形弧长为263Rl，故圆锥的底面半径为 1，圆锥的表面积是76【点评】【点评】在天学网校自主招生强手营第一阶段的讲义中，我们讲解了弧度制和角度制的关在天学网校自主招生强手营第一阶段的讲义中，我们讲解了弧度制和角度制的关系与由来，此题求出扇形弧长并由此给出圆锥底面圆
3、的半径即可。系与由来，此题求出扇形弧长并由此给出圆锥底面圆的半径即可。【难度】【难度】较低较低2将 10 个人分成 3 组，每组人数分别为 3，3，4，则不同的方法（）种A1050B2014C2100D4200【答案】【答案】C【解析】【解析】首先任取 3 人有3 10C种取法，剩下的在 7 人里面取 3 人有3 7C种取法，最后剩下 4人，但由于先取的 3 人和之后取的 3 人（人数相同）不存在先取和后取的排列，因此总的分北京华夏天天教育科技有限公司2/8法数为2100ACCC2 24 43 73 10【点评】【点评】在天学网校强手营第一阶段讲义中，我们讲授映射法解排列组合题目时给大家特在天
4、学网校强手营第一阶段讲义中，我们讲授映射法解排列组合题目时给大家特别补充提到的一个别补充提到的一个“分堆分组问题分堆分组问题” ，这道题目是典型的，这道题目是典型的“分堆分堆” 。【难度】【难度】中等中等3函数 xf满足：对于任意的实数ba,有 32 32bfafbaf ，已知 11 f， 74 f，则2014f的值是（）A4027B4028C4029D4030【答案】【答案】A解：由 11 f和 74 f得， 33124 31242 ffff， 53421 34213 ffff猜想 *Nnnnf12，由第二数学归纳法证明如下，假设 12 nnf对13kkn都成立，则由 32 32bfafba
5、f 可变为 bfbafaf2323 得， 1132162123121313kkkfkfkf， 1232362223322323kkkfkfkf，所以猜想成立则40272014 f【点评】【点评】这是一道函数方程的问题，在天学网校强手营第二阶段的课程中，我们对于函数这是一道函数方程的问题，在天学网校强手营第二阶段的课程中，我们对于函数方程做过详细的讲解方程做过详细的讲解，这道题目就是我们讲的这道题目就是我们讲的“特殊函数法特殊函数法” ，由于是选择题由于是选择题，答案是存在答案是存在且唯一的，只需要将函数且唯一的，只需要将函数 xf看成是特殊的一次函数，问题就迎刃而解了。看成是特殊的一次函数，问
6、题就迎刃而解了。【难度】【难度】中上。中上。北京华夏天天教育科技有限公司3/84已知函数 aaxxxf2lg2的值域是，则实数a的取值范围是（）A10 aB10 aC10aa，D10aa，【答案】【答案】D解：由题意得aaxxyy202，则说明aaxxy22与 x 轴有交点，故0422aa，解得01aa或【点评】【点评】在天学网校强手营第一阶段的函数一节和第二阶段的函数一节均有此题的原型，在天学网校强手营第一阶段的函数一节和第二阶段的函数一节均有此题的原型，含参数的二次函数的复合。含参数的二次函数的复合。【难度】【难度】中等中等5设yx,均为负数，且满足1 yx，则xyxy1具有（）A最大值4
7、17B最小值417C最大值417D最小值417【答案】【答案】D解：1yxyx，则41 22 yxyx，即410 xy设410ttxy，易知 tttf1在 410，上为减函数，所以xyxy1不存在最大值，存在最小值，最小值为417441【点评】【点评】均值不等式，在天学网校强手营第一阶段和第二阶段的集合论章节与不等式章节均值不等式，在天学网校强手营第一阶段和第二阶段的集合论章节与不等式章节均有讲解。均有讲解。【难度】中上【难度】中上6使得函数 Cxxxf4122tanarg成为区间 41,41上的奇函数的常数C的值是（）A0B2arctanC2arctanD不存在【答案】【答案】B解：由题意得
8、， 00 f，且 0xfxf由得2arctanC；北京华夏天天教育科技有限公司4/8由得024122tanarg4122tanargCxx xx，设xx xx 4122tanarg4122tanarg，则xx xx 4122tan4122tan，344122 412214122 4122tanxx xxxx xx，所以 34arctan4122tanarg4122tanargxx xx，则 34arctan21C；下面证明： 34arctan2arctan2，两边同时取正切值得左边 34arctantan34 21222arctan2tan2右边，所以2arctanC【点评】【点评】函数奇偶性
9、问题，在天学网校强手营第一阶段的讲义中有所涉及，此题只需按照函数奇偶性问题，在天学网校强手营第一阶段的讲义中有所涉及，此题只需按照第一阶段讲义中的例题令第一阶段讲义中的例题令 0xf即可。即可。【难度】较低【难度】较低二、二、解答题解答题7.证明3tan是无理数【解析】有理数关于加减乘除四则运算封闭反证法：若3tan是有理数，13tan，则 3tan13tan26tan2也是有理数，则 6tan3tan13tan6tan9tan也是有理数， ，则 27tan3tan127tan3tan30tan也是有理数，而3330tan是无理数，矛盾，故3tan是无理数，证毕【点评【点评】三倍角公式的应用三
10、倍角公式的应用，是天学网校强手营第一阶段和第二阶段课程的共同重点是天学网校强手营第一阶段和第二阶段课程的共同重点，北京华夏天天教育科技有限公司5/8另外此题涉及到的有理数的封闭性以及反证法也都讲解过。另外此题涉及到的有理数的封闭性以及反证法也都讲解过。【难度】难。【难度】难。8已知实系数二次函数 xf与 xg满足方程 03xgxf和 0xgxf只有一对重根，已知 0xf有两个不同的实根，求证 0xg没有实根【解析】若对于Rx， 03xgxf， 0xgxf，则有 034xgxfxgxfxf，则 04xf最多有二等实根，同理若对于Rx， 03xgxf， 0xgxf，也会矛盾，故二次函数 xgxf3
11、， xgxf具有不同的开口方向则若 03xgxf， 0xgxf两个方程具有相同的重根，设其为0x，则 xgxf3， xgxf对称轴为0xx ，则 43xgxfxgxfxf对称轴为0xx ，具有重根0x，与 0xf有两个不同的实根矛盾，故 03xgxf， 0xgxf两个方程具有不同的重根，设其分别为21xx，则 433xgxfxgxfxg 03341xgxfxgxf，而等号由于21xx ，不能同时取得，即 0xg无解，则 0xg无解【点评【点评】 二次函数的问题，在天学网校强手营第二阶段的讲义中开辟了两个专门章节讲过二次函数的问题，在天学网校强手营第二阶段的讲义中开辟了两个专门章节讲过，此题用到
12、了二次函数的两根式，是讲义中原题改编。此题用到了二次函数的两根式，是讲义中原题改编。【难度】较高【难度】较高。9 设1321aaa，是等差数列， 定义集合131jiaaaMkji， 问：316 270，可以同时属于 M？并证明你的结论北京华夏天天教育科技有限公司6/8【解析】A集合中元素，按照适当顺序可以排成等差数列，其首项为321aaa，末项为131211aaa， 公差与原数列公差0dd一样， 项数为 31 ， 令dkdk2127 316 27，则112121kk ，其中302121，kk，且3021kk显然不可能【评【评论论】不定方程和数列相结合的问题，在数论和数列章节中均有讲解不定方程和
13、数列相结合的问题，在数论和数列章节中均有讲解【难度】较高。【难度】较高。10已知nxxx，21为正实数，且满足121nxxx，求证： nnxxx1222221证明：证明：（1）采用数学归纳法当1n时，1221 x，不等式成立假设当1kkn时不等式成立， 考虑1 kn的情形： 由于这1k个数不能同时都大于 1，也不能同时都小于 1，因此存在两个数，其中一个不大于 1，另一个不小于 1，不妨设为111kkxx，从而1111011kkkkkkxxxxxx， 1212222kkxxxx11212222kkkkxxxxxx112112222kkkkxxxxxx 12222121kkxxxx（1） 1212k112k其中推导（1）时利用11121kkkxxxxx及1kkn的假设，故1 kn时不等式也成立，综上，不等式对任意正整数 n 均成立北京华夏天天教育科技有限公司7/8（2）采用均值不等式由均值不等式得1112 22222nnkkn nkknk kx nxx 1112122n k nkkkn nkknk kx xx nxx 两式相加得
